课时作业-第5节-函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用.docx

第5节　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质及三角函数模型的应用

知识点、方法
基础巩
固练
综合运
用练
应用创新练
函数y=Asin(ωx+)的图象及
变换
1,2,3,4,6
11

求函数y=Asin(ωx+)的解析式
7
10

函数y=Asin(ωx+)的图象与性质的综合应用
5,8
13
15
综合问题

9,12,14

1.函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]上的简图是(　A　)

解析:令x=0得y=sin(-π3)=-32,排除B,D项,由f(-π3)=0,f(π6)=0,排除C项.故选A.
2.要得到y=sin(2x-π4)的图象,只需将y=sin 2x的图象(　D　)
A.向左平移π4个单位长度
B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移π8个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
解析:因为y=sin(2x-π4)=sin2(x-π8),
因此,要得到y=sin(2x-π4)的图象,只需将y=sin 2x的图象向右平移π8个单位长度.故选D.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(0<ω<2)满足条件:f(-12)=0,为了得到函数y=f(x)的图象,可将函数g(x)=cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为(　A　)
A.1 B.12
C.π6 D.π2
解析:由题意,得sin(-12ω+π6)=0,
即-12ω+π6=kπ(k∈Z),
则ω=π3-2kπ(k∈Z),
结合0<ω<2,得ω=π3,
所以f(x)=sin(π3x+π6)=cos(π2-π3x-π6)=cos[π3(x-1)],
所以只需将函数g(x)=cosπ3x的图象向右平移至少1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象.故选A.
4.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数(　A　)
A.在区间[-π4,π4]上单调递增
B.在区间[-π4,0]上单调递减
C.在区间[π4,π2]上单调递增
D.在区间[π2,π]上单调递减
解析:y=sin(2x+π5)=sin 2(x+π10),将其图象向右平移π10个单位长度,得到函数y=sin 2x的图象.由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z.令k=0,可知函数y=sin 2x在区间[-π4,π4]上单调递增.故选A.
5.(多选题)函数f(x)=2sin(2x-π3)的图象为C,则下列结论正确的是(　AB　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.对任意的x∈R,都有f(x+π6)+f(π6-x)=0
C.f(x)在(-π12,5π12)上是减函数
D.由y=2sin 2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C
解析:由f(x)=2sin(2x-π3),所以f(x)的最小正周期为2π2=π,故A正确;f(π6)=2sin(2×π6-π3)=0,即函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称,即对任意的x∈R,都有f(x+π6)+f(π6-x)=0成立,故B正确;当x∈(-π12,5π12)时,2x-π3∈(-π2,π2),所以f(x)在(-π12,5π12)上是增函数,故C错误;由y=2sin 2x的图象向右平移π3个单位长度得到y=2sin 2(x-π3)=
2sin(2x-2π3)的图象,故D错误.故选AB.
6.函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+ 3cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. 
解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-π3),y=sin x+3cos x=2sin(x+π3),故应至少向右平移2π3个单位长度.
答案:2π3
7.已知函数y=sin(2x+)(-π2<<π2)的图象关于直线x=π3对称,则的值为　　　　. 
解析:由题意得f(π3)=sin(2π3+)=±1,
所以2π3+=kπ+π2,k∈Z,
所以=kπ-π6,k∈Z.
因为∈(-π2,π2),
所以=-π6.
答案:-π6
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为　　　　℃. 
解析:依题意知,a=28+182=23,A=28-182=5,
所以y=23+5cos[π6(x-6)],
当x=10时,
y=23+5cos(π6×4)=20.5.
答案:20.5

