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专题21 多边形内角和定理的应用
一、三角形
1.三角形的内角和：三角形的内角和为180°
2.三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、多边形
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
8.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n边形共有条对角线。
【例题1】（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【对点练习】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数
为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【例题2】（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
【对点练习】（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
一、选择题
1．（2020•北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
3．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
4.若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
5．六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
6．内角和为540°的多边形是（ ）
A B C D
7．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
8．如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40 B．45 C．50 D．60
9.（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．360° B．540° C．630° D．720°
10.（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
11．（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
12．（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6﹣π B．6﹣π C．12﹣π D．12﹣π
二、填空题
13．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
14．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．
15.（2020大连模拟）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= ．
16．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．
17.（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为 度．
18．（2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是 ．
19.一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.
三、简答题
20.（2020江苏镇江模拟）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
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