2021全国高三(上)期中数学汇编：统计.docx

2021全国高三（上）期中数学汇编
统计
一、单选题
1．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
2．样本容量为100的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a,b分别是(　　)

A．32,0.4 B．8,0.1 C．32,0.1 D．8,0.4
3．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为
A．8 B．15 C．16 D．32
4．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A．90 B．75 C．60 D．45
5．某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为（    ）
A．170 B．180 C．150 D．160
6．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（    ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
7．某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄120人，青壮龄330人，老龄150人，则该小区老龄人数的估计值为（    ）
A．3300 B．4500 C．6000 D．7500
8．天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ）

A．120 B．360 C．420 D．480
9．某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（    ）

①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多
②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大
③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低
④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入
A．②③ B．③④ C．①②③ D．①②④
10．某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（    ）
A．12 B．20 C．24 D．28
11．中国互联网络信息中心（CNNIC）发布了第46次《中国互联网络发展状况统计报告》，报告公布了截至2020年6月的中国互联网状况数据与对比数据，根据下图，下面结论不正确的是（    ）

A．2020年6月我国网民规模接近9.4亿，相比2020年3月新增网民3625万
B．2020年6月我国互联网普及率达到67%，相比2020年3月增长2.5%
C．2018年12月我国互联网普及率不到60%，经过半年后普及率超过60%
D．2018年6月我国网民规模比2017年6月我国网民规模增加的百分比大于7%
12．高三年级有名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道名同学成绩的（    ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
13．2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会在日本东京正式闭.17天的比赛全部结束后，排名前十的金牌数如下表所示，则这10个数据的中位数是（    ）
排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国家/地区
美国
中国
日本
英国
俄罗斯奥运队
澳大利亚
荷兰
法国
德国
意大利
金牌数
39
38
27
22
20
17
10
10
10
10

A．18.5 B．18 C．19.5 D．20
二、多选题
14．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
15．已知数据，，…，的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据，，…，，其中（i=1，2，…，60），则（    ）
A．新数据的平均数是2a+1 B．新数据的方差是4b
C．新数据的中位数是2c D．新数据的极差是2d
16．已知数据x1，x2，…，xn的平均数为，标准差为s，则（    ）
A．数据x12，x22，…，xn2的平均数为2，标准差为s2
B．数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2，标准差为2s
C．数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为＋2，方差为s2
D．数据2x1－2，2x2－2，…，2xn－2的平均数为2－2，方差为2s2
17．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（    ）

A．年收入在万元的中小企业约有16家
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元
D．样本在区间内的频数为18
三、填空题
18．已知样本数据为，，，，，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的方差为______.
19．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了进一步跟踪调查对户型结构满意的户主的满意程度，用分层抽样的方法抽取位户主，则在对三居室满意的户主中抽取的人数为__________．

20．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).
根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____
①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;
②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;
③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;
④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

四、解答题
21．冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：

（1）求这500份血液样品指标值的平均数和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表，记作）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标的值X服从正态分布，其中 近似为样本平均数，近似为样本方差 ．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标的值，结果发现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．
附：参考数据与公式：， ，；若 ，则①；② ；③． ，，，．
22．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组

8
0.16
第2组

▆
第3组

20
0.40
第4组

▆
0.08
第5组

2

合计
▆
▆

（1）求的值；
（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
23．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.

