备战2023年高考数学一轮复习-第8节-函数与方程.doc

第8节　函数与方程
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.

1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
解析　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
2.(多选)(2021·威海调研)下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案　BD
解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.
3.(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
答案　A
解析　f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)＜0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0，1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
5.(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.
答案　0或－
解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0，则Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－.
6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.
答案　(0，3)
解析　令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0＜k＜3.

　考点一　函数零点所在区间的判断
1.(多选)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
答案　AD
解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
2.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
答案　C
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.
3.(2022·长沙调研)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案　D
解析　令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点.
4.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　∵a<b<c，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
感悟提升　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
　考点二　函数零点个数的判定
例1 (1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A.9 B.10 C.11 D.18
答案　B
解析　由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，

由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点.
(2)函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数为________.
答案　2
解析　由题意，函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数即为两个函数y＝2－x＋2与y＝|ln(x＋1)|的交点个数，两个函数的图象如图.

由图知，两个函数有2个交点，
故函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数是2.
感悟提升　函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
训练1 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
答案　B
解析　法一　(直接法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二　(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.

(2)(2021·福州联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　A
解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，
知周期T＝2，
令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.
作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.

由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
　考点三　函数零点的应用
角度1　根据零点的个数求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
答案　D
解析　画出函数
y＝f(x)的图象，如图.
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数.
当直线l经过点A时，
有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，
有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，
即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).
综上，a∈∪{1}.
(2)(2022·湖北九市联盟质量检测)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.
答案　(－1，0)∪[1，4)
解析　设g(x)＝
由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y＝a有3个交点.
g′(x)＝
∴g(x)的极大值g(－2)＝4，极小值g(1)＝－1，
又g(0)＝0，03－3×0＋1＝1，
故可作出此函数的图象，如图所示，
∴a∈(－1，0)∪[1，4).

角度2　根据零点的范围求参数
例3 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________.
答案　
解析　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，
需满足

解得<m<.
感悟提升　(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
训练2 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
答案　D
解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)已知函数f(x)＝－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[0，e) B.(0，1) C.(0，e) D.[0，1)
答案　A
解析　法一　设g(x)＝，则g′(x)＝(x≠0).
∴g(x)的单增区间为(1，＋∞)，
单减区间为(－∞，0)，(0，1)，
∴g(x)的图象如图所示，故a的取值范围为[0，e).

法二　由f(x)＝－a＝0，得ex＝ax.
若a＜0时，显然y＝ex与y＝ax有交点，
因此若f(x)无零点，必然有a≥0.
当y＝ax与y＝ex相切时，
设切点P(x0，ex0)，
则a＝ex0且ex0＝ax0，
∴a＝ax0，∴x0＝1，
则切线斜率k＝ex0|x0＝1＝e.
因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，
则0≤a＜e.
(3)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A.mn＝1 B.mn>1
C.0<mn<1 D.以上都不对
答案　C
解析　由题设可得|logax|＝，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|logax|，y＝的图象如图所示，结合图象可知0<m<1，n>1，且－logam＝，logan＝，以上两式两边相减可得loga(mn)＝－<0，所以0<mn<1，故选C.
嵌套函数的零点问题
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
一、嵌套函数零点的个数问题
例1 (2022·长沙质检)已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.3
答案　A
解析　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0<x<1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，
综上，g(x)共有四个零点.
二、由嵌套函数零点的个数求参数的范围
例2 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，＋∞)
解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.

1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.－2，0 C. D.0
答案　D
解析　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
答案　B
解析　函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续.
因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
所以f(2)·f(3)＜0，
所以函数的零点所在的区间是(2，3).
3.(2022·南昌模拟)已知x＝a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)
A.f(x0)＝0
B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0
D.f(x0)的符号不确定
答案　C
解析　f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上单调递增，
且f(a)＝0，又0＜x0＜a，
∴f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.
4.(2022·西安调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
答案　A
解析　易知函数f(x)单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由f(a)＝0知0<a<1；函数g(x)在定义域内单调递增，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0，故g(a)<0<f(b).
5.已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　根据题意可得－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝t－1(t＜2)，则x1－x2＝t2－t＋1＝＋(0≤t＜2)，当t＝时，x1－x2取得最小值.
6.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg|x|的图象交点个数为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
答案　C
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
又x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，
∴作出函数f(x)的图象如图所示.

∵x＝±10时，y＝lg|±10|＝1，
∴由数形结合可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg|x|的图象交点个数为8.
7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　)
A.函数f(x)的周期T＝2
B.f(2 021)＝f(2 022)＝0
C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在[－2，2]上有4个零点
答案　ABC
解析　定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确；
f(－1＋2)＝f(－1)，
即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，
所以f(1)＝f(－1)＝0，
所以f(2 021)＝f(1)＝0，
f(2 022)＝f(0)＝0，所以B正确；
f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确；
f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误.
8.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案　C
解析　由g(x)＝0得f(x)＝－x－a，作出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示.
当直线y＝－x－a的截距－a≤1，即a≥－1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[－1，＋∞).
9.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
答案　－
解析　在同一平面直角坐标系内作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示.
由题意得2a＝－1，则a＝－.
10.函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
答案　2
解析　f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示.

由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
11.已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________.
答案　3
解析　函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数，
又∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1＜0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4＞0，
即f(3)·f(4)＜0，
则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3.
12.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
答案　1
解析　x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，x1＝，因此x1x2＝1.

13.(多选)(2021·衡水检测)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
答案　BCD
解析　由函数f(x)＝作出其函数图象：

由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以＜x3＜1＜x4＜2；
由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1).故选BCD.
14.(多选)(2021·沈阳一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m恰有两个不同解x1，x2(x1＜x2)，则(x2－x1)f(x2)的取值可能是(　　)
A.－3 B.－1 C.0 D.2
答案　BC
解析　因为f(x)＝m的两根为
x1，x2(x1＜x2)，
所以x1＝，x2＝em＋1，m∈(－1，0]，
从而(x2－x1)f(x2)＝m＝mem＋1－＋m，
令g(x)＝xex＋1－x2＋x，x∈(－1，0]，
则g′(x)＝(x＋1)ex＋1－x＋1，x∈(－1，0].
因为x∈(－1，0]，
所以x＋1＞0，ex＋1＞e0＝1，－x＋1＞0，
所以g′(x)＞0在(－1，0]上恒成立，
从而g(x)在(－1，0]上单调递增.
又g(0)＝0，g(－1)＝－，
所以g(x)∈，
即(x2－x1)f(x2)的取值范围是，故选BC.
15.已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
答案　(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)
解析　(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1，4).
(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，
1<λ≤3或λ>4.
16.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　令f(x)＝t(t＜1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，
易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，
则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
如图，画出函数g(t)的图象，
结合图象可知，1≤a＜，
即a的取值范围是.