2017-2021北京重点校初二(下)期中数学汇编：勾股定理.docx

2017-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编
勾股定理
一、单选题
1．（2020·北京四中八年级期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
2．（2020·北京四中八年级期中）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
3．（2021·北京师大附中八年级期中）下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．2，4，7 C．6，8，10 D．
4．（2021·北京师大附中八年级期中）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图2（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图2（1）中对角线AC的长为（ ）

A．20cm B．30cm C．40cm D．cm
5．（2018·北京四中八年级期中）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ）
A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24 D．6、5、4
6．（2017·北京·人大附中八年级期中）分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（），，；（），，；（），，；（），，，期中能构成直角三角形的有（ ）．
A．组 B．组 C．组 D．组
7．（2018·北京师大附中八年级期中）下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是(　　)
A．1，3，3 B．3，4，5 C．2，3，7 D．4，6，7
8．（2018·北京四中八年级期中）如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝_____．

10．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为_____．

11．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是______．

12．（2018·北京四中八年级期中）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=_____，S2=_____．

13．（2018·北京四中八年级期中）在Rt△ABC中，a，b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若，则该直角三角形斜边上的高为____________．
14．（2019·北京四中八年级期中）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．

15．（2017·北京·人大附中八年级期中）平面直角坐标系中，点坐标为，则点到原点的距离是__________．
三、解答题
16．（2020·北京四中八年级期中）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．

17．（2018·北京四中八年级期中）问题背景
在△ABC中，AB，BC，AC的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你直接写出△ABC的面积：________.
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2a，a(a>0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新
(3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积．

18．（2018·北京四中八年级期中）如图，在△ABC中，∠A =105°，∠C=30°，AB =4，求BC的长．

19．（2020·北京四中八年级期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．
（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
a
b
c
a
b
c
3
4
5
4
3
5
5
12
m
6
8
10
7
24
25
p
15
17
9
n
41
10
24
26
11
60
61
12
35
37
…
…
…
…
…
…

平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．
（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．

参考答案
1．A
【分析】
根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
2．A
【分析】
设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟悉相关性质是解题的关键．
3．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】
解：A、12+22=5≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+42=20≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．D
【分析】
如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：如图1，2中，连接AC．

在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵AC=40cm，
∴AB=BC=（cm），
在图1中，∵∠B=60°，BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．D
【详解】
选项A，92+122=225=152；选项B，402+92=1681=412；选项C，72+242=625=252；选项D，52+42≠62，根据勾股定理的逆定理可知，只有选项D不能够成直角三角形．故选D．
6．B
【解析】
（1）∵，
∴长为3、4、5的线段能够构成直角三角形；
（2）∵，
∴长为5、12、13的线段能构成直角三角形；
（3）∵，
∴长为8、15、17的线段能构成直角三角形；
（4）∵，
∴长为3、4、5的线段不能构成直角三角形.
综上所述，上述四组线段中，能构成直角三角形的有3组.
故选B.
点睛：根据勾股定理的逆定理可知：三条线段中，若是最长线段，且，则这三条线段能围成直角三角形.
7．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
12+(3)2≠32，故A选项不能组成直角三角形，
32+42=52，故B选项能组成直角三角形，
22+(7)2 ≠32，故C选项不能组成直角三角形，
42+62≠72，故D选项不能组成直角三角形，
故选B.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8．C
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【详解】
解：BC＝BA＝，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴a＝
故选：C．

【点睛】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
9．4
【分析】
由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．3．
【分析】
根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．
【详解】
解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
11．2.4
【分析】
连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接CP．

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CP，
即×4×3＝×5•CP，
解得CP＝2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
12．
【详解】
解：如图所示：S1=c2+ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．

点睛：本题考查了利用图形面积的关系证明勾股定理，解题的关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
13．
【详解】
分析：首先判断出a=3，b=4，可得斜边c=5，利用面积法可得斜边上的高h=．
详解：∵a、b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若a＜+1＜b，
∴a=3，b=4，
∴斜边c==5，
∴该直角三角形斜边上的高h的长度为=，
故答案为
点睛：本题考查勾股定理、估算无理数大小等知识，解题的关键是学会用面积法求直角三角形斜边上的高．
14．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
15．
【解析】
∵点P的坐标为（3，-2），
∴点P到原点O的距离为：PO=.
故答案为：.
点睛：平面直角坐标系中，点P(a，b)到原点O的距离为：PO=.
16．AB＝cm．
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【详解】
解：设，
，，，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键．
17．(1)(2) (3)
【分析】
（1）利用分割法求三角形面积即可；
（2）利用勾股定理构造△ABC，再利用分割法求面积即可；
（3）在m×n的方格图中，利用勾股定理构造△ABC，再利用分割法求面积即可；
【详解】
解：（1）S△ABC=3×3-×2×1-×2×3-×1×3=．
（2）△ABC如图所示．

S△ABC=2a×4a-×2a×a-×2a×2a-×4a×a=3a2
（3）△ABC如图所示，

S△ABC=3m×4n-×2m×2n-×3m×2n-×m×4n=5mn．
【点睛】
本题考查勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．
18．BC=+
【详解】
分析：先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
详解：∵∠A=105°，∠C=30°．
∴∠B=45°．
过点A作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB中，
∵∠ADB=90°，∠B=45°，AB=4．
∴∠DAB═∠B=45°．
∵sinB=，
∴AD=．
∴AD=BD=．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=30°．
∵AD=，
∴AC=．
∴由勾股定理得：CD=．
∴BC=BD+CD=．
点睛：本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．
【分析】
（1）根据勾股数的定义计算即可；
（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
（1）根据勾股数的定义计算即可；
（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）∵52+122＝132，
∴m＝13；
∵92+402＝412，
∴n＝40，
∵82+152＝172，
∴p＝8．
（2）如图所示：

在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，
S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．
【点睛】
本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．
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