2023版大一轮数学人教A版-第3节-等比数列及其前n项和.docx

第3节　等比数列及其前n项和

知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A.－ B.－2 C.2 D.
答案　D
解析　由题意知q3＝＝，即q＝.
3.等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________.
答案　－
解析　因为＝，所以＝－，
因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
所以q5＝－，q＝－，则an＝－.

4.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)
A.f B.f
C.f D.f
答案　D
解析　由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，
设此数列为{an}，则a8＝f，
即第八个单音的频率为f.
5.(多选题)(2021·潍坊调研)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A.a1＞0 B.q＞0
C.＝3或－1 D.＝9
答案　ABD
解析　设等比数列{an}的公比为q，
由题意得2＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正确；
由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，
所以＝q＝3，＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
6.(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.
所以S5＝＝＝.

考点一　等比数列基本量的运算
1.(多选题)(2021·日照调研)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A.1 B.－ C.－ D.－1
答案　AB
解析　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，由得q＝－.
综上，q的值是1或－，故选AB.
2.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A.2n－1 B.2－21－n
C.2－2n－1 D.21－n－1
答案　B
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
所以＝＝＝2－21－n.
3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
解　(1)设{an}的公比为q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.
∴
消去a1，得q＋＝，则q＝2，或q＝(舍).
因此q＝2，a1＝2，
所以{an}的通项公式an＝2n.
(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，
则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]＝－(－1)n·.
感悟升华　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二　等比数列的判定与证明
【例1】Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)易知q≠1，由题意可得
解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时Sn＋＝×3n，则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列．
感悟升华　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【训练1】(2020·石家庄质量评估)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝.
(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列；
(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项.
(1)证明　由anan＋1＝，得an＋1an＋2＝.
两式相除，得＝
因为a1＝1，a1·a2＝，
所以a2＝，
所以{a2n－1}是以a1＝1为首项，为公比的等比数列，
{a2n}是以a2＝为首项，为公比的等比数列.
(2)解　因为T2n＝＋＝3－，
所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝.
则＝·＝.
当n<2时，>1，即b2>b1＝3；
当n＝2时，＝1，即b2＝b3＝；
当n>2时，<1，即bn＋1<bn.
故数列{bn}的最大项是b2或b3，为.
考点三　等比数列的性质及应用
【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A.12 B.24 C.30 D.32
(2)(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
(2)在正项等比数列{an}中，Sn>0，
因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)
因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
感悟升华　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【训练2】 (1)(多选题)(2021·山东名校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项正确的是(　　)
A.0<q<1 B.a6>1
C.T12>1 D.T13>1
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
＝3，则＝________.
答案　(1)ABC　(2)
解析　因为等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，
所以(a6－1)(a7－1)<0，得a6<1，a7>1或a6>1，a7<1，
当a6<1，a7>1时，q>1，但由a1>1得an>1，与a6<1矛盾，因此舍去.
当a6>1，a7<1时，0<q<1，满足题意.所以0<q<1.
因为a6a7＋1>2，所以a6a7>1，
所以T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1，T13＝a<1.故选ABC.
(2)法一　由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，
所以＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，
所以＝.
法二　因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a，
所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，
解得S9＝7a，所以＝＝.
等比数列前n项和性质的延伸
在等比数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，{an}的公比为q，
1.当Sn≠0时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).
2.Sn＋m＝Sn＋qnSm，特别地S2n＝S奇＋qS奇.
【典例】 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(2)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________.
答案　(1)2　(2)
解析　(1)由题设，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.
∴∴
(2)设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
素养升华　1.等比数列前n项和的性质，体现了整体思想在数列中的应用.
2.在运用性质1时，要注意条件Sn≠0；在性质2中，回避讨论公比q＝1是否成立，优化了解题过程.
【训练】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)
A.40 B.60 C.32 D.50
答案　B
解析　数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，
则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，
S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，
又S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝4＋8＋16＝28.
因此S12＝28＋32＝60.

A级　基础巩固
一、选择题
1.(2020·重庆联考)设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　)
A.{an}是等比数列
B.{an}是等差数列
C.当b＝－1时，{an}是等比数列
D.当b≠－1时，{an}是等比数列
答案　C
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，
当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}为等比数列.
当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.6
答案　B
解析　根据等比数列的性质得a3a5＝a，∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.
又a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4.
3.在数列{an}中，满足a1＝2，a＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，Sn为{an}的前n项和，若a6＝64，则S7的值为(　　)
A.126 B.256 C.255 D.254
答案　D
解析　数列{an}中，满足a＝an－1an＋1(n≥2)，
则数列{an}为等比数列，设其公比为q，
又由a1＝2，a6＝64，得q5＝＝32，则q＝2，
则S7＝＝28－2＝254.
4.(多选题)(2021·济南调研)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D.数列是公比为的等比数列
答案　AD
解析　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选AD.
5.(2020·西安调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝(　　)
A.1∶2 B.2∶3
C.3∶4 D.1∶3
答案　C
解析　∵{an}是等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，由S6∶S3＝1∶2，令S3＝x(x≠0)，则S6＝x.
∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，则S9－S6＝，
从而S9＝＋＝，故S9∶S3＝3∶4.
6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑完了1 000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为(　　)
A.米 B.米
C.米 D.米
答案　D
解析　由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，且a1＝100，q＝，an＝0.1.
∴乌龟爬行的总距离为Sn＝＝.
二、填空题
7.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
答案　1
解析　{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，
∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，
∴b2＝b1·q＝2，则＝＝1.
8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________.
答案　1
解析　由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，
又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.
由S3＝＝＝7，得a1＝1.
9.若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*).令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.
答案　5 050
解析　由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，an＝3n－1.
所以bn＝log3(an＋1)＝n，
因此b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5 050.
三、解答题
10.(2021·南昌调研)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
解　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
11.(2020·北京适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，________.是否存在正整数k，使得Sk＞2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，请说明理由.
从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　若选①，
因为a3＝12，q＝2，所以a1＝3，
则Sk＝＝3(2k－1).
令Sk＞2 020，即2k＞.
所以存在最小正整数k＝10使得Sk＞2 020.
若选②，
因为a3＝12，q＝，所以a1＝48，
则Sk＝＝96.
令Sk＞2 020，即＜－，
又＞0恒成立，
所以不存在正整数k使得Sk＞2 020.
若选③，
因为a3＝12，q＝－2，所以a1＝3，
则Sk＝＝1－(－2)k.
令Sk＞2 020，即(－2)k＜－2 019.
当k为偶数时，原不等式无解；
当k为奇数时，原不等式等价于2k＞2 019，
所以存在最小正整数k＝11使得Sk＞2 020.
B级　能力提升
12.(多选题)(2021·黄冈模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A.0<q<1 B.a7·a9>1
C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7
答案　AD
解析　∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正确；a7a9＝a<1，故B错误；
∵a1>1，0<q<1，∴数列为各项为正的递减数列，
∴Sn无最大值，故C错误，
又a7>1，0<a8<1，∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确.故选AD.
13.(2020·临沂检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝________.
答案　121
解析　设等比数列{an}的公比为q，由已知得a2a5＝a3a4＝3a3，又a3≠0，所以a4＝3，即a1q3＝3　①.
因为a4与9a7的等差中项为2，所以a4＋9a7＝a4(1＋9q3)＝4　②，
联立①②解得q＝，a1＝81.

14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数.
(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
(1)证明　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，S＝a－λSn＋1，
∴S＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1，
则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.
∵an>0，知Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，
故Sn＋1＝2Sn＋λ.
(2)解　由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，
两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，
所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.
又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，
∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.
因此an＝
若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.
∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.