2022北京通州高三一模数学(教师版).docx

2022北京通州高三一模
数 学
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 60 B. 70 C. 120 D. 140
4. △ABC中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
5. 若a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，是坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：
组别
甲组
乙组
丙组
丁组
木杆影长度（米）
0.82
0.80
0.83
0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
9. 已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，其中，且．给出下列三个结论：
①函数是单调函数；
②当时，函数的图象关于直线对称；
③当时，方程根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数是__________．
12. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________．
13. 幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
14. 在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上投影向量的长度是_____，的最大值是__________．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点．若P与重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是__________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．

（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：的值域是；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：的图象经过点；
条件④：的图象关于直线对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）

甲员工
30天
20天
40天
10天
乙员工
20天
25天
15天
40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅个数，求X的分布列和数学期望；
（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
19 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的最小值是2，求a的值；
（3）设t为常数，求函数的单调区间．
20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求解即可
【详解】因为，
所以
故选：C
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出结论.
【详解】因为，因此，复数的虚部为.
故选：A.
3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 60 B. 70 C. 120 D. 140
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可求得 ，利用等差数列前n项和公式并化简，可得答案.
【详解】在等差数列中，，则 ，
故，
故选：B
4. 在△ABC中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理求解即可
【详解】因为在△ABC中，，，，
所以由余弦定理得，
，得，
解得，或（舍去），
故选：D
5. 若a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用重要不等式即可由“”推出“”；“”成立时，“”不一定成立，举反例证明.
【详解】，当且仅当时，取等号，
当，时，，但，
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
6. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案.
【详解】由题意进行数据分析，可得：
，解得：；
，解得：；
所以.
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更分散，由方差的意义可以得到：.
故选：A
7. 设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，是坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，分析出为等边三角形，求出，即可得解.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示：

因为，轴，则，
由抛物线的定义可得，所以，为等边三角形，则，
抛物线的准线方程为，设直线交轴于点，则，
易知，，则
故选：B.
8. 太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：
组别
甲组
乙组
丙组
丁组
木杆影长度（米）
0.82
0.80
0.83
0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，设木杆的影长为，得到，根据表格中的数据得到当时，取得最小值，此时求得最大值，即可求解.
【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足，
当且为正值，可得，即，
设木杆的影长为，可得，
因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为，
所以当时，取得最小值，此时求得最大值，
所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.
故选：D.

9. 已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出正方形的边长为1，对角线为.把题意转化为存在点A使.利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】圆C的半径为1，所以，即正方形的边长为1，对角线为，即.
设点C到直线l距离为d.
存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使.
所以.
即，解得：.
故选：C
10. 已知函数，其中，且．给出下列三个结论：
①函数是单调函数；
②当时，函数的图象关于直线对称；
③当时，方程根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】讨论与时，函数是否单调可判断①；把函数图象对称问题转化为点的对称问题即可证明②；直线与的位置关系即可判断③．
【详解】当时， 在单调递减，且，
在单调递减，且，
故在上单调递减；
当时， 在单调递增，且，
在单调递增，且，
故在上单调递增；则①正确；
设为图象上的任一点，不妨设，因为则
点关于直线对称的对称点为
由得，所以点符合
所以当时，函数的图象关于直线对称；故②正确；
当时，令
若，则；若，则化为．
设，则，所以在点处的切线的斜率为
当时，直线与相切，方程根的个数是1，
当且时，直线与相交，方程根的个数是2，
则③正确．
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入二项展开式的通项公式即可求解
【详解】，令，则
故答案为：
12. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可求得正数的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线的方程可化为，所以，.
故答案为：.
13. 幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1，（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据幂函数在上的单调性得到，再根据是奇函数可以得到幂函数和幂函数都是奇函数，从而可得的很多组值.
【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，
因为幂函数在上单调递减，所以，
又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.
故答案为：1，（答案不唯一）.
14. 在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的长度；
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出，利用二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得 ，
即向量在向量上的投影向量的长度是 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ,

