2018北京通州初三(上)期中数学含答案.doc

2018北京通州初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）
1．（2分）若＝，则的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A．（0，0） B．（4，0）
C．（4，0）、（0，0） D．（2，0）、（﹣2，0）
3．（2分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OC，OB＝3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD＝1.8cm时，则AB的长为（　　）

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
4．（2分）如图，在Rt△DCB中，∠C＝90°，点A在边DC上，且不与点C，D重合，那么tan∠ABC与tan∠DBC的大小关系是（　　）

A．tan∠ABC＞tan∠DBC B．tan∠ABC＜tan∠DBC
C．tan∠ABC＝tan∠DBC D．无法确定
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，那么△DEF的周长与△BAF的周长之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．1：3 D．3：2
7．（2分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过点（﹣3，1）；②图象在第二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，y＞3．其中错误的结论有（　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
8．（2分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度x/℃
…
﹣4
﹣2
0
2
4
6
…
植物每天高度的增长量y/mm
…
41
49
49
41
25
1
…
由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y是温度x的二次函数，那么下列三个结论：
①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大；
②该植物在﹣6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm左右；
③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为y＝．如果近似眼镜镜片的焦距x＝0.3米，那么近视眼镜的度数y为　 　．
10．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝3：1，BC＝8，那么DE的长等于　 　．

11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，那么∠ACD的正切值是　 　．

12．（2分）已知二次函数y＝x2﹣mx+3在x＝0和x＝2时的函数值相等，那么m的值是　 　．
13．（2分）一运动员乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，若下滑的垂直高度为1000米．则这名运动员滑到坡底的路程是　 　米．

14．（2分）在同一直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令W＝x1+x2+x3，那么W的值为　 　（用含m的代数式表示）．

15．（2分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似黄金分割，已知AB＝10cm，AC＞BC，则AC的长约为　 　cm（结果精确到0.1cm）．

16．（2分）函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题6分，第26-27题，每小题6分）
17．（6分）已知＝≠0，求代数式的值．
18．（6分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求矩形ABCD的周长．

19．（6分）如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．

20．（6分）对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．分段函数在自变量x的不同的取值范围内，函数的表达式也不同．例如：是分段函数．当x≤0时，它是二次函数y＝x2+2x；当x＞0时，它是正比例函数y＝﹣x．
（1）请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）y轴左侧图象的最低点的坐标是　 　；
（3）当y＝﹣1时，求自变量x的值．

21．（6分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，求线段AE的长度．

22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+6与函数y2＝（x＞0）的图象的两个交点分别为A（a，1）、B．
（1）求k，a的值及点B的坐标；
（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线y1＝kx+6和函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点M，N，当点M在点N上方时，写出n的取值范围．

23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABEC为菱形；
（2）若AB＝6，连接OE，求OE的值．

24．（6分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B＝50°，∠C＝30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数．

25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）经过点A（﹣3，4）和B（0，1）．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿y轴翻折，得到图象N．如果过点C（﹣3，0）和D（0，b）的直线与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．

26．（7分）如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
（1）请直接写出∠CDB的度数；
（2）求∠ADC的度数；
（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．

27．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．
（1）当t＝3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为　 　，点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为　 　；
（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数y＝﹣的图象上时，求t的值；
（3）当t＝1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，求m的取值范围．

