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微专题24　椭圆中与面积有关的取值范围问题

　　　范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.

例题：如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．

变式1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋y2＝1，点A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点，直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．

变式2设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C：＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(1)求的值；(2)求△ABQ面积的最大值．

串讲1如图，已知椭圆C：＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x＝2上一动点(不在x轴上)，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1，S2分别为△A1SA2，△MSN的面积，求的最大值．

串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

　(2018·广西初赛改编)已知椭圆C：＋y2＝1，设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

　(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两条准线之间的距离为4.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

答案：(1)＋＝1；(2)y＝x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.
解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得，＝，＝4，2分
解得a＝2，c＝，所以b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.4分
(2)解法1：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分
因为椭圆的方程为＋＝1，所以A(－2，0)．设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)，
所以x02＋y02＝，①＋＝1，②10分
由①②，得9x02－18x0－16＝0，解得x0＝－或x0＝(舍去)．
把x0＝－代入①，得y0＝±，12分
所以kAB＝±，因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2)，
即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分
解法2：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分
设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由
得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，解得xB＝，8分
所以xM＝＝，10分
yM＝k(xM＋2)＝，代入x2＋y2＝，得＋＝，
化简得28k4＋k2－2＝0，12分
即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±，
因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2)，
即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分