2Z域分析讲解.pptx

2007-9,#,单击此处编辑母版标题样式,李建勋-ljx088,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2007-9,#,单击此处编辑母版标题样式,李建勋-ljx088,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,李建勋-ljx088,第二章时域离散信号和系统的频域分析,Z,域分析法,1.,连续时间信号与系统：,信号与系统的频域分析、复频域分析。,傅立叶变换，拉谱拉斯变换,2.,离散时间信号与系统：,Z,变换，傅立叶变换。,引入,Z,变换的意义,2,李建勋-ljx088,1.Z,变换的定义,一个离散序列,x,(,n,),的,Z,变换定义为,1.1,序列的,Z,变 换,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,Z,平面。,单边,Z,变换的定义：,本书中均用双边变换对信号进行分析和变换。,例：,级数形式对应不同序列,在工程中，人们对右序列感兴趣,3,李建勋-ljx088,只有当的幂级数收敛时，,Z,变换才有意义。,2.Z,变换的收敛域与零极点,一般收敛域用环状域表示，即,R,x,-,|,z,|,R,x,+,收敛域：对任意,x,(,n,),，使其,Z,变换收敛的所有,z,值的集合。,常用的,Z,变换是一个有理函数：,X,(,z,),的零点：,P,(,z,),的根，,X,(,z,),的极点：,Q,(,z,),的根。,收敛域中没有极点，,收敛域总是用极点限定其边界。,4,李建勋-ljx088,Z,平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系：,（,1,）有限长序列,有时将开域,(0,),称为“有限,Z,平面”。,其,Z,变换为,其收敛情况,5,李建勋-ljx088,（,2,）右边序列：右边序列是指,x,(,n,),只在,n,n,1,时有值。,则右边序列,Z,变换的收敛域为,R,x-,|z|,因果序列,Z,变换收敛域包括,|z|=,是因果序列的特征。,6,李建勋-ljx088,（,3,）左边序列,:,左边序列是指在,n,n,2,时,x,(,n,),有值,如果,n,2,0,，收敛域应包括,z=0,，即,|,z,|,R,x,+,。,左边序列,Z,变换的收敛域为,7,李建勋-ljx088,（,4,）双边序列：,一个双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和,如果,R,x-,R,x,+,，则存在公共收敛区域：,R,x,-,|,z,|R,x-,;,收敛域为,|z|,a,|,无穷项等比级数求和,解 这是一个因果序列，其,Z,变换为,结论：右边序列的,Z,变换如果有,N,个有限极点,z,1,z,2,z,N,，那么收敛域一定在模最大的极点所在的圆外,另外，由于,X(z),只在,z=a,处有一极点，,整个收敛域应该在极点所在的圆内。,10,李建勋-ljx088,例,x,(,n,)=-,a,n,u,(-,n,-1),求其,Z,变换及收敛域。,此等比级数在,|,a,-1,z,|1,，即,|,z,|,a,|,收敛。,另外，由于函数 只在,z=a,处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆内。,解 这是一个左边序列。其,Z,变换为,11,李建勋-ljx088,对于左边序列，如果序列,Z,变换有,N,个有限极点,z,1,z,2,z,N,，那么收敛域一定在模最小的极点所在的圆内,结论：一个左边序列与一个右边序列的变换表达式是完全一样的。所以，只给出,Z,变换的闭合表达式不能正确得到原序列，需要已知收敛域。,12,李建勋-ljx088,13,李建勋-ljx088,例,x,(,n,)=,a,|,n,|,a,为实数，求其,Z,变换及收敛域。,解 这是一个双边序列，其,Z,变换为,若,|,a,|1,，则存在公共收敛域,若,|,a,|1,，则无公共收敛域,序列两端都发散,14,李建勋-ljx088,表 几种序列的,Z,变换,15,李建勋-ljx088,表 几种序列的,Z,变换,16,李建勋-ljx088,1.2 Z,变换的性质,1.,线性,Z,变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有,:,Z,x,(,n,),=,X,(,z,),R,x,-,|,z,|,R,x+,Z,y,(,n,),=,Y,(,z,),R,y-,|,z,|,R,y+,Z,ax,(,n,)+,by,(,n,),=,aX,(,z,)+,bY,(,z,),-,|,z,|,R,+,2.,序列卷积（卷积定理）,17,李建勋-ljx088,3.,序列的移位,位移,m,可以为正（右移）也可以为负（左移）。,18,李建勋-ljx088,例 设,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),h,(,n,)=,b,n,u,(,n,)-,ab,n,-1,u,(,n,-1),求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),。