（1）求x，y的值；
（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？

参考答案
1．C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．A
【详解】∵落在内的频率为，
∴
∵落在内的频率为
∴
故选A.
点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，在解决此类问题时，充分利用频率分布直方图的纵坐标的意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率=其纵坐标×组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）.
3．C
【详解】试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为
考点：方差与标准差
4．A
【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
考点：频率分布直方图.
5．A
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.
【详解】若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，
所以，解得.
故选：A.
6．B
【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．
【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误；
对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；
对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；
对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；
故选：B
7．D
【分析】求得小区中老龄人数所占比例，根据分层抽样的方法，即可求解.
【详解】由题意，其中小区中老龄人数所占比例为，
所以该小区老龄人数的估计值为人.
故选：D.
8．C
【分析】可得样本中优秀的频率为0.28，即可求出优秀的学生人数.
【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.
故选：C.
9．D
【分析】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，然后根据所占百分比分别计算出各种类型的收入即可进行比较.
【详解】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，
产业结构调整后节能环保的收入为，所以产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多，所以①正确；
产业结构调整前科技研发的收入为，产业结构调整后科技研发的收入为，所以选项②正确；
产业结构调整前纺织服装收入为，产业结构调整后纺织服装收入为，所以③错误；
产业结构调整后食品加工的收入为，而产业结构调整前纺织服装收入为，所以④正确.
故选：D.
10．A
【分析】根据题意，结合分层抽样的计算方法，即可求解.
【详解】根据题意，设抽取的样本人数为，
因男职工抽取的人数为，所以，因此女职工抽取的人数为（人）.
故选：A.
11．D
【分析】结合图表直接判断和计算即可.
【详解】对A，由图可知，新增网民数为：万，正确；
对B，读图可直接判断正确；
对C，读图可直接判断正确；
对D，2018年6月我国网民规模比2017年6月我国网民规模增加的比例为：
，故D错误.
故选：D
12．C
【分析】成绩的中位数为排名第的同学的成绩，由此可确定只需知道中位数即可.
【详解】共名同学参加百米竞赛，则成绩的中位数为排名第的同学的成绩，
若要判断自己是否能进入决赛，只需知道名同学成绩的中位数.
故选：C.
13．A
【分析】将10个数据按从小到大的顺序排列，计算第4个和第5个的平均数即可求解.
【详解】将10个数据按从小到大的顺序排列为10，10，10，10，17，20，22，27，38，39，
则这10个数据的中位数是，
故选：A.
14．CD
【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.
15．ABD
【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义即可判断答案.
【详解】的平均数为a，所以，A正确；
方差为b，即，所以，B正确；
中位数为c，则的中位数为，C错；
极差为d，则的极差为，D对.
故选：ABD.
16．BC
【分析】举反例得到A错误，再根据平均值和方差的性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】取，则，，，故，A错误；
数据的平均数为，标准差为，B正确；
数据的平均数为，方差为，C正确；
数据的平均数为，方差为，D错误.
故选：BC
17．CD
【分析】根据直方图求参数x判断A，由中位数的性质判断B，根据平均数的求法求平均数判断C，由频数的概念判断D.
【详解】由直方图知：，可得，
∴万元的中小企业有家，A错误；
由图知：前三组的频率，易知中位数在区间，B错误；
由图知：当地中小型企业年收入的平均数万元，C正确；
内，D正确.
故选：CD
18．
【分析】利用求平均数和方差的公式分别计算，代换即可求出方差.
【详解】因为，，，，这一组数的平均数为5，方差为2，所以，.
所以，.
加入一个数5后，平均数为，
方差为.
故答案为：.
19．15
【分析】计算出对户型结构满意的户主人数，再利用分层抽样可求得结果.
【详解】因为对户型结构满意的户主人数为，
所以抽取的对三居室满意的人数为．
故答案为：.
20．②③
【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.
【详解】①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故①错误；
②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；
③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；
④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；
故答案为：②③.
21．（1）17.4；6.92（2）该院医生的健康率是正常的．见解析
【分析】（1）由频率分布直方图，直接利用平均数和方差公式，求出500份血液样品指标值的平均数和样本方差；
（2）由（1）得出指标的值服从正态分布，从而可求出，在根据独立重复试验中的概率求法，求出20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03的概率，即可判断该院医生的健康率是否正常.
【详解】解：（1）根据题意，由频率分布直方图可知，
500份血液样品指标值的平均数为：
，
500份血液样品指标值的样本方差为：
．
（2）由题意知：指标的值服从正态分布，
，，则，
所以，．
随机抽取20名医生独立检测血液中指标的值，就相当于进行了20次独立重复试验，
记“20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20,03”为事件，
则
，
所以从血液中指标的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的．
【点睛】本题考查由频率分布直方图估计平均数和方差，考查对正态分布的理解和正态分布的实际应用，以及独立重复试验中的概率问题，考查理解分析和计算能力.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.
（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布表可得
内的频数为,
∴
∴内的频率为
∴
∵内的频率为0.04
∴
（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、
从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.
所以.
∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.
【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.
23．（1），；（2）、，乙组的成绩更稳定.
【分析】（1）由题意可得，可求出的值，由平均数的公式列方程可求出y的值；
（2）利用方差公式计算甲、乙两组数据的方差，然后进行判断即可
【详解】（1）由，得，
由，得．
（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，
甲组数据的平均数为，
，，
因为，所以乙组的成绩更稳定．
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