上海市杨浦区2012届九年级上学期期末质量调研考试数学试题.doc

上海市杨浦区2012届九年级上学期期末质量调研考试
数学　　2012.1.5
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列函数中，属于二次函数的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2．抛物线一定经过点
（A）（2,-4）； （B）（1,2）； （C）（-4,0）； （D）（3,2）．
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．在平面直角坐标系xOy中有一点P（8,15），那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于
（A）； （B）； （C）； （D）．
5．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于
（A）14； （B）； （C）21； （D）42．
6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有
（A）1个； （B）2个； （C）3个； （D）4个．
A
C
B

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如果，那么= ▲ ．
8．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，，那么的值等于 ▲ ．
9． 已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm，AP>BP，那么AP= ▲ cm．
10．如果抛物线的开口向下，那么k的取值范围是 ▲ ．
11．二次函数图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．[来源:Z|xx|k.Com]
A
B
C
Q
D
P
（第13题图）
12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ▲ ．
13．如图，已知在△ABC中，AB=3，AC=2，D是边AB上的一
点，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相
交于点P和点Q，那么的值等于 ▲ ．
14．已知在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=，那么∠A= ▲ 度．
15．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么的
值为 ▲ ．
16．向量与单位向量的方向相反，且长度为5，那么用向量表示向量为
▲ ．[来源:学科网ZXXK]
17．如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35°方向上，那么从船B观察灯塔A
的方向是 ▲ ．
18．将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知抛物线的对称轴为x=-2．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标．

20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）
A
B
C
（第20题图）
D
如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD∶AD=1∶2，，．
（1）试用向量表示向量；
（2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作
图中表示结论的向量）
[来源:Zxxk.Com]
A
B
C
（第21题图）
21．（本题满分10分，其中每小题各5分）
已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．
求：（1）△ABC的面积；
（2）∠C的余弦值．

22．（本题满分10分）
A
B
C
D
H
E
F
G
K
（第22题图）
已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．[来源:Zxxk.Com]

23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
A
P
B
C
Q
（第23题图）
已知：如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．
求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．[来源:Zxxk.Com]
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
A
（第24题图）
B
C
D
E
F
已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE=ED，过点B作BF∥AC，交线段AE的延长线于点F．
（1）求证：AC=3BF；
（2）如果，
求证：．

25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）
（第25题图）
y
x
O
A
B
1
1
-1
-1
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称
轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO=∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB
与△BCD相似，求点P的坐标．
数学测试参考答案及评分说明
一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C； 2．A； 3．D； 4．B； 5．D； 6．B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．9；　8．；　9．；　 10．k<-4； 　11．-3；　 12．；
13．；　14．120；　 15．； 16．； 17．南偏西35°； 18．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：（1）由题意，得．………………………………………………（2分）
∴m=4．……………………………………………………………………（2分）
（2）此抛物线的表达式为．………………（2分）
∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为，
即．………………………………………………………（2分）
∴它与y轴的交点坐标为（0,8）．………………………………………（2分）
A
B
C
D
M
20．解：（1）∵CD∶AD=1∶2，
∴，得．…………（2分）
∵． ………………（2分）
∴………………（1分）
∴．…………………………（1分）
（2）．………………………………（画图正确3分，结论1分）
21．解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，．……………………………………………（2分，2分）
∴S△ABC=．……………………………………………（1分）
（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5． ……………………………………………（1分）
在Rt△ACH中，∵，CH=5，
∴．……………………………………………………………（2分）
∴．…………………………………………（2分）
22．解：设EF=x，则GF=2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC．………………………………………（2分）
∴．……………………………………………………………（2分）
∵AH=6，BC=12，∴．………………………………………（2分）
解得x=3．…………………………………………………………………（2分）
∴矩形DEFG的周长为18．……………………………………………（2分）
23．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴．……………………………（2分）
设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．
∴13k=26． 解得k=2．∴AH=10．……………………………………（2分）
答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．………………………………………（1分）
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．……………………………………（1分）
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．………………………（1分）
∵∠BPD=45°，∴PD=BD． ……………………………………………（1分）
设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．
在Rt△ABC中，，即．……………………（2分）
解得，即．…………………………………………………（1分）
答：古塔BC的高度约为19米．…………………………………………（1分）
24．证明：（1）∵BF∥AC，∴．………………………………………（2分）
∵BD=CD，BE=DE，∴CE=3BE．………………………………………（2分）
∴AC=3BF．………………………………………………………………（1分）
（2）∵，∴．…………………………………（1分）
又∵CE=3ED，∴．……………………………………（1分）
∴．……………………………………………………………（1分）
∵∠AED=∠CEA，∴△AED∽△CEA．…………………………………（1分）
∴．……………………………………………………………（1分）
∵ED=BE，∴．………………………………………………（1分）
∴．…………………………………………………（1分）
25．（1）解：由题意，得………………………………………（1分）
解得………………………………………………………………（1分）
∴所求二次函数的解析式为．……………………（1分）
对称轴为直线x=1．………………………………………………………（1分）

（2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1,-1）．…………（1分）
∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）
又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）
∴∠ABO=∠CBO．………………………………………………………（1分）
（3）解：由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1,1）．………………（1分）
由直线AB的表达式，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4,0）．………………………………（1分）
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4,0）．…………………………………………………（2分）
（ii）当∠BOP=∠BCD时，
由△POB∽△BCD，得．
而，，，∴．
又∵，∴．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，∴．
而BF=2，EF=6，∴，．
∴．
∴点P的坐标为（,）．………………………………………………（2分）
综上所述，点P的坐标为（-4,0）或（,）．