2018北京通州初三（上）期中数学
参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）
1．【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由＝，得
4b＝a﹣b．，解得a＝5b，
＝＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
2．【分析】根据题目中的函数解析式，令y＝0求出相应的x的值，即可求得二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的交点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x＝x（x﹣4），
∴当y＝0时，得x＝0或x＝4，
∴二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的交点坐标是（0，0）或（4，0），
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵OA＝3OC，OB＝3OD，
∴OA：OC＝OB：OD＝3：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝，
∴AB＝3CD＝3×1.8＝5.4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．
4．【分析】直接利用锐角函数的定义，进而得出答案．
【解答】解：∵tan∠ABC＝，tan∠DBC＝，
CD＞AC，
∴tan∠ABC＜tan∠DBC．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
5．【分析】根据顶点式直接求出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝a（x﹣1）2﹣1；
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是二次函数顶点式的形式，本题难度不大．
6．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴C△DFE：C△BFA＝3：4．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7．【分析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
∴①图象必经过点（﹣3，1），正确，不合题意；
②图象在第二，四象限内，正确，不合题意；
③每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误，符合题意；
④当0＞x＞﹣1时，y＞3，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
8．【分析】从表格可得出以下信息：抛物线开口向下，且对称轴为x＝﹣1；再由函数对称性知：x＝﹣6时，y＝25即可求解．
【解答】解：从表格可得出以下信息：抛物线开口向下，且对称轴为x＝﹣1，
①函数最大值在x＝﹣1时取得，故①错误；
②由函数对称性知：x＝﹣6时，y＝25，故②正确；
③x＝6，y＝1，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此类表格题目，首先找到函数的对称轴，由函数对称性即可求解．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．【分析】把x＝0.3代入y＝，即可算出y的值．
【解答】解：把x＝0.3代入，
y＝400，
故答案为：400．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．
10．【分析】据DE∥BC，则，再由AD：DB＝3：1，得AD：AB＝3：4，已知BC＝8，即可得出DE；
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝3：1，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝8，
∴DE＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．【分析】根据直角三角形的性质得：∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°可得∠B＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠B的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵BC＝6，AC＝8，
∴tanB＝＝＝，
∴tan∠ACD的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质求出∠B＝∠ACD是解本题的关键．
12．【分析】由当x＝0和x＝2时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x＝＝，据此可得m的值．
【解答】解：∵当x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x＝＝1，
∵对称轴x＝﹣＝m，
∴m＝1，即m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据当x＝2时的函数值与x＝6时的函数值相等得出函数图象的对称轴是解题的关键．
13．【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长即可．
【解答】解：由坡比的定义得，坡面的铅直高度1000米与水平宽度之比为1：，
所以水平宽度为1000米，
由勾股定理得，斜坡路长为：＝2000（米），
答：这名运动员滑到坡底的路程是2000米．
故答案为：2000米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键，注意坡比与坡角的区别．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h：l＝tanα．
14．【分析】根据题意和二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
【解答】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m＝，得x3＝，
∴W＝x1+x2+x3＝0+x3＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
15．【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．
【解答】解：由题意知AC：AB＝BC：AC，
∴AC：AB≈0.618，
∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）
故答案为：6.2
【点评】本题主要考查了黄金分割的比例关系，关键是根据黄金分割比解答．
16．【分析】根据函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），可以求得m的值，然后即可求得当y＝0时x的值，再根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：∵函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），
∴0＝a×22﹣2a×2+m，
化简，得m＝0，
∴y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
当y＝0时，x＝0或x＝2，
∵a＞0，
∴使函数值y＜0成立的x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题6分，第26-27题，每小题6分）
17．【分析】直接利用已知用同未知数表示出a，b，再利用分式的基本性质化简得出答案．
【解答】解：∵＝≠0，
∴设a＝3x，则b＝4x，
故
＝×
＝，
故原式＝＝＝5．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．
18．【分析】根据题意可以求得点D和点B的坐标，然后根据点A的坐标，即可求得AD和AB的长，再根据矩形的周长计算公式即可解答本题．
【解答】解：当x＝2时，y＝3，当y＝1时，x＝6
∵矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1），
∴AD＝3﹣1＝2，AB＝6﹣2＝4，
∴矩形ABCD的周长是：（2+4）×2＝12．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和矩形的性质解答．
19．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD＝AD，进而可得出∠A＝∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE＝∠ACD＝∠A，再结合∠ACB＝∠DCE＝90°，即可证出△ABC∽△DEC；
【解答】证明：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠A＝∠ACD．
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD＝∠A．
又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ABC∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：根据等腰三角形的性质结合平行线的性质，找出∠CDE＝∠ACD＝∠A．
20．【分析】（1）根据抛物线的画法和直线的画法作图即可，注意自变量的取值范围；
（2）求出抛物线的顶点坐标（﹣1，﹣1）即可；
（3）把y＝﹣1代入两个函数的解析式即可得出自变量x的值．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）∵y轴左侧图象是抛物线，
∴y＝x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1，
∴最低点坐标（﹣1，﹣1）；
故答案为（﹣1，﹣1）；
（3）当y＝﹣1时，﹣x＝﹣1，∴x＝1，
当y＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，∴x＝﹣1，
∴当y＝﹣1时，自变量x的值为x＝1或﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
21．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由AB∥CD，可得，即可得AE＝2AG＝12．
【解答】解：∵G为CD边中点，
∴CG＝DG＝CD
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴＝2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝6．
∵AB∥DC
∴
∴AE＝2GE＝2（AE﹣AG）
∴AE＝2AG＝12
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键
22．【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式，可求a的值，k的值，两个解析式组成方程组，可求点B的坐标；
（2）由图象可直接得到．
【解答】解：（1）∵函数y2＝（x＞0）的图象过点A（a，1）
∴a＝5
∵直线y1＝kx+6过点A（5，1）
∴1＝5k+6
∴k＝﹣1
∴直线解析式：y1＝﹣x+6
∴
∴，
∴点B 的坐标为（1，5）
（2）
由图象可得：当1＜n＜5时，点M在点N上方．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是本题的关键．
23．【分析】（1）先证明四边形ABEC为平行四边形，再利用△ABC为等边三角形证明四边形ABEC为菱形；
（2）根据直角三角形的特征进行解答即可．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB＝BC，AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴平行四边形ABEC为菱形；
（2）∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OBC＝30°，OB＝3，
∴∠OBE＝30°+60°＝90°，
∴OE＝＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．
24．【分析】（1）根据三角形的优美线的定义，只要证明△ABD是等腰三角形，△CAD∽△CBA即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形讨论求解①若AB＝AD，△CAD∽△CBA，则∠B＝∠ADB＝∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；②若AB＝BD，△CAD∽△CBA；
【解答】解：（1）如图1中，

