2022北京怀柔初二(上)期末数学(教师版).docx

2022北京怀柔初二（上）期末
数 学
1．本试卷共6页，共三道大题，27道小题，考试时间90分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将答题卡交回．

一、选择题（第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．2006年5月20日，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．2009年9月28日至10月2日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第四次会议上，中国申报的中国剪纸项目入选“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列四个剪纸图案是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
2. 雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（ ）
A. 4×106 B. 4×107 C. 4×10-6 D. 4×10-7
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a3·a2=a B. a3·a2=a5 C. a3·a2=a6 D. a3·a2=a9
4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠2 B. x>2 C. x＝2 D. x<2
5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. a(a-3)=a2-3a B. (a+3)2=a2+6a+9
C. 6a2+1=a2(6+) D. a2-9=(a+3)(a-3)
6. 已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB=30°，AB=6，则DE+DB的值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，是多功能扳手和各部分功能介绍的图片．阅读功能介绍，计算图片中∠α的度数为（ ）

A. 60° B. 120° C. 135° D. 150°
8. 小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）

A. 基本事实SSS B. 基本事实ASA C. 基本事实SAS D. 定理AAS
9. 2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，点C在x轴上．若ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为（ ）
A. (-2，0)，(，0)，(-4，0) B. (-2，0)，(，0)，(4+，0)
C. (-2，0)，(，0)，(，0) D. (-2，0)，(1，0)，(4-，0)
二、填空题
11 计算：_______________________．
12. 约分：=_____．
13. 三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是________．
14. =______．
15. 已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．

16. 如图，∠MOP=60º，OM=5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N的运动时间为t秒，当△MON是锐角三角形时，t满足的条件_____．

三、解答题
17. 计算：
18. 分解因式：2a2-8ab+8b2．
19. 已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．
20. 已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．

21. 老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图ABC．
求作：ABC边BC上的高AM．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：
①延长线段BC ；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；
④连接AE，交CD于点M．
所以线段AM就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）将该作图证明过程补充完整：
由②可得：AC = ．
由③可得： = ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即AM是ABC边BC上的高线．

22. 解方程：
23. 计算：()÷[(6x+4)÷x]．
24. 如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．

25. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
26. 如图，在等边三角形ABC边AC左侧有一射线CM，∠ACM=（0°<α<30°），点A关于射线CM的对称点为点E，连接BE并延长交CM于点N，连接AN，AE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）在α（0°<α<30°）的变化过程中，
①求∠BEC的大小（用含α的代数式表示）；
②∠ANC的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠ANC的大小；
（3）用等式表示线段AN，BE，NC之间的数量关系．

27. 在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称．
（1）当t =-3时，点N的坐标为 ；
（2）以MN为底边作等腰三角形MNP．
①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 ；
②若MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是 (用含a的代数式表示)

参考答案

一、选择题（第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．2006年5月20日，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．2009年9月28日至10月2日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第四次会议上，中国申报的中国剪纸项目入选“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列四个剪纸图案是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】轴对称图形是指在平面内沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断各个选项即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：只有A选项符合轴对称图形的定义，
故选：A．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．
2. 雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（ ）
A. 4×106 B. 4×107 C. 4×10-6 D. 4×10-7
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000004=4×10-6．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a3·a2=a B. a3·a2=a5 C. a3·a2=a6 D. a3·a2=a9
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、a3·a2=a5，计算错误，不符合题意；
B、a3·a2=a5，计算正确，符合题意；
C、a3·a2=a5，计算错误，不符合题意；
D、a3·a2=a5，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠2 B. x>2 C. x＝2 D. x<2
【答案】A
【解析】
【详解】解：要使分式有意义，则分母不能为0，那么x-2≠0，则x≠2，
故选择A.
5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. a(a-3)=a2-3a B. (a+3)2=a2+6a+9
C. 6a2+1=a2(6+) D. a2-9=(a+3)(a-3)
【答案】D
【解析】
【分析】根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可．
【详解】解：A、a(a-3)=a2-3a，属于整式乘法，不符合题意；
B、(a+3)2=a2+6a+9，属于整式乘法，不符合题意；
C、6a2+1=a2(6+)不是因式分解，不符合题意；
D、a2-9=(a+3)(a3)属于因式分解，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式．
6. 已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠CAB=30°，AB=6，则DE+DB的值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先由角平分线的性质得到DE=CD，则DE+BD=CD+BD=BC，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴DE+BD=CD+BD=BC，
又∵∠CAB=30°，AB=6，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．
7. 如图，是多功能扳手和各部分功能介绍的图片．阅读功能介绍，计算图片中∠α的度数为（ ）

