2023版大一轮数学人教A版-第8节-函数与方程.docx

第8节　函数与方程

知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理
(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
解析　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.

2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
答案　B
解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.
3.设函数f(x)＝则使g(x)＝f(x)－的零点的集合为________.
答案　
解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.
故零点的集合为.

4.(多选题)(2021·威海调研)下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案　BD
解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.
5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
答案　[5，10)
解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.
又当f(1)＝0时，k＝5.
综上，实数k的取值范围是[5，10).

考点一　函数零点所在区间的判定
1.(多选题)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
答案　AD
解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
2.(2020·西安调研)函数f(x)＝log8x－的一个零点所在的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案　B
解析　∵f(1)＝－<0，f(2)＝log82－＝>0，
∴f(1)f(2)<0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.
3.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
4.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
答案　2
解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.

感悟升华　1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.
考点二　确定函数零点的个数
【例1】 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2021·福州十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)法一　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，
令f(x)－|x|＝0，
得f(x)＝|x|.
作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.

由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
感悟升华　函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练1】 (1)(2021·重庆调研)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
答案　(1)C　(2)2
解析　(1)易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点.
根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，
因此y＝f(x)有两个零点.
(2)f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：

由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
考点三　函数零点的应用
角度1　根据函数零点个数求参数
【例2】 (1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
答案　(1)(0，1)　(2)D
解析　(1)由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).

(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图.
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数.
当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).
综上，a∈∪{1}.
角度2　根据零点的范围求参数
【例3】 (1)(2021·武汉质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C. D.
(2)(2021·衡水检测)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，若方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，则正实数a的值为(　　)
A. B.
C. D.2
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)由f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，可知f(x)为偶函数，且一条对称轴为直线x＝1；
再由f(x＋1)＝f(x－1)，可得f(2＋x)＝f(x)，求得周期为2.
根据x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，作出函数f(x)的草图，如图所示：

∵方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，
∴函数y＝ax与y＝f(x)的图象在y轴右侧有两个交点.
设y＝ax与y＝log2x的图象相切时，切点坐标为(x0，log2x0)，
由y′＝，得＝，解得x0＝e>2.
∴由图象可知，当直线y＝ax过点(2，1)时，方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，
∴a＝.
感悟升华　1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【训练2】 (1)(2021·武汉质量监测)已知函数f(x)＝－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[0，e) B.(0，1)
C.(0，e) D.[0，1)
(2)(2020·山东实验中学模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由f(x)＝－a＝0，得ex＝ax.若a<0时，显然y＝ex与y＝ax有零点，
因此若f(x)无零点，必然有a≥0.
当y＝ax与y＝ex相切时，设切点P(x0，ex0)，
则a＝ex0且ex0＝ax0，
∴a＝ax0，∴x0＝1，则切线斜率k＝ex0|x0＝1＝e.
因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，则0≤a<e.
(2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得<m<.
嵌套函数的零点问题
　函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【典例】函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，＋∞)
解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.

思维升华　1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象.
【训练】(2021·长沙质检)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.3
答案　A
解析　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0<x<1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，
综上，g(x)共有四个零点.

A级　基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.－2，0 C. D.0
答案　D
解析　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
2.(2021·重庆检测)已知函数f(x)＝－log2x，设0<a<b<c，且满足f(a)·f(b)·f(c)<0，若实数x0是方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是(　　)
A.x0<a B.x0>c
C.x0<c D.x0>b
答案　B
解析　f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，
由f(a)·f(b)·f(c)<0，
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.
∴x0<a或b<x0<c，故x0>c不成立.
3.(2020·西安调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
答案　A
解析　易知函数f(x)单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由f(a)＝0知0<a<1；函数g(x)在定义域内单调递增，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0，故g(a)<0<f(b).
4.已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
答案　C
解析　由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，
则g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－.
又g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，
所以g(2)·g(3)<0.
故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
5.(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
6.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
答案　D
解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
7.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
答案　C
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.
8.(2021·长沙调研)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A.mn＝1 B.mn>1
C.0<mn<1 D.以上都不对
答案　C
解析　由题设可得|logax|＝，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|logax|，y＝的图象如图所示，结合图象可知0<m<1，n>1，且－logam＝，logan＝，以上两式两边相减可得loga(mn)＝－
<0，所以0<mn<1，故选C.
二、填空题
9.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.
答案　－
解析　依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
10.函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________.
答案　3
解析　由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
11.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
答案　1
解析　x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
三、解答题
12.(2020·武汉检测)设函数f(x)＝(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围.
解　(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)因为f(x)＝
＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为(0，1).
B级　能力提升
13.(多选题)(2021·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是(　　)
A.f(2)＝0
B.点(4，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C.函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D.函数y＝f(x)在区间[－6，6]上有3个零点
答案　AB
解析　对于A：因为f(x)为奇函数且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正确；
对于B：由A知，f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期.因为f(x)的图象关于原点(0，0)成中心对称，则(4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；
对于C：因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6＜－5，而f(－6)＞f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C错误；
对于D：因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0.又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－6，6]上有7个零点，故D错误.故选AB.
14.(多选题)(2021·衡水检测)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
答案　BCD
解析　由函数f(x)＝作出其函数图象：

由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以＜x3＜1＜x4＜2；
由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1).故选BCD.
15.函数f(x)＝(a∈R)，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________.
答案　1
解析　当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.

16.已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
答案　(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)
解析　(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1，4).
(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，
1<λ≤3或λ>4.