2022北京八十中初二(下)期中数学(教师版).docx

2022北京八十中初二（下）期中
数 学
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，6，8 D．6，8，10
2．下列各式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
3．一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．
4．一次函数的图象不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则　　

A． B． C． D．
6．矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是　　
A．2 B．4 C． D．
7．如图，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则等于　　

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
8．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是　　

A．12 B．24 C．36 D．48
二、填空题（本题共27分，第9-13题每空2分，第14-18题3分）
9．（2分）函数中自变量的取值范围是　　．
10．（2分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（分
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择 　　．
11．（2分）若，为实数，且，则的值为 　　．
12．（2分）当　　时，函数是正比例函数．
13．（4分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员成绩如下：
成绩米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
那么运动员成绩的众数是 　　，中位数是 　　．
14．已知一次函数，随的增大而增大，且图象与轴交于负半轴，则的取值范围是 　　．
15．如图，菱形中，若，，则菱形的面积等于 　　．

16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 　　．

17．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使得点落在点处，则　　．

18．如图，点、、为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点．线段，，，的中点分别为、、、．在点的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形是平行四边形；
②存在无数个中点四边形是菱形；
③存在无数个中点四边形是矩形；
④存在无数个中点四边形是正方形．
所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题（本题共49分，第19题每小题10分；第20-24题每小题10分，第25-26题每小题10分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（5分）如图，、是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．

21．（5分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形的面积和周长；
（2）求证：．

22．（5分）如图，直线是一次函数的图象．
（1）求直线的解析式；
（2）如果直线向上平移3个单位后，经过点，求的值．

23．（5分）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在所给平面直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）此函数图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，若，请直接写出点的坐标．

24．（5分）已知：如图，在等腰中，，平分交于点，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的长．

25．（7分）正方形中，点是边上任意一点．
（1）如图1，连接，，作于，连接，请补全图形：
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若点在射线上，过点作线段，使线段于点，且，若点，，恰好在同一条直线上，用等式表示线段、、之间的数量关系为：　　（直接写出结果）

26．（7分）在平面直角坐标系中，若，为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与轴，轴平行，则称该菱形为点，的“相关菱形”．图1为点，的“相关菱形”的一个示意图．
已知点的坐标为，点的坐标为，
（1）若，则，，，中能够成为点，的“相关菱形”顶点的是 　　；
（2）若点，的“相关菱形”为正方形，求的值；
（3）若点，的“相关菱形”有一条对角线与轴重合，当直线与点，的“相关菱形”有且仅有两个公共点时，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：、，，
，
以2，3，4为边不能构成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
以4，5，6为边不能构成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
以5，6，8为边不能构成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
以6，8，10为边能构成直角三角形，
故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．【分析】由，利用一次函数图象的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出答案．
【解答】解：，
随的增大而减小，
点，均在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数中，若，随的增大而增大；若，随的增大而减小．
4．【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．【分析】根据翻折的性质可得，再求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：矩形沿对折后两部分重合，，
，
矩形对边，
．
故选：．

【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．
6．【分析】根据矩形性质得出，，，推出，得出是等边三角形，则可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
则，
故选：．

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分，难度适中．
7．【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
在中，，是斜边上的中线，
，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．【分析】由图2知，，当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时，即可求解．
【解答】解：由图2知，，
当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时，
当时，，
的面积，
故选：．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
二、填空题（本题共27分，第9-13题每空2分，第14-18题3分）
9．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【解答】解：，
乙、丙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
，
乙的最近几次数学考试成绩的方差小，发挥稳定，
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故答案为：乙．
【点评】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
11．【分析】根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．【分析】根据形如是常数，的函数叫做正比例函数可得，且，再解即可．
【解答】解：根据正比例函数定义可得：，且，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数．
13．【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：数据1.75出现了4次，最多，
故众数为1.75，
共17名运动员，排序后位于第9位的数为1.70，
故中位数为1.70．
故答案为：1.75，1.70．
【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
14．【分析】根据一次函数的增减性可知，根据一次函数与轴交点可知，进一步即可确定的取值范围．
【解答】解：根据随的增大而增大，
可得，
解得，
根据图象与轴交于负半轴，
可得，
解得，
的取值范围是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质与系数的关系是解题的关键．
15．【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积；
故答案为：120．

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．
16．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．【分析】根据四边形为矩形，可得，，，由翻折可得，，，进而可证，可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，即可得出答案．
【解答】解：四边形为矩形，
，，，
由翻折可得，
，，
，，
又，
，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
18．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．
【解答】解：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，
存在无数个中点四边形是平行四边形，存在无数个中点四边形是菱形，存在无数个中点四边形是矩形．
故答案为：①②③
【点评】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共49分，第19题每小题10分；第20-24题每小题10分，第25-26题每小题10分）
19．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法和除法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20．【分析】首先连接，交于点，由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解答】证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
21．【分析】（1）用大正方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形的面积；利用勾股定理分别求出、、、即可求得四边形的周长；
（2）求出、、，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【解答】（1）解：四边形的面积；
由勾股定理得、、、，
故四边形的周长是；
（2）证明：连接．
，
，
，
，
是直角三角形，
即．

【点评】本题考查勾股定理．勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点代入得到关于的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点，代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）直线向上平移3个单位后得到，
经过点，
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行可设一次函数的解析式为，然后把已知点代入进行计算求出值，即可得解；
（2）利用描点法法作出函数图象即可；
（3）根据三角形面积可知，由图象可得结论．
【解答】解：（1）一次函数的图象与直线平行，
设，
一次函数的图象经过点．
，
解得，
一次函数的解析式：；

（2）当时，，
当时，，解得，
所以，函数图象经过点，，
函数图象如图：

（3）点，，点在轴上，
，
，
，
，
或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象、三角形面积等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，得出、的坐标．
24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：，平分，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；

（2）解：四边形是菱形，
，平分，，
，
，
，
，，
，
即，
，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能求出四边形是菱形是解此题的关键．
25．【分析】（1）根据要求补全图形即可；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．证明，可得，，，可得，，得出四边形是平行四边形，则，根据等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）连接，，由“”可证，可得，，由勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）补全图形如图：

（2）．
证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．

，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；

（3）连接，，如图，

于点，且，
，，
四边形是正方形，
，，
．
，
，，
，
在中，，
又，，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．【分析】（1）画出，的“相关菱形”，观察图象即可得答案；
（2）过作轴于，根据点，的“相关菱形”为正方形，可得为等腰直角三角形，即得，从而可得或5；
（3）设关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，根据点，的“相关菱形”有一条对角线与轴重合，知四边形即是满足条件的，的“相关菱形”，由的坐标为，得，当直线过时，可得，当直线过时，，由图可知，由图即可得的取值范围是且．
【解答】解：（1）观察图象可知、、能够成为点，的“相关菱形”顶点，

故答案为：、、；
（2）过作轴于，如图：

点，的“相关菱形”为正方形，
为等腰直角三角形．
，
，
或5；
（3）设关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，如图：

点，的“相关菱形”有一条对角线与轴重合，
四边形即是满足条件的，的“相关菱形”，
的坐标为，
，
当直线过时，，
，
当直线过时，，
，
由图可知，当时，直线与点，的“相关菱形”有且仅有两个公共点，
又时，，的“相关菱形”不存在，
的取值范围是且．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及菱形的性质、正方形的性质、新定义“相关菱形”等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题．
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