2021全国高三(上)期中数学汇编：双曲线及其方程.docx

2021全国高三（上）期中数学汇编
双曲线及其方程
一、单选题
1．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=
A． B．4 C．2 D．
2．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（    ）
A． B． C．2 D．
4．设，是双曲线的左､焦点，在双曲线的一条渐近线上存在一点，使得三角形为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
6．过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（    ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知点P是双曲线（a>0，b>0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（    ）
A．3 B．2 C． D．
9．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
10．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
11．如图，双曲线：的左、右焦点分别为、，右顶点为，为双曲线上一点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B．
C． D．3
12．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
13．过原点的直线交双曲线于于两点，在第一象限，分别为的左､右焦点，连接交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
14．设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
15．双曲线的渐近线方程是（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题
16．设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ）
A． B．当时，C的离心率是2
C．到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当时，C的实轴长是虚轴长的两倍
17．已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（    ）
A．该双曲线的方程为或
B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则
C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条
D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分
18．已知曲线：，则（    ）
A．时，则的焦点是，
B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为
D．存在，使表示圆
19．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线的离心率，则
C．若，则曲线上不存在点，使得
D．若为上一个动点，则面积的最大值为
20．已知方程，则（   ）
A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为
C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为
三、填空题
21．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
22．过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围___________．
23．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
24．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为___________．
25．已知，是双曲线的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且满足（为常数），点C在x轴上，，，则双曲线的离心率为_______．
26．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．
27．已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为__________．
28．若双曲线的渐近线与圆相切，则___________.
29．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.
30．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率___________.

参考答案
1．D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．D
【解析】双曲线的渐近线方程为,则，，可得，在和中，分别求出和，利用，
可得结合，即可求解.
【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为，
，，，
因为，所以，
在中，，
中，，
因为，所以，
所以
可得，
所以，
所以，所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.
3．C
【分析】根据给定条件可得AM垂直平分，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答.
【详解】因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分，
则有，，而，则，
又，令双曲线的半焦距为c，在中，，，
由余弦定理得：，即，
化简得，
所以双曲线的离心率是.
故选：C
4．C
【分析】不妨假设点在渐近线上且在第一象限内，得出点的坐标，代入渐近线方程，结合得到答案.
【详解】因为为等腰三角形，且，所以，其中，
.不妨假设点在渐近线上且在第一象限内，过点作轴，交轴于点.
由题意,则 ，可得，
则，所以，
所以，故双曲线的离心率，
故选:C.

5．B
【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
6．C
【分析】利用渐近线的斜率，求出，，进而利用相似和求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于的方程，求出离心率即可
【详解】因为双曲线渐近线方程为，所以，如图，在直角三角形中，，，又因为

故，，过、A分别作的垂线，垂足分别为、，
则由得：，又，故，
，故可得点A的坐标为，
所以，整理得，解得，
故选：．
7．B
【分析】由勾股定理求出，再根据双曲线的定义求出，即可求出离心率；
【详解】解：双曲线上一点满足轴，若，所以，所以，即，又，所以
故选：B
8．D
【分析】设圆与的三边，，分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，易得，，，设r为圆M的半径，分别计算、和，由可得，再结合双曲线的定义，可得出，最后求得离心率即可.
【详解】
如图，设圆M与的三边分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，则，设r为内切圆M的半径，
，

，
化简得：，
由双曲线的定义可得：，
∴离心率
故选：D.
9．B
【分析】设，，联立圆与双曲线方程求出点坐标，设，将利用坐标表示计算可得表示，再将点代入双曲线方程可得关于的齐次方程，结合即可求解.
【详解】设，，
由整理可得：，
即，
因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，
所以，
，
所以点坐标为，
设点，则，，
由可得 ，所以，
因为点在双曲线上，所以，
整理可得：，
所以，即，
两边同时平方可得：，
所以，即，，
可得：或（舍），所以，
故选：B.
10．B
【分析】求出的值即得解.
【详解】解：由题得，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B
11．B
【分析】根据角度关系，结合双曲线定义，利用，找到的等量关系，即可求得离心率.
【详解】因为，故可得，
则，，
由双曲线定义可知：
在△中，由余弦定理可得：
，
在△中，由余弦定理可得：
，
又，即，
整理得：，设双曲线离心率为，
则，解得或（舍）
则双曲线离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考察双曲线离心率的求解，解题的关键是根据余弦定理找到的齐次式，属中档题.
12．B
【分析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.
【详解】由椭圆可得焦点为，
则设双曲线方程为，可得，
则离心率，解得，则，
所以渐近线方程为.
故选：B.
13．D
【分析】利用双曲线定义，结合三角形为直角三角形，求得，再结合勾股定理即可求得离心率.
【详解】根据题意，取中点为，连接，，作图如下：