∵∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝50°，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C＝∠C，∠DAC＝∠B＝50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴线段AD是△ABC的优美线．
（2）如图2中，
若AB＝AD，△CAD∽△CBA，则∠B＝∠ADB＝∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；
若AB＝BD，△CAD∽△CBA，∠B＝46°，
∴∠BAD＝∠BDA＝67°，
∵∠CAD＝∠B＝46°，
∴∠BAC＝67°+46°＝113°．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、c的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；
（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）经过点A（﹣3，4）和B（0，1），
可得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+1．
∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴顶点坐标为（﹣1，0）；
（2）设点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为D（3，4），
若直线y＝kx+b经过点C（﹣3，0）和B（0，1），可得b＝1．
若直线y＝kx+b经过点C（﹣3，0）和D（3，4），可得b＝2．
直线y＝kx+b平行x轴时，b＝0．

综上，1＜b≤2或b＝0．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．
26．【分析】（1）如图，设AB交CD于点O．利用“8字型”证明角相等即可；
（2）由△DBO∽△ACE，推出＝，可得＝，∠AOD＝∠BOC，推出△AOD∽△COB，即可解决问题；
（3）结论：DC＝DB+DA．在DC上截取DE＝DB，连接BE．利用全等三角形的性质即可证明；
【解答】解：（1）如图，设AB交CD于点O．

∵∠DBO＝∠ACO，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BDO＝∠OAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠CDB＝60°．
（2）∵∠DOB＝∠AOC，∠DBO＝∠ACO，
∴△DBO∽△ACE，
∴＝，
∴＝，∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO＝∠ABC＝60°．
即∠ADC＝60°．
（3）结论：DC＝DB+DA．
理由：在DC上截取DE＝DB，连接BE．
∵DB＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE，
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵D＝BE，BA＝BC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC，
∴DC＝DE+EC＝DB+DA．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．【分析】（1）根据题意可知“拓展点”和“拓展带”，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求得点N的坐标，然后代入反比例函数中，即可求得t的值；
（3）根据题意可以求出点Q的坐标，然后根据抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：（1）当t＝3时，T（0，3），
则点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），
点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5），
故答案为：（0，6），（1，5）；
（2）∵T（0，t）（t＞1），
∴点M（2，1）的“拓展点”N的坐标为（﹣2，2t﹣1），
∵点N（﹣2，2t﹣1）在函数y＝﹣的图象上时，
∴，
解得t＝1.5，
即t的值是1.5；
（3）∵t＝1，
∴T（0，1），
∵点Q为点P（2，0）的“拓展点”，
∴点Q（﹣2，2），
∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，
∴当抛物线过点（2，0）时，
0＝（2﹣m）2﹣1，得m＝1或m＝3，
当抛物线过点（﹣2，2）时，
2＝（﹣2﹣m）2﹣1，得m＝﹣或m＝，
即m的取值范围是≤m≤3．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，知道拓展带和拓展点，实质上两个点互为拓展点，这两个点的中点就是点T，这样可以使问题简单化，第（3）问一定考虑全，利用不等式的性质解答．
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