20届高考数学一轮(江苏版)习题-第2讲平面向量基本定理及坐标运算.doc

第2讲　平面向量基本定理及坐标运算
1．(必修4P73习题1)下列各组向量中，可以作为基底的是________(填序号)．
①e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)；
②e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；
③e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；
④e1＝(2，－3)，e2＝.
解析　两个不共线的非零向量构成一组基底．
答案　②
2．(2017·无锡期末)已知在▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，则＝________.
解析　因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(－1,12)．
答案　(－1,12)
3．如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为________．

解析　以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，
因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)，＝(x－y，y)，则
解得故a＝－2e1＋e2.

答案　－2e1＋e2
4．(2017·广州综测)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.
解析　因为(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以解得所以x＋y＝－3.
答案　－3
5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案　
6．(2017·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s＝________.
解析　因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0.
答案　0
7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析　＝－＝(－3,2)，∵Q是AC的中点，
∴＝2＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，
∵＝2，∴＝3＝(－6,21)．
答案　(－6,21)
8．(2017·苏北四市期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
答案　充要
9．(2017·四川十校联考改编)与向量a＝(12,5)平行的单位向量为________．
解析　设e为所求的单位向量，则e＝＝或e＝－＝.
答案　或
10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝________(用，表示)．
解析　如图，

∵＝2，
∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
答案　＋
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析　因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案　
12．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
解析　如图，

＝－＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.
答案　－e1＋e2
13．(2017·南通调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且B＝2 P，则x＝________，y＝________.

解析　由题意知O＝O＋B，又B＝2P，所以O＝O＋B＝O＋(O－O)＝O＋O，所以x＝，y＝.
答案　　
14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________．
解析　∵·＝0，∴⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3.
答案　3
15．已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，则的坐标为________．
解析　设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为＝，＝－，
所以有和
解得和
所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，
从而＝(－2，－4)．
答案　(－2，－4)
16．(2016·四川卷改编)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________．
解析　以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，C(2，0)，B(，3)．
设P(x，y)，∵||＝1，
∴x2＋y2＝1，∵＝，
∴M为PC的中点，∴M，
∴||2＝2＋2
＝＋－3y＋9＝－3y＋9＝－3y，
又∵－1≤y≤1，
∴当y＝－1时，||2取得最大值，且最大值为.
答案