故 ，
则，
当时，取最大值为 ，
故答案为：；
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点．若P与重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是__________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由体积公式可得三棱锥E-PFG的体积，分别取的中点，可得截面即为截面，线段即为点轨迹，的高即为的最小值．
【详解】若P与重合，则，；
若直线BP与平面EFG无公共点，则平面，
分别取的中点，连接，
则，，，而，所以，同理，，因此可得证共面，即截面即为截面，
平面，平面，则平面，同理平面，
而，平面，所以平面平面，只要，则有平面，线段即为点轨迹，，因此的最小值为，
故答案为：；．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．

（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，
所以，
因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面PAD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，平面ABCD．
取BC中点F，连结EF,
因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以,
所以EA，EF，EP两两垂直．
分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，

则，，，，
所以，．
设平面PAC的法向量，
由，得，
令，得，，
所以，
平面ABCD的法向量可取．
设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，
则，
所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：的值域是；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：的图象经过点；
条件④：的图象关于直线对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由周期可得；
（2）由①中确定，由③得出的关系式，由④可确定，条件②不能得出确定的值，在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：①③；①④；③④分别求解．
【小问1详解】
因为，所以．
【小问2详解】
（2）方案一：
选择①，③
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
又，所以．
所以的解析式为．
因为，
所以．
当，
即时，
取得最小值；
当，即时，
取得最大值．
方案二：
选择条件①，④
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，所以．
所以的解析式为．
以下同方案一．
方案三：
选择条件③，④
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
所以的解析式为．
以下同方案一．
18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）

甲员工
30天
20天
40天
10天
乙员工
20天
25天
15天
40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
【答案】（1），
（2）分布列见解析，1.9
（3）在已知晚餐选择B餐厅就餐条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的所有可能取值为1，2，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可．
（3）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断；
【小问1详解】
解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，；
【小问2详解】
解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；
乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为．
依题意的所有可能取值为1，2．
所以，．
所以的分布列为

1
2

0.1
0.9
所以．
【小问3详解】
解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．
因为，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
19. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的最小值是2，求a的值；
（3）设t为常数，求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）
（3）减区间为，，无增区间
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求出导函数后，分类讨论，利用导数的符号得到函数的单调性，根据单调性求出最小值，结合已知的最小值可求出结果；
（3）求导后，利用（2）中的结论，得到当且时，，从而可得结果.
【小问1详解】
当时，，．
，，即切线斜率．
所以切线方程为．
【小问2详解】
函数的定义域为，
．
令，得．
当时，．所以在单调递增，无最小值．
当时，令，得；令，得．
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值为．
所以，即．
【小问3详解】
函数的定义域为，
．
由（2）知，当时，若，则．
所以，
所以的减区间为，，无增区间．
20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，使得
【解析】
【分析】（1）由左右顶点间距离得，再由离心率得，然后计算出得椭圆方程；
（2）假设存在满足题意的实数，设，，，用表示出点坐标，用正切表示后结合直线的斜率得出的关系式，由在椭圆上可求得．
【小问1详解】
由已知得，，．
因为，所以．
因为，所以．
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
假设存在满足题意的实数，
由已知得，．
设，，，则
，
因为，
所以，
即．
所以，，
即．
因为，
所以．
所以，
即，
化简得．
因为，
所以，
所以，
解得（舍），或．
所以存在，使得．
21. 从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．
【答案】（1）、、、或、、、或、、、
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的递推公式以及求出、的值，即可写出数列前项的所有可能情况；
（2）分析可得由或，即或，分析数列的单调性，设集合，、，且，取，可得出结论；
（3）考察数列和．①当或时，显然成立；②当时，设，推导出，可得出，解得，取可证得结论成立.
【小问1详解】
解：由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或.
因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、.
【小问2详解】
证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列．
【小问3详解】
证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有．
所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．
又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解决第三问的关键在于推导出，结合叠加法得出，通过解不等式可找到符合条件的整数，即可解决问题.

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