2019-2021北京高三(上)期中数学汇编：空间中的垂直关系.docx

2019-2021北京高三（上）期中数学汇编
空间中的垂直关系
一、单选题
1．（2021·北京市第二十二中学高三期中）已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能使成立的是（    ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2019·北京市第二十七中学高三期中）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（    ）
A．若lα，α∩β=m，则lm
B．若lα，mα，则lm
C．若l⊥α，lβ，则α⊥β
D．若lα，l⊥m，则m⊥α
二、解答题
3．（2021·北京市第四十三中学高三期中）如图，在正四棱锥中，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
4．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且

(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
5．（2021·北京市第三十五中学高三期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．
（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

6．（2020·北京市第十二中学高三期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点.

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
7．（2019·北京一七一中高三期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为上异于的点.

（1）求证：平面平面；
（2）当与平面所成角为时，求的长；
（3）当时，求二面角的余弦值.
8．（2019·北京·牛栏山一中高三期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，是的中点．

（1）证明；
（2）若，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）设平面与侧棱交于，求.
9．（2019·北京通州·高三期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，点E，F为PC，PA的中点．

（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）二面角E—BD—F的大小；
（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．
10．（2019·北京市第二十七中学高三期中）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N分别是棱CC1，AB中点．

（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；
（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．

参考答案
1．B
【分析】必有平行的垂线，或者垂直的平行平面，依次判定选项即可.
【详解】解：，，不能说明与的关系，错误；
，能够推出，正确；
，可以得到与平面平行、相交，所以不正确.
，则与平面可能平行，所以不正确.
故选：.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题.
2．C
【分析】根据线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行、垂直的性质和判定判断各选项的正误.
【详解】A，若lα，α∩β=m，则l与m可能相交，平行或者异面；故错误；
B，若lα，mα，则l与m平行､相交或者异面；故错误；
C，若l⊥α，lβ，根据线面垂直､线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故正确；
D，若lα，l⊥m，则m与α可能平行；故错误；
故选：C.
3．（1）证明见解析.（2）
【分析】（1）为正四棱锥.所以为正方形，面，.
因为为正方形，所以 . ，所以面.
（2）要求二面角的余弦值，通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：联结.

在正四棱锥中，底面.
因为平面，所以.
在正方形中，，
又因为，所以面.
（2）解：由（1）知，，，两两垂直，
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
在正方形中，因为，
所以.
又因为，
所以.
所以点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为.
则，.
由（1）知，平面.
所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量.
则，即
令，则，.
故平面的一个法向量.
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查线面垂直及空间向量求面面角的应用，属于中档题目.
4．(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
5．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).
【详解】试题分析：
(Ⅰ)由平行四边形的性质可得，有中点的性质有，则，
由面面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判断定理可得平面．
(Ⅱ)由三角形中位线的性质可得，则平面，同理，得平面，利用面面平行的判断定理可得平面平面，则平面．
(Ⅲ)由题意可知，，两两垂直，以，，分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，结合几何关系点的坐标可得平面的法向量，平面的法向量为，由于直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，据此结合空间向量计算可得．
试题解析：
（Ⅰ）证明：在平行四边形中，
∵，，，
∴，∵，分别为，的中点，
∴，∴，
∵侧面底面，且，
∴底面，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面．
（Ⅱ）证明：∵为的中点，为的中点，
∴，又∵平面，平面，
∴平面，同理，得平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面，又∵平面，
∴平面．
（Ⅲ）解：∵底面，，
∴，，两两垂直，故以，，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设，则，
∴，，
易得平面的法向量，
设平面的法向量为，则：
，即，令，得，
∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
故．

6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据条件证明平面即可；
（2）取的中点，连接、，证明即可；
（3）利用计算即可.
【详解】（1）证明：∵底面，平面，∴，
又∵，平面，平面，，
∴平面，又∵平面，∴；
（2）证明：取的中点，连接、，∵、分别是、的中点，
∴，且，∵，是的中点，
∴，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，平面，∴平面；

（3）∵，，，∴，
∴三棱锥的体积.
7．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由为正方形，可得．又平面，得．利用线面垂直的判断可得平面．从而得到平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系．可得，0，，，2，，，2，，，0，，，0，．设是上一点，且，．由此可得点，，．即，，．利用与平面所成角为列式求得值，进一步求得的长；
（3）结合（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
【详解】证明：（1）为正方形，．
平面，平面，
．
，平面，平面
平面．
又平面，
平面平面；
解：（2）平面，平面，平面，
，．
底面为正方形，．
如图以为原点建立空间直角坐标系．
则， ，， ， ，
．，
设是上一点，且，．
因此点，
，
，

，
即            
，此时；
解：（3），，
平面．
为平面的法向量，
，．
设平面的法向量为，
由，取，得．
，，
设与的夹角为，．
由图可知二面角为锐角，
二面角的余弦值为．

【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角与面面角，属于中档题．
8．（1）见解析；（2）（i）；（ii）
【分析】（1）证明，即可证面，从而得到结论；
（2）（i）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，列方程求出面的法向量为，最后利用公式即可得到结果；（ii）根据（i）的结论，设，则，由此计算得到，又，求出，从而得到结果.
【详解】（1）因为面，平面，所以，
因为，，所以面，因为平面，所以；
（2）（i）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：

则，，，，
所以，，.
设面的法向量为，则，所以，
设直线与面所成角为，，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（ii），，设，，
，，
所以，则，
又，所以，所以.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和立体几何的向量方法，要求认真计算，仔细检查，属中档题.
9．（1）证明见解析（2）（3）CM与平面BDF不平行，详见解析
【分析】（1）连接AC与BD，设交点为O，连接FO，证明平面ABCD，得到答案.
（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.
（3）假设存在，设，计算得到，所以不存在.
【详解】（1）证明：连接AC与BD，设交点为O，连接FO，
由已知E，O分别为PC，AC中点，可得EO//PA,
又因为平面ABCD，
所以平面ABCD，平面BDE
所以平面BDE⊥平面ABCD.
（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系
设AB=a，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，，则AC=a，
，，，，，，
则，.
设平面BFD的法向量为，
则有，即，即
令，则
又由（1）可知为平面BDE的法向量，
所以二面角E—BD—F的大小为
（3）因为点M在PB(端点除外)上，设，
则，，

所以CM与平面BDF不平行.
【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩AB=A所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．
（Ⅲ）所以先求△AB1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．
试题解析：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC
又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．
因为AC=BC=2，N是AB中点，
所以CN⊥AB．
因为AA1∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，
因为N，G分别是棱AB，AB1中点，
所以NG∥BB1，．
又因为CM∥BB1，，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四边形CNGM是平行四边形．
所以CN∥MG．
因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，
所以CN∥平面AMB1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．
所以．
故答案为．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【点评】证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，证明线面平行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．

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