9.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1,则下列四个结论正确的是(　AB　)
A.函数f(x)在区间[-3π8,π8]上是增函数
B.点(3π8,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心
C.函数f(x)的图象可以由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度得到
D.若x∈[0,π2],则f(x)的值域为[0,2]
解析:函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π4).
若x∈[-3π8,π8],则2x+π4∈[-π2,π2],
因此函数f(x)在区间[-3π8,π8]上是增函数,
因此A正确;
因为f(3π8)=2sin(3π4+π4)=2sin π=0,
因此点(3π8,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心,因此B正确;
由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度得到y=2sin[2(x+
π4)]=2cos 2x,
因此由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f(x)的图象,因此C不正确;
若x∈[0,π2],则2x+π4∈[π4,5π4],
所以sin(2x+π4)∈[-22,1],
所以f(x)的值域为[-1,2],因此D不正确.故选AB.
10.下列关于函数f(x)=2cos2x+3sin 2x-1的说法正确的是(　D　)
A.x=π3是函数f(x)的一个极值点
B.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数
C.函数f(x)在区间(0,π)上有且只有一个零点 5π12
D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度得到
解析:函数f(x)=2cos2x+3sin 2x-1=cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+π6),
当x=π3时,2sin(2×π3+π6)=1,所以x=π3不是函数f(x)的一个极值点,所以A不正确;
当x=π6时,函数f(x)取得最大值,所以函数f(x)在区间[0,π2]上不是增函数,所以B不正确;
由2sin(2x+π6)=0得2x+π6=kπ,k∈Z,则x=kπ2-π12,k∈Z,所以在区间(0,π)上有两个零点5π12,11π12,所以C不正确;
由函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度得到y=2sin[2(x+
π12)]=2sin(2x+π6)的图象,所以D正确.故选D.
11.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,φ≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)的图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为(　B　)
A.11 B.9
C.7 D.5
解析:因为x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)的图象的对称轴,
所以2n+14·T=π2,即2n+14·2πω=π2(n∈N),
即ω=2n+1(n∈N),
即ω为正奇数,
因为f(x)在(π18,5π36)上单调,则5π36-π18=
π12≤T2,
即T=2πω≥π6,解得ω≤12,
当ω=11时,-11π4+=kπ,k∈Z,
因为||≤π2,
所以=-π4,
此时f(x)在(π18,5π36)上不单调,不满足题意;
当ω=9时,-9π4+=kπ,k∈Z,
因为||≤π2,
所以=π4,
此时f(x)在(π18,5π36)上单调,满足题意.
故ω的最大值为9.故选B.
12.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;
③f(x)在(0,π10)单调递增;
④ω的取值范围是[125,2910).
其中所有正确结论的编号是(　D　)
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
解析:如图,根据题意知,xA≤2π<xB,根据图象可知函数f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点,所以①正确;但可能会有2个或3个极小值点,所以②错误;根据xA≤2π<xB,有24π5ω≤2π<29π5ω,得125≤ω<2910,所以④正确;当x∈(0,π10)时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,因为125≤ω<2910,所以11π25≤ωπ10+π5<49π100<π2,所以函数f(x)在(0,π10)上单调递增,所以③正确.故选D.

13.将函数f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移π3个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若x∈[-π2,π2],则函数g(x)的单调递增区间是　　　　. 
解析:因为f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-π3)-3,
所以g(x)=2sin[2(x+π3)-π3]-3=2sin(2x+π3)-3,
由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z),
得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z),
因为x∈[-π2,π2],
所以函数g(x)在[-π2,π2]上的单调递增区间是[-5π12,π12].
答案:[-5π12,π12]
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+){A>0,ω>0,||<π2}的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π8]上的最小值.
解:(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知A=1,T2=2π3-π6=π2,
即T=π,所以π=2πω,解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+),又f(x)的图象过点(π6,0),
由0=sin(2×π6+)可得π3+=kπ(k∈Z),
则=kπ-π3(k∈Z),
因为||<π2,所以=-π3,
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x-π3).
(2)根据条件得g(x)=sin(4x+π3),
当x∈[0,π8]时,4x+π3∈[π3,5π6],
所以当x=π8时,g(x)取得最小值,且g(x)min=12.

15.在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称;②f(x)的图象关于点(5π18,0)对称;③f(x)在[-π4,π4]上单调递增这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于π3,且　　　　,是否存在正实数a,使得函数f(x)在[0,π12]上有最大
值3? 
解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3,所以2πω≥π3,所以1≤ω≤6,ω∈N*.
若选择①,即f(x)的图象关于直线x=5π6对称,则有5π6ω+π6=kπ+π2(k∈Z),解得ω=65k+25(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=3,ω=4.
此时,f(x)=4sin(4x+π6)+a.
由x∈[0,π12],得4x+π6∈[π6,π2],因此当4x+π6=π2,即x=π12时,f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3.
若选择②,即f(x)的图象关于点(5π18,0)对称,则有5π18ω+π6=kπ(k∈Z),
解得ω=185k-35(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=1,ω=3.
此时,f(x)=4sin(3x+π6)+a.
由x∈[0,π12],得3x+π6∈[π6,5π12],因此当3x+π6=5π12,即x=π12时,f(x)取得最大值4sin5π12+a=6+2+a,令6+2+a=3,解得a=3-6-2,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3.
若选择③,即f(x)在[-π4,π4]上单调递增,
则有-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2,(k∈Z),
解得ω≤-8k+83,ω≤8k+43,
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=0,ω=1.
此时,f(x)=4sin(x+π6)+a.
由x∈[0,π12],得x+π6∈[π6,π4],因此当x+π6=π4,即x=π12时,f(x)取得最大值22+a,令22+a=3,解得a=3-22,符合题意.
故存在正实数a=3-22,使得函数f(x)在[0,π12]上有最大值3.