《一元二次方程的解法(三)--公式法-因式分解法》—知识讲解(提高).doc

《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》
—知识讲解（提高）

【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　　　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：;
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：;
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：;
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1．解关于x的方程．
【答案与解析】
(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．
∵ m≠0，解得x＝1．
(2)当m+n≠0时，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，．
【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．
举一反三：

【变式】解关于的方程；
【答案】原方程可化为
∵
∴
∴
∴
2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；
【答案与解析】
方程整理为，
∴ ，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13，
∴ ，
∴ ，
∴ ，．
【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.
举一反三：

【变式】用公式法解下列方程：
【答案】∵
∴
∴
∴
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．解方程：（1）（2020•广东模拟）﹣3x2+22x﹣12=12．
（2）（2020春•上城区期末）3x2﹣x﹣4=0
【思路点拨】先把方程变形，然后利用因式分解法解方程，注意对于二次项系数的分解．
【答案与解析】
解：（1）原式变形得：3x2﹣22x+24=0，
（3x﹣4）（x﹣6）=0，
3x﹣4=0或x﹣6=0，
∴ x1=，x2=6．
（2）3x2﹣x﹣4=0，
分解因式得：（3x﹣4）（x+1）=0，
∴（3x﹣4）=0或（x+1）=0
∴ x1=，x2=﹣1；
【总结升华】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】（2020春•相城区期末）解方程： 5x（x﹣3）=（x+1）（x﹣3）.
【答案】 解：5x（x﹣3）=（x+1）（x﹣3），
5x（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣3）=0，
（x﹣3）4x﹣1）=0，
∴ x﹣3=0或4x﹣1=0，
∴ x1=3，x2=．
4．（1）解方程x（x﹣1）=2．
有学生给出如下解法：
∵x（x﹣1）=2=1×2=（﹣1）×（﹣2），
∴或或或
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=﹣1．
∴x=2或x=﹣1．
请问：这个解法对吗？试说明你的理由．
（2）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．
使用上边的事实，解答下面的问题：
用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．
【思路点拨】（1）这种做法不对，两个数的积是2，这两个数的情况有无数种，不一定只是所列出的几种；
（2）因为周长一定的多边形中，正多边形面积最大，那么就把五根木棒都用上，不会得到正三角形，也就是等边三角形，只能取最接近的办法，即2+5，3+4，6来围成三角形，其面积最大，得到一个等腰三角形，则其底边上的高等于2，S△=6．
【答案与解析】
（1）答案一：
对于这个特定的已知方程，解法是对的．
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．
答案二：
解法不严密，方法不具有一般性．
理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组此学生的方法只是巧合了，求对了方程的解．
（2）解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．
取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．
此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．
可求得其最大面积为6．
【总结升华】考察解一元二次方程，以及周长一定的多边形中，正多边形面积最大等知识．
5.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：
代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．
根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．
【思路点拨】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．
【答案与解析】王力的推测是正确的．
∴
∴（1）
或（2）
解不等式组（1）得：x；
解不等式组（2）得：x；
∴不等式的解集是x或x．
【总结升华】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分式不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．