在中，因为分别为的中点，
故可得//；
在中，因为，为中点，
故可得；
综上可得：.
不妨设，则，，，
故在中，由勾股定理可得：
，
解得：.
则在中，由勾股定理可得：
，
整理得：，解得：.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解决关键是充分挖掘题中包含的几何关系，以及双曲线定义的使用；本题中，利用双曲线定义以及几何关系求得的长度是突破点，再利用勾股定理，求得离心率；考查了学生的运算能力，理解能力，属于中档题.
14．A
【分析】根据平面向量加法的几何意义、双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线渐近线方程进行求解即可.
【详解】不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，
因为，
所以，
即，
由余弦定理可知：
，
而，所以，因此C的渐近线方程为，
故选：A
【点睛】关键点睛：根据中点利用向量的加法的几何意义求解即解题的关键.
15．C
【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.
【详解】∵双曲线的标准方程为，
∴双曲线的焦点在轴，，，且双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
16．AC
【分析】由已知条件值，根据，，，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由双曲线的方程可得，，
所以，
因为，所以，
所以，可得：，故选项A正确；
对于选项B：当时，双曲线，此时，，
所以离心率，故选项B不正确；
对于选项C：中，由选项A知：，，，的渐近线方程为，
不妨取焦点，则到渐近线的距离，
所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；
对于选项D：当时，，，
所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出，，再利用双曲线的性质可求，关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于.
17．BD
【分析】根据给定条件求出双曲线C的方程，再逐项探讨各选项并判断作答.
【详解】依题意，设双曲线，因双曲线过点，则，
于是有双曲线的方程为，其渐近线方程为，A不正确；
由双曲线对称性知，不妨设，，令，，B正确；
显然直线与双曲线相切，过点平行于直线的直线及过点平行于
直线的直线与双曲线都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C不正确；
令双曲线上点，显然切线PT的斜率存在，设其方程为，
由消去y得：，
，
整理得，而，即，，
则有，解得，切线PT与x轴交于点，则，于是得，即，
不妨设点，，，则，，，
又，
，则是的内角平分线，即切线平分，D正确.
故选：BD
18．ABD
【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.
【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确
故选：ABD
19．ABD
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于掌握双曲线与椭圆方程的性质，并结合椭圆焦点三角形的相关知识求解.
20．BC
【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为，
对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误；
对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确；
对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；
对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误；
故选：BC
21．
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
22．
【分析】根据已知条件确定，，的坐标，要使是锐角三角形，有且，结合向量数量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a、c的齐次不等式组，求离心率范围.
【详解】由题意知：，，不妨假设，
∵是锐角三角形，
∴，即，且，
∴，整理得，解得，
故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据锐角三角形的性质，易知且，由不等式组求离心率范围.
23．
【分析】由题意可得，进而得到，再结合双曲线的定义可得，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
24．
【分析】由题意可知，进而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程.
【详解】由于是边长为的等边三角形，则，
由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
故答案为：.
25．
【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的性质、双曲线的定义、余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】解析： ，∵，所以∴，∴，设，则．由可知，平分，由角分线定理可知，∴，∴，，，由双曲线的定义知，，∴，即①，，∴，∴，即是等边三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化简得，②，由①②可得，，∴离心率．
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用角平分线的性质是解题的关键.
26．或##或
【分析】根据已知条件求得或，由此求得双曲线的离心率.
【详解】当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为.
所以双曲线的离心率为：或.
故答案为：或
27．
【分析】首先根据（点O为坐标原点）的面积为2找到，再根据，找到，最后联立求解a的取值范围即可.
【详解】由题意可知：点F到渐近线的距离等于，
从而即，
又，所以，
则，又，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
28．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由圆的切线性质即可列式计算即得.
【详解】双曲线的渐近线为，而圆的圆心为(2，0)，半径为，
依题意，，解得，
所以.
故答案为：
29．2
【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到的值．
【详解】的一渐近线x＋ay＝0，被圆(x－2)2＋y2＝4所截弦长为2，
所以圆心到直线距为，即 ，a＝1.所以双曲线的实轴长为2.
故答案为：
30．2
【分析】设切点，根据，可得，在中，利用余弦定理构造齐次式，从而可得出答案.
【详解】解：设切点，由，∴，
∵为中点，则为中位线，
∴，，
中，，
，，∴.
故答案为：2.

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