A. 60° B. 120° C. 135° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】观察图形发现∠α是正六边形的一个内角，直接求正六边形的内角即可．
【详解】∠α=
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的内角，解题的关键是观察图形发现∠α是正六边形的一个内角．
8. 小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）

A. 基本事实SSS B. 基本事实ASA C. 基本事实SAS D. 定理AAS
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
【详解】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS
故选：C
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
9. 2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，由路程、速度、时间之间的关系及大货车到达四子王旗比面包车多用小时，列出方程即可得．
【详解】解：设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，
根据题意可得：，
变形为： ，，
∴①④正确，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，熟练运用路程、速度、时间之间的关系是解题关键．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，点C在x轴上．若ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为（ ）
A. (-2，0)，(，0)，(-4，0) B. (-2，0)，(，0)，(4+，0)
C. (-2，0)，(，0)，(，0) D. (-2，0)，(1，0)，(4-，0)
【答案】A
【解析】
【分析】分别以AB为腰和底两种情况结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，

∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，
∴AO=2，BO=
在Rt中，由勾股定理得：

①当AB为的腰时，

∴;

∴
②当AB为底边时，
∵
∴
∴

由勾股定理得，

∴
∴
综上,点C的坐标为(-2，0)，(，0)，(-4，0)
故选A
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握线等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11. 计算：_______________________．
【答案】8m3n6
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：（2mn2）3=8m3n6．
故答案为：8m3n6．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．
12. 约分：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】先找出分子分母的公因式，然后将分子与分母约去公因式即可．
详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了约分，找出公因式是解题关键．
13. 三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是________．
【答案】2＜a＜10．
【解析】
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边a的取值范围．
【详解】解：∵三角形两边长分别为4和6，第三边的长为a，
∴根据三角形的三边关系，得：6-4＜a＜6+4，即：2＜a＜10．
故答案为：2＜a＜10．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
14. =______．
【答案】-b2
【解析】
【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
15. 已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．

【答案】AC=DC
【解析】
【分析】由题意可得，BC为公共边，AB=DB，即添加一组边对应相等，可证△ABC与△DBC全等．
【详解】解：∵AB=DB，BC=BC，
添加AC=DC，
∴在△ABC与△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
故答案为：AC=DC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
16. 如图，∠MOP=60º，OM=5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N的运动时间为t秒，当△MON是锐角三角形时，t满足的条件_____．

【答案】<t<10
【解析】
【分析】先找出当△MON是直角三角形的临界点，然后结合运动情况，即可求出t满足的条件．
详解】解：根据题意，当MN⊥OP时，如图：

∴∠MNO=90°，
∵∠MOP=60º，
∴∠OMN=30º，
∴ON=，
∴；
当MN⊥OM时，如上图，
此时∠ONM=30º，
∴，
∴；
∴在点N运动过程中，当△MON是锐角三角形时，
；
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质，以及正确的找出临界点进行解题．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算0次幂和负指数幂及绝对值和有理数的乘方运算，然后运用有理数的加减法法则计算即可．
【详解】解：

．
【点睛】题目主要考查负指数幂、0指数幂、有理数的乘方，去绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
18. 分解因式：2a2-8ab+8b2．
【答案】2(a-2b)2
【解析】
【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解．
【详解】解：2a2-8ab+8b2
=2(a2-4ab+4b2)
=2(a-2b)2．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
19. 已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．
【答案】8
【解析】
【分析】先利用平方差公式和整式的除法法则运算，然后运用整式的加减运算化简，将已知式子化简代入求解即可
【详解】解：
，
，
；
∵，
∴，
∴
，
，
．
【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．
20. 已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用AAS即可证明△ABO≌△EDO．
【详解】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21. 老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图ABC．
求作：ABC边BC上的高AM．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：
①延长线段BC ；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；
④连接AE，交CD于点M．
所以线段AM就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）将该作图证明过程补充完整：
由②可得：AC = ．
由③可得： = ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即AM是ABC边BC上的高线．

【答案】（1）见解析；（2）AD；CE；DE；AE是CD的垂直平分线；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【解析】
【分析】（1）根据题中作法作图即可；
（2）根据垂直平分线的作法即可证明．
【详解】解：（1）如图，根据题中作法作图即可得；

（2）由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及证明，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
22. 解方程：
【答案】x=-3
【解析】
【分析】先去分母，把它化为整式方程，然后解出这个整式方程，把所解得的x的值代入最简公分母中进行检验即可得到原分式方程的解.
【详解】解：去分母得：5x-3(x-2)=0
解得：x=-3.
经检验，x=-3是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=-3
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程时不要忘记了检验.
23. 计算：()÷[(6x+4)÷x]．
【答案】
【解析】
【分析】由分式的加减乘除运算进行化简，即可得到最简分式．
【详解】解：原式=[(]÷
=[(]÷
=[(]÷
=÷
=÷
=×
=；
【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
24. 如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．

