2021北京一零一中学初二(上)期中数学(教师版).docx

2021北京一零一中学初二（上）期中
数 学
一、选择题：本大题共10小题，共30分.
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）如图，，，，，则的长是　　

A． B． C． D．
3．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在中，，点在的延长线上，，则是　　

A． B． C． D．
7．（3分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为13，，则的周长为　　

A．14 B．18 C．23 D．28
8．（3分）如图，、是两个居民小区，快递公司准备在公路上选取点处建一个服务中心，使最短．下面四种选址方案符合要求的是　　
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积是　　

A． B． C． D．
10．（3分）如图1，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图2，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是　　

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，共24分.
11．（3分）计算：　　．
12．（3分）在中，，，则　　．
13．（3分）已知一个正多边形的每个外角都等于，则这个正多边形是　　边形．
14．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　　．
15．（3分）如图，与交于点，且．请添加一个条件使得，这个条件是：　　（写出一个即可）．

16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图2，则此时，两点之间的距离是　 　．

17．（3分）若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 　　．

18．（3分）如图，中，，平分，于点，于点，且与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 　　．

三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题，每题6分；第25、26题，每题7分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中．
20．（5分）如图，已知平分，．求证：．

21．（6分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．

已知：（如图，求作：一个角，使它等于．
作法：如图
①在的两边上分别任取一点，；
②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连接，．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接，
，　　，　　，
　　（填推理依据）．
．
22．（5分）如图，平分，，，求与的度数．

23．（5分）如图所示， 边长为 1 的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上 ．
（1） 作关于关于轴的对称图形， （其 中、、的对称点分别是、、，并写出点坐标；
（2）为轴上一点， 请在图中画出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标 ．

24．（6分）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．
通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．

25．（7分）如图，在中，，过点作于点，点在内部，连结，，，其中，分别平分，．
（1）求的度数；
（2）试判断的形状，并说明理由．

26．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形．

（1）直接写出点的纵坐标；
（2）如图2，于点，点关于轴的对称点为点，则点的纵坐标为 　　；连接交于，则的长为 　　．
（3）若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等边，当最短时，求点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）

参考答案
一、选择题：本大题共10小题，共30分.
1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
【解答】解：，，，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：原式，
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式不能合并，不符合题意，
故选：．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】首先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为，由题意得：，
，
选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
6．【分析】根据三角形外角性质得出，再代入求出答案即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明的周长，再求出解答即可．
【解答】解：的垂直平分线分别交，于点，，
，，
，
，
的周长，
的周长为，
故选：．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路上选取点，使最短．
则选项 符合要求，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
9．【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．
【解答】解：剩余部分面积：

；
故选：．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．
10．【分析】由等腰三角形的性质得出，如图3，在四边形中，，可得出，则可得出答案．
【解答】解：如图1，

，为中点，
，，
，
如图3，与交于点，

把纸片沿折叠，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
由图1可知，
．
故选：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，共24分.
11．【分析】直接利用单项式乘以多项式计算得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：在中，，
则，
由题意得，
解得：，，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
13．【分析】多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
【解答】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是6．
故答案为：六．
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
此时能组成三角形，
周长；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
15．【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知，（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【解答】解：，，
是等边三角形，
，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行分析．
17．【分析】根据新定义运算法则进行列式，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
18．【分析】利用等腰直角三角形的性质可得①是正确的，利用可判定③④的正确；利用可得，根据等腰三角形的三线合一可知，显然，由此可得②不正确．
【解答】解：，，
为等腰直角三角形，
，
①正确；
，，
，．
．
在和中，
，
．
，．
平分，
，
，
．
在和中，
，
．
，
，
．
③正确；
，
．
．
④正确；
，，
是的平分线，
，
不是的中点，
即，
，
．
②不正确．
综上，正确的结论为：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形是性质，角平分线的定义，证明是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题，每题6分；第25、26题，每题7分）
19．【分析】直接利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用整式乘法运算是解题关键．
20．【分析】根据角平分线的定义得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：平分，
，
在与中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图2，即为补全的图形；

（2）证明：连接，
，，，
．
．
故答案为：，，边边边．
【点评】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．【分析】根据角平分线的定义，由平分，得．根据三角形外角的性质，得，故．根据平角的定义，得，那么．根据三角形外角的性质，得．
【解答】解：平分，
．
，
．
，
．
．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．
23．【分析】（1） 分别作出点，，关于轴的对称点， 再顺次连接即可得；
（2） 由是定值知的周长最小即最小， 据此连接，与轴的交点即为所求 ．
【解答】解： （1） 如图所示，即为所求， 其中点坐标为．

（2） 如图所示， 点即为所求， 其坐标为．
【点评】此题主要作图轴对称变换， 关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质 ．
24．【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案；
（3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与可得．
【解答】解：（1）

，
其值与的取值无关，
，
解得，；

（2），，

，
的值与无关，
，即；

（3）设，由图可知，，
，
当的长变化时，的值始终保持不变．
取值与无关，
，
．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于的方程是解题的关键．
25．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得，根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理即可求解；
（2）延长交于，根据等腰三角形的性质可得，，根据线段垂直平分线的性质得，可得，由得，则，可得，由三角形的内角和定理得，根据周角的定义可得，即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，分别平分，．
，
；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于，

，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．【分析】（1）由等边三角形的性质可得，即可求解；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得点纵坐标，即可求点纵坐标，由“”可证，可得；
（3）由“”可证，可得，即点在过点且垂直的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点作于，

点的坐标为，
，
为等边三角形，，
，，
点的纵坐标为4；
（2）过点作于，过点作于，连接，连接交于，

，是等边三角形，
，
，
，
又，
，
，
点的纵坐标为6，
点关于轴的对称点为点，
点的纵坐标，轴，
，，
，，，
是等边三角形，
，
，
又，
，
，
故答案为：，2；
（3）如图3，当点在的右侧时，连接，延长交轴于，

是等边三角形，
，，
，
又，
，
，
点在过点且垂直的直线上运动，
当时，有最小值，
过点作于，
，，
，，
，
，
，
的纵坐标为，
则当最短时，点的纵坐标为．
当点在的左侧时，同理可求点的纵坐标为．
综上所述：当最短时，点的纵坐标为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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