黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试数学(文)试卷.doc

大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末
高三年级数学试题（文）
说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集，集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )
A． B． C． D．
3．命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
4. 已知数列的前n项和，则的值为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
5．已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
6．在右侧的程序框图中，若，则输出的是（ 　）

A. B.　　　C. D.

7. 在中，内角的对边分别是，若，
则角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
9．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

A． B． C． D．

10. 函数的部分图象如右图所示，若将的图象向右平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．　　 B． 　 C．　　 D．

11．在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数，
若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，若，则 .
14．若，，则 .
15. 是同一球面上的四个点，,⊥平面，，,则该球的表面积为 .
16．已知函数，点为坐标原点, 点N,向量，是向量与的夹角，则的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. (本小题满分12分) 设数列的前项和为 ，数列为等比数列，
且 ．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

18.(本小题满分12分) 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
等 级
一级
二级
三级
四级
频 率
0.30

0.10
现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家.
（1）求的值；
（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.

19.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点.
（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.

20. (本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点．当直线垂直于轴且点为椭圆的

右焦点时， 弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；
（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分12分) 已知函数（为常数），其图象是曲线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
如图，是的切线，过圆心， 为的直径，与相交于、两点，连结、.
(1) 求证：；
(2) 求证：.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)，
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若时，，求实数的取值范围.

大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末
高三年级数学试题（文）参考答案
一、1—12
DBDCD CABBB CD
二、13. 14. 15. 16.
三、
17.（1）时，当时综上

（2）

两式相减得

18.(1)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20.
所以. ——————4分
（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b，则从中抽取2家公司，不同的结果为…共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：…共6种，所以. ——————12分
19. （1）证明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中点，，
平面，，
又已知，
平面； ———————6分
（2）平面，平面，
而，，，
又，，
又平面，，
而，，
，
，
. ————————12分

20. （1）由，设，则，，
所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，
所以椭圆的方程为 ————————3分
（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，
由点的坐标为，所以，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，解得，
又过原点，于是，，所以直线的方程为，
所以点到直线的距离，
故 . ——————8分
（3）假设存在点，使得为定值，设，
当直线与轴重合时，有，
当直线与轴垂直时，，
由，解得，，
所以若存在点，此时，为定值2．
根据对称性，只需考虑直线过点，设，，
又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，
化简得，所以，，
又，
所以，
将上述关系代入，化简可得．
综上所述，存在点，使得为定值. ————————12分

21. （1）当时， ．令，解得，
的单调减区间为． ——————2分
（Ⅱ） ，由题意知消去，得有唯一解．令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是． ————————6分
（Ⅲ） 设，则点处切线方程为，
与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得． ————————12分

22. (1) 由是圆的切线，因此弦切角的大小等于夹弧所对的圆周角，在等腰中，，可得，所以. ——————5分
(2) 由与相似可知，，由切割线定理可知，，则，又，可得. ———————— 10分

23. （1），故圆的方程为
直线的参数方程为，直线方程为.———————5分
（2）由和得：.
设点为则
所以当或时，原式的最小值为. ———————— 10分

24. (1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．
当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；
当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；
当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．
综上，不等式的解集为． ———————— 5分
（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，
由此得a≥－7且a≤2x＋7．
当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，
所以a的取值范围是[－7，7]． ———————— 10分