【答案】29°
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出DB=DC，∠DBC=∠C，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质得出等腰三角形，导出角之间的关系．
25. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4
【解析】
分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【详解】解：（1）根据题意，是一个假分式；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）；
故答案为：；
（3）∵，
∴x2=±1或x2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
26. 如图，在等边三角形ABC边AC左侧有一射线CM，∠ACM=（0°<α<30°），点A关于射线CM的对称点为点E，连接BE并延长交CM于点N，连接AN，AE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）在α（0°<α<30°）的变化过程中，
①求∠BEC的大小（用含α的代数式表示）；
②∠ANC的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠ANC的大小；
（3）用等式表示线段AN，BE，NC之间的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）①60°+α；②∠ANC不发生变化，∠ANC=60°；（3）NC=2AN+BE
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
（2）①先证明CE=AC，∠ACM=∠ECM=α，再由等边三角形的性质得到AB=AC=BC∠BAC=∠ACB=60°，则CE=BC，∠BCE=∠ACB-∠ACM-∠ECM=60°-2α，再由三角形内角和定理求解即可；
②先求出∠ANC=∠ENC，再由∠ENC+∠ECN=∠BEC，得到，则；
（3）在NC上取一点Q，使NQ=AN，连接AQ．可证△ANQ是等边三角形．得到AN=AQ=NQ，∠NAQ=∠AQN=60°．证明∠BAN=∠CAQ，∠ANB=∠AQC=120°，即可证明△ANB≌△AQC得到BN=QC，则NC==NQ+CQ=NQ+BN= NQ+NE+BE=2AN+BE．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；

（2）①∵点A关于射线CM的对称点为点E，
∴NC是线段AE的垂直平分线，
∴CE=AC，AE⊥NC，
∴∠ACM=∠ECM=α，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴CE=BC，∠BCE=∠ACB-∠ACM-∠ECM=60°-2α，
∴；
②∠ANC不发生变化．∠ANC=60°，理由如下：
∵NC是线段AE的垂直平分线，
∴NE=NA，NC⊥AE，
∴∠ANC=∠ENC，
又∵∠ENC+∠ECN=∠BEC，
∴，
∴；
（3）在NC上取一点Q，使NQ=AN，连接AQ．
∵∠ANQ=60°，AN=NQ，
∴△ANQ是等边三角形．
∴AN=AQ=NQ，∠NAQ=∠AQN=60°．
∴∠BAN+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=60°，即∠BAN=∠CAQ，∠AQC=120°，
∵∠ANQ=∠ENQ=60°，
∴∠ANB=∠AQC=120°，
又∵AB=AC，
∴△ANB≌△AQC（AAS）．
∴BN=QC．
∴NC==NQ+CQ=NQ+BN= NQ+NE+BE=2AN+BE．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称．
（1）当t =-3时，点N的坐标为 ；
（2）以MN为底边作等腰三角形MNP．
①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 ；
②若MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是 (用含a的代数式表示)
【答案】（1）(2，-1)；（2）①(-2，1)；②t≥a+2或t≤-a-2
【解析】
【分析】（1）先求出对称轴，再表示N点坐标即可；
（2）①以MN为底边作等腰三角形MNP，则点P在直线y=t=1上，直线OM与y=1的交点即为所求；
②表示出M、N、P的坐标，比较纵坐标的绝对值即可．
【详解】（1）过点(0，t)且垂直于y轴的直线解析式为y=t
∵点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称
∴可以设N点坐标为（2，n），且MN中点在y=t上
∴，记得
∴点N坐标为
∴当t =-3时，点N的坐标为
（2）①∵以MN为底边作等腰三角形MNP，且点M(2，t-2)与点N直线y=t对称．
∴点P在直线y=t上，且P是直线OM与y=1的交点
当t =1时M(2，-1)，N(2，3)
∴OM直线解析式为
∴当y=1时，
∴P点坐标为(-2，1)
②由题意得，点M坐标为(2，t-2)，点N坐标为，点P坐标为
∵，MNP上所有点到x轴的距离都不小于a
∴只需要或者
当M、N、P都在x轴上方时，，此时，解得t≥a+2
当MNP上与x轴有交点时，此时MNP上所有点到x轴的距离可以为0，不符合要求；
当M、N、P都在x轴下方时，，此时，解得t≤-a-2
综上t≥a+2或t≤-a-2
【点睛】本题考查坐标与轴对称、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称表示坐标，属于中考常考题型．
23 / 23