2023届高考数学特训营-第2节-两直线的位置关系.doc

第2节　两直线的位置关系

A级(基础应用练)
1．“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当a＝0时，两直线也垂直，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要的条件，故选A.
2．(2022·浙江稽阳联考)点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
答案：B
解析：设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得
故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的对称点是(0，1)．故选B.
3．(2022·北京二模)点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为(　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
答案：C
解析：由点到直线距离公式得点P到直线的距离d＝＝，其中sin φ＝，cos φ＝，由三角函数性质易知，5sin(θ＋φ)－12∈[－17，－7]，故d∈[，]，故选C.
4．(2022·江西南昌市二模)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C．(－1，1) D．(－，)
答案：D
解析：直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以<1，解得－<k<.故选D.
5．(2022·山东冲刺)设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：如图，(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即＝，则(m－1)2＋n2的最小值为.故选A.

6．(2022·安徽合肥市期中)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．2
答案：A
解析：由解得把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.
所以点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当n＝－2，m＝－1时取等号，所以点(m，n)与原点之间的距离的最小值为.故选A.
7．(2022·山东济南月考)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，以下命题正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
答案：A
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．故选A.
8．(2022·江苏省期中)设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
答案：2
解析：设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点P(2，－1)，所以＝2，＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝＝2 .
9．(2022·赣州市赣县月考)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
答案：－3或3
解析：由题意得＝，解得a＝－3或3.
10．(2022·邯郸市检测)设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0
解析：方法一：联立解得
所以两直线的交点坐标为(14，10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
方法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
11．(2022·陕西商洛市检测)已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________．
答案：
解析：因为动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－3＝0.
又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝3.
则＋＝(a＋c)(＋)＝(＋＋)≥(＋2 )＝，当且仅当c＝2a＝2时取等号．
B级(综合创新练)
12．(2022·云南曲靖市二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤3，若将军从点A(3，1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A.－ 　 B.
C．2 － D．2
答案：C
解析：设点A关于直线x＋y＝5的对称点A′(a，b)．
根据题意，A′O－为最短距离，先求出A′的坐标．
AA′的中点为(，)，直线AA′的斜率为1，故直线AA′的方程为y－1＝x－3，即y＝x－2.
由解得a＝4，b＝2，即A′(4，2)，所以|A′O|＝＝2 ，所以|A′O|－＝2 －，所以“将军饮马”的最短总路程为2 －.故选C.
13．(多选题)已知直线l经过点(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0
答案：AB
解析：当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.
由已知得＝，所以k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选AB.
14．(多选题)(2022·南京市检测)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个命题中的正确命题为(　　)

A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且仅有1个
B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个
D．若p＝q，则点M在一条过点O的直线上
答案：ABC
解析：对于A，若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确．
对于B，若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个，故正确．

对于C，若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图，故正确．
对于D，若p＝q，则点M在的轨迹是两条过0的直线，分别为交角的平分线所在直线，故错误．故选ABC.
15．(2021·浙江期末)已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
答案：k＝1　－1<k<1
解析：因为l1∥l2，所以k2－1＝0，即k＝±1，经检验k＝1；y＝|x|＝，直线l1化为y＝－kx＋1，恒过(0，1)，画出函数图象，如图，因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0，即－1<k<1.

16．(2022·江西上饶市联考)已知直线(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0.
(1)当m为何值时，点Q(3，4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程．
解：(1)由点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即＝2为最大值．
因为kPQ＝＝，所以(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝.
(2)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，直线方程为y＋2＝k(x＋1)，k<0，则A(－1，0)，B(0，k－2)，所以S△AOB＝|－1||k－2|＝(－1)(k－2)＝2＋(＋)≥2＋2＝4，当且仅当k＝－2时取等号，所以三角形AOB的面积的最小值为4.
此时直线的方程为2x＋y＋4＝0.