2023版大一轮数学人教A版-三角函数与解三角形热点问题.docx

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三角函数的图象与性质
2020·全国Ⅰ，7；2020·全国Ⅲ，16；2020·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15
直观想象、逻辑推理
三角恒等变换
2020·全国Ⅰ，9；2020·全国Ⅱ，2；2020·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4
逻辑推理、数学运算
解三角形
2020·全国Ⅰ，16；2020·全国Ⅲ，7；2020·北京，17；2020·天津，16；2020·新高考山东，17；2020·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17
逻辑推理、数学运算

三角函数的图象与性质

(必修一P255第20题)
题目20　已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4 x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
题目20　已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
[试题评析]　题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.
【教材拓展】已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
探究提高　1.将f(x)变形为f(x)＝2sin是求解的关键：(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.
2.把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域.
解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
由于x∈R，知cos∈[－1，1]，
因此，所求函数的值域为.

三角函数与平面向量
【例题】(2020·湘赣十四校联考)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(，cos x)，且函数f(x)＝m·n.
(1)若x∈，且f(x)＝，求sin x的值；
(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，△ABC的面积为，且f＝bsin C，求△ABC的周长.

[自主解答]
解　(1)f(x)＝m·n＝(sin x，－1)·(，cos x)
＝sin x－cos x＝2sin.
∵f(x)＝，∴sin＝.
又∵x∈，∴x－∈，
∴cos＝.
∴sin x＝sin＝×＋×
＝.
(2)∵f＝bsin C，
∴2sin A＝bsin C，即6sin A＝bsin C.
由正弦定理可知6a＝bc.
又∵a＝，∴bc＝6.
由已知△ABC的面积等于bcsin A＝，∴sin A＝.
又∵A∈，∴A＝.
由余弦定理，得b2＋c2－2bccos A＝a2＝7，故b2＋c2＝13，
∴(b＋c)2＝25，∴b＋c＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
探究提高　1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.
2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.
【尝试训练】(2021·重庆质检)已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x，2cos x)，函数f(x)＝a·b＋|b|2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)当≤x≤时，求函数f(x)的值域.
解　f(x)＝a·b＋|b|2＝5cos xsin x＋2cos2x＋sin2x＋4cos2x＝5sin xcos x＋sin2x＋6cos2x
＝sin 2x＋＋3(1＋cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x＋＝5sin＋.
(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
∴f(x)的单调减区间为(k∈Z).
(3)∵≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴1≤5sin＋≤.
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为.

解三角形
【例题】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[规范解答]
解　(1)由正弦定理和已知条件得　用正弦定理化角为边
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①2′
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.　用余弦定理化边为角………………4′
因为0<A<π，所以A＝.………………6′
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
……………………8′
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin.　两角和正弦公式的逆用……………………10′
又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.　三角函数性质的应用……………………12′

❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A<π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B<也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A，第(2)问中＝＝＝2等.
❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A＝－，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋sin B＋
3cos B＝3＋2sin化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分.

……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化

……由三角函数值及角的范围求角

……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换

……利用角的范围和三角函数性质求出最值

……检验易错易混，规范解题步骤得出结论
【规范训练】(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围.
解　(1)由正弦定理，得2sin Bsin A＝sin A，
故sin B＝，由题意得B＝.
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A.
由△ABC是锐角三角形，得A∈ .
由cos C＝cos＝－cos A＋sin A，得
cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋
＝sin＋∈.
故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.

1.(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝2cos2ω1x＋sin ω2x.
(1)求f(0)的值；
(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　(1)f(0)＝2cos20＋sin 0＝2.
(2)选择条件①.f(x)的一个周期为π.
当ω1＝1，ω2＝2时，f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝(cos 2x＋1)＋sin 2x＝
＋1＝sin＋1.
因为x∈，所以2x＋∈.
所以－1≤sin≤1，则1－≤f(x)≤1＋.
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)在上取得最小值1－.
选择条件②.f(x)的一个周期为2π.
当ω1＝1，ω2＝1时，f(x)＝2cos2x＋sin x＝2(1－sin2x)＋sin x＝－2＋.
因为x∈，所以sin x∈.
所以当sin x＝－1，即x＝－时，f(x)在上取得最小值－1.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C.
(1)求cos B的值；
(2)求sin的值.
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin C＝csin B.又由3csin B＝4asin C，
得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.
因为b＋c＝2a，
所以b＝a，c＝a.
由余弦定理可得
cos B＝＝＝－.
(2)由(1)可得sin B＝＝，
从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－，
cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，
故sin＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin
＝－×－×＝－.
3.已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.
解　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝f(x)的单调递减区间
为(k∈Z).
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1，又＜2A＋＜，
∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，②
由①②得b＝3，c＝2.
4.已知函数f(x)＝cos x(cos x＋sin x).
(1)求f(x)的最小值；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长.
解　(1)f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋sin.
当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.
(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，
∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝.
∵S△ABC＝absin C＝，∴ab＝3.
又(a＋b)2－2abcos ＝7＋2ab，
∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，
故△ABC的周长为4＋.
5.(2020·东北三省三校联考)已知在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2tan A＝a2tan B，2sin2＝1＋cos 2C.
(1)求角A的大小；
(2)若点D为AB上一点，满足∠BCD＝45°，且CD＝3－，求△ABC的面积.
解　(1)由2sin2＝1＋cos 2C得
1－cos(A＋B)＝2cos2C，即2cos2C－cos C－1＝0，
解得cos C＝－(cos C＝1舍去)，故C＝120°.
因为＝，b2tan A＝a2tan B，
所以＝，
即sin A·cos A＝sin Bcos B，故sin 2A＝sin 2B，
因此A＝B或A＋B＝90°(舍去)，故A＝30°.
(2)由(1)知△ABC为等腰三角形，设BC＝AC＝m，
由S△ABC＝S△ACD＋S△BCD得m2·sin 120°＝m· CD·sin 45°＋m·CD·sin 75°，
整理得m＝CD＝×，
解得m＝2，故S△ABC＝m2·sin 120°＝3.
6.(2021·武汉调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝.
(1)若a＝，b＝，求cos B；
(2)求sin(A＋B)＋sin Bcos B＋cos(B－A)的最大值.
解　(1)∵S＝，∴bcsin A＝，
即sin A＝＝cos A，则tan A＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝.
由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，又a>b，
∴cos B＝＝.
(2)由第(1)问可知，A＝，
sin(A＋B)＋sin Bcos B＋cos(B－A)
＝sin＋sin Bcos B＋cos
＝sin B＋cos B＋sin Bcos B＋cos B＋sin B
＝(sin B＋cos B)＋sin Bcos B，
令t＝sin B＋cos B，则t2＝1＋2sin Bcos B，
sin(A＋B)＋sin Bcos B＋cos(B－A)＝t＋(t2－1)，
令y＝t2＋t－＝(t＋)2－，t∈(0，]，
∴当t＝，即B＝时，sin(A＋B)＋sin Bcos B＋cos(B－A)取得最大值.