2023届高考数学特训营-第4节-复数.doc

第4节　复数

A级(基础应用练)
1．(2022•四川宜宾市三模)在复平面内，复数z＝(－3＋2i)i对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：∵z＝(－3＋2i)i＝－3i＋2i2＝－2－3i，∴复数z对应的点的坐标为(－2， －3)，位于第三象限．故选C.
2．(2022•山东济南联考)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A．1＋i B．2
C．(1，－) D．－1＋i
答案：D
解析：设复数z对应的点为(x，y)，则x＝|z|cos 120°＝2×(－)＝－1，y＝|z|sin 120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1，)，∴z＝－1＋i，故选D.
3．(2022•福建三明一中高三月考)复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为(　　)
A．1 B．
C．3 D．
答案：C
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z－2|＝1，∴复数z的对应点Z(x，y)在以A(2，0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知，当点Z位于点B(3，0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.故选C.

4．(2022•重庆高三三模)若复数z满足|z－1＋i|＝|1－2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点(x，y)满足方程(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
答案：B
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1＋i|＝|1－2i|，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
故选B.
5．(2022•安徽省安庆市二模)已知i为虚数单位，复数z满足(1＋i3)z＝2，则下列判断正确的是(　　)
A．z的虚部为i B．|z|＝2
1． C．z•＝2 D．z2＝2
答案：C
解析：z＝＝＝1＋i，其虚部为1，A错误；
|z|＝＝，B错误；
2． z•＝(1＋i)(1－i)＝2，C正确；
z2＝(1＋i)2＝2i≠2，D错误．故选C.
3． 6．(2022•四川石室一模)若复数z满足(1＋i)•z＝1－i5，则其共轭复数 的模为(　　)
A．1 B．－1
C. D．
答案：A
解析：∵i5＝(i2)2•i＝i•(－1)2＝i，z＝＝＝＝－i，
4． ∴＝i，||＝1，故选A.
7．已知复数z满足i＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．
答案：D
解析：由i＝，得zi－7i＝1－2z，即z＝，z＝＝＝＝＋，
所以|z|＝＝.故选D.
8．(2022•黑龙江高三期末)复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部是________．
答案：
解析：∵z＝＝＝＝－＋i，
因此复数z的虚部为.
9．(2022•重庆高三三模)设m∈R，i为虚数单位，且＋(1＋mi)是实数，则m的值为________．
答案：－1
解析：＋(1＋mi)＝＋(1＋mi)＝＋(1＋mi)＝2＋(1＋m)i.又＋(1＋mi)是实数，所以1＋m＝0，所以m＝－1.
10．(2022•浙江高三模拟)若复数z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数m＝________，|2－2i＋z|＝________．
答案：2　
解析：因为复数z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i为纯虚数，且m为实数，
所以，解得m＝2，此时z＝3i，|2－2i＋z|＝|2－2i＋3i|＝|2＋i|＝＝.
B级(综合创新练)
11．(多选题)(2022•四川高三二模)设z是复数，若z(1－i)＝|－i|(i是虚数单位)，则下列说法正确的是(　　)
A．z的虚部为 B．z＝
5． C．|z|＝1 D．z＋＝1
答案：BD
6． 解析：依题意z(1－i)＝|－i|＝1，z＝＝＝，所以B正确；z的虚部为，所以A错误；|z|＝＝，所以C错误；z＋＝＋＝1，所以D正确．故选BD.
12．(多选题)已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(－<θ<)(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cos θ
D.的实部为
答案：BCD
解析：因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1<cos 2θ≤1，所以0<1＋cos 2θ≤2，所以A选项错误；
当sin 2θ＝0，θ＝0∈(－，)时，复数z是实数，故B选项正确；
|z|＝＝＝2cos θ，故C选项正确；
＝
＝
＝，
的实部是＝，故D选项正确．
故选BCD.
13．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则|eiθ－2i|的最小值等于________
答案：1
解析：由题意知|eiθ－2i|＝|cos θ＋(sin θ－2)i|＝＝，当sin θ＝1时，|eiθ－2i|取得最小值1.
14．(2022•重庆高三三模)已知复数z1，z2，则以下四个说法正确的是________．
①＝•；
②若|z1|＝|z2|，则z＝z；
③|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；
④若z1，z2(z1≠z2)是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的虚根，则z1，z2互为共轭复数．
答案：①③④
解析：对于①中，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1•z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，所以＝ac－bd－(ad＋bc)i，
又•＝(a－bi)(c－di)＝ac－bd－(ad＋bc)i，所以＝•，所以①正确；
对于②中，取z1＝i，z2＝1＋i，满足|z1|＝|z2|，则z＝－2，z＝2i，所以z≠z，所以②不正确；
对于③中，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd，
(|z1|＋|z2|)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2 ，
又(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd，
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd，当且仅当a2d2＝b2c2时，等号成立，所以|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，所以③正确；
对于④中，利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，即可得到④正确．
15．已知复数z1＝i，z2＝，则|z1＋z2|＝________，z1＋z＋…＋z＝________．
答案：　0
解析：因为z2＝＝＝1＋i，z1＋z2＝i＋1＋i＝1＋2i，
所以|z1＋z2|＝＝.
z1＋z＋…＋z＝＝＝＝＝0.