单元检测五-平面向量.doc

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分160分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
单元检测五　平面向量

第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．(2015·湖北宜昌一中模拟)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a平行b，则x＝________.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，则k＝________.
3．(2015·吉林省实验中学二模)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.
4．(2015·广东广雅中学模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则用坐标表示＝________.
5．(2015·南昌调研)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则ab的最大值是________．
6．(2015·资阳模拟)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝________.
7．(2015·南通模拟)如图，已知圆M：(x－3)2＋(y－3)2＝4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，·的最大值是________．

8．(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
9．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状是__________三角形．
10．定义平面向量的一种运算：a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，给出下列四个命题：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；
③(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)；
④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊗b＝|x1y2－x2y1|.
其中真命题的个数是________．
11.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

12．(2015·攸县一中模拟)若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝______________.
13.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝________.

14．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，其满足＝，则·的取值范围是________．
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(14分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

16．(14分)(2015·惠州二调)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

17.(14分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18．(16分)(2015·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

19.(16分)(2015·德州高三期末)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(sin A,1)，n＝(cos A，)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．

20．(16分)(2015·赣州联考)已知向量m＝(sin x，－1)，向量n＝(cos x，－)，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝2，c＝4，且f(A)恰是f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S.

答案解析
1．6
解析　由题意得4×3－2x＝0得到x＝6.
2．8
解析　因为a＝(1,2)，b＝(0,1)，所以a＋2b＝(1,4)，又(a＋2b)⊥c，c＝(k，－2)，所以(a＋2b)·c＝0⇒k－8＝0⇒k＝8.
3．－
解析　若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则2e1－e2＝k(e1＋λe2)＝ke1＋λke2，
得解得λ＝－.
4．(1,1)
解析　∵＝＋，∴＝－，而＝－＝－(－)＝－(－1，－1)＝(1,1)．
5.
解析　若A，B，C三点共线，则＝λ，
∴(a－1)e1＋e2＝λ(be1－2e2)，
即∴b＝2－2a.
∴ab＝a(2－2a)＝2a(1－a)≤＝，
当且仅当a＝，b＝1时，(ab)max＝.
6.
解析　如图所示．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，

＝a＋b，∠BAC＝，∠DAC＝∠ACB＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝.

7．6
解析　由题意可得⊥，所以·＝0.又易知||＝，||＝3，所以·＝·(＋)＝·＋·＝·＝6cos(π－∠OME)，当∠OME＝π时，·取得最大值6.
8．2
解析　c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，
由题意知＝，
即
＝，
即5m＋8＝，
解得m＝2.
9．直角
解析　∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角三角形．
10．2
解析　由定义可知b⊗a＝|b|·|a|sin〈b，a〉＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝a⊗b，所以①正确；当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以(λa)⊗b＝|λa||b|sin〈λa，b〉＝－λ|a||b|·sin〈a，b〉，而λ(a⊗b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，所以②不正确；若a＋b＝0，则(a＋b)⊗c＝0，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|a||c|sin〈a，c〉＋|b||c|sin〈b，c〉＝2|a||c|sin〈a，c〉不一定为零，所以③不正确；(a⊗b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＝|a|2|b|2(1－cos2〈a，b〉)＝|a|2|b|2－|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2－(a·b)2＝(x＋y)(x＋y)－(x1x2＋y1y2)2＝(x1y2－x2y1)2，所以a⊗b＝|x1y2－x2y1|，所以④正确，所以真命题是①④.
11．2
解析　∵O是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
12．－
解析　·＝(－)·(－)
＝(－)·(－)
＝·－()2－()2＝－.
13．5
解析　由于＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋
＝－.
(＋)·(＋)＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝9－4＝5.
14．[2,5]
解析　建立平面直角坐标系，

如图．则B(2,0)，C(，)，D(，)．
令＝＝λ，
则M(＋2，λ)，N(－2λ，)．
∴·＝(＋2)·(－2λ)＋λ
＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.
∵0≤λ≤1，∴·∈[2,5]．
15．解　(1)因为a∥b，
所以2sin θ＝cos θ－2sin θ.
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，
即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋)＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝或2θ＋＝.
所以θ＝或θ＝.
16．解　(1)由|a|＝＝2，
|b|＝＝1，
及|a|＝|b|，得sin2x＝.
又x∈[0，]，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋.
当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，
所以当2x－＝，即x＝时，sin(2x－)取得最大值1，所以f(x)的最大值为.
17．解　(1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，
∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，
∴||＝＝2.

(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，
当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，
故m－n的最大值为1.
18．解　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋
cos(A＋C)＝－，
得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，
∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
∴cos(A－B＋B)＝－，
即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，
由正弦定理，有＝，
所以sin B＝＝.
由题意知a>b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×(－)，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
19．解　(1)根据m∥n，可得到tan A＝.
注意到A∈(0，π)，得到A＝.
(2)由正弦定理可得：sin B＝＝，
因为a<b，所以A<B，所以B＝或.
当B＝时，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos A·sin B＝，
所以S△ABC＝absin C＝1＋；
当B＝时，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos A·sin B＝，
所以S△ABC＝absin C＝－1.
故△ABC的面积为1＋或－1.
20．解　(1)f(x)＝(m＋n)·m
＝sin2x＋1＋sin xcos x＋
＝＋1＋sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋2
＝sin(2x－)＋2，
因为ω＝2，所以T＝＝π.
(2)由(1)知：f(A)＝sin(2A－)＋2.
当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
由正弦函数图象可知，当2x－＝时f(x)取得最大值3.
所以2A－＝，A＝，
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴12＝b2＋16－2×4b×，∴b＝2，
从而S＝bcsin A＝×2×4sin 60°＝2.
综上，A＝，b＝2，S＝2.

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