,解,所以,19,李建勋-ljx088,4.,初值定理,对于因果序列,x,(,n,),，有,5.,终值定理,设,x,(,n,),为因果序列，且,X,(,z,)=,Z,x,(,n,),的极点，除有一个一阶极点可以在,z=1,上，其余都在单位圆内，则,20,李建勋-ljx088,6.,乘以指数序列（,Z,域尺度变换）,7.,X,(,z,),的微分,8.,复序列的共轭,21,李建勋-ljx088,10.,序列乘积（复卷积定理）,若,9.,翻褶序列,22,李建勋-ljx088,Z,变换的主要性质,23,李建勋-ljx088,1.3 Z,反变换,已知函数,X(z),及其收敛域，求序列的变换称为,Z,反变换，,x,(,n,)=,Z,-1,X,(,z,),则,若,常用方法有三种：留数法,部分分式展开法和幂级数展开法。,24,李建勋-ljx088,1.,围线积分法（留数法）,根据留数定理，若函数,F,(,z,)=,X,(,z,),z,n,-1,在围线,c,以内有,K,个极点,z,k,，则有,Res,X,(,z,),z,n,-1,z,k,表示函数,F,(,z,)=,X,(,z,),z,n,-1,在极点,z,=,z,k,上的留数。,或,在,c,以外有,M,个极点,z,m,，且分母阶次比分子高两阶以上：,25,李建勋-ljx088,设,z,r,是,X,(,z,),z,n,-1,的单一（一阶）极点，则有,如果,z,r,是,X,(,z,),z,n,-1,的多重极点，如,l,阶极点，则有,对多阶极点不作要求,26,李建勋-ljx088,例,已知,求,Z,反变换。,解,围线,c,以内包含单阶极点,a,。当,n,0,时，在,z,=0,处有一个,n,阶极点。而在围线,c,外无极点；,27,李建勋-ljx088,同一个,X(z),，若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。,28,李建勋-ljx088,例,设,求,Z,反变换,解,X,(,z,),有两个极点，,d,1,=2,和,d,2,=0.5,，极点全部是一阶的,求得系数为,:,2.,部分分式展开法,29,李建勋-ljx088,2.,部分分式展开法,在实际应用中，一般,X,(,z,),可表示成,X,(,z,)=,P,(,z,)/,Q,(,z,),如果,M,N,，且所有极点都是一阶的,利用留数定理求得,Matlab,求解,30,李建勋-ljx088,部分分式法的,Matlab,求解,MATLAB,中的极点留数计算函数,residuez,，基本调用格式为：,r,p,C=residuez(b,a),其中，,b,和,a,为分子和分母的系数向量，,p,为分母的根向量，也就是,X(z),的极点向量；,r,为对应于根向量中各个根的留数向量,C,当,NM,是有用,31,李建勋-ljx088,计算下式的反变换,r,p,C=residuez(b,a),先用函数,poly,求出分母多项式的系数,b=1;a=poly(0.9,0.9,-0.7);,r=0.2461;0.5625;0.1914,p=0.9000;0.9000;-0.7000,C=,32,李建勋-ljx088,3.,幂级数展开法（长除法）,当,X,(,z,),是,exp,，,log,sin,等函数时，有已知的幂级数；,当,X,(,z,),是一个有理分式，分子分母都是,z,的多项式时，用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。,只要在给定的收敛域内，把,X,(,z,),展成幂级数,例,若,X,(,z,),收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，把,X,(,z,),展成,z,的负幂级数，分子分母按 的降幂排列，然后长除,求,Z,反变换,。,33,李建勋-ljx088,所以,则,2007-9,34,李建勋-ljx088,若,X,(,z,),为,序列是左边序列，分子分母按 的升幂排列，然后长除有：,35,李建勋-ljx088,长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列。如果收敛域是,|,z,|1/2,。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。,46,李建勋-ljx088,系统的频率响应为,对单频输入信号，可得输出响应为,47,李建勋-ljx088,关于求差分方程的暂态解,设,x(n),是因果序列，求输入,要用单边,Z,变换,因此,暂态解,y(-1)=2,移位序列的单边,z,变换：,48,李建勋-ljx088,一个,N,阶的系统函数,H,(,z,),完全可以用它在,Z,平面上的零、极点确定。,由于,H,(,z,),在单位圆上的,Z,变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由,H,(,z,),的零、极点确定。,频率响应的几何确定法实际上就是利用,H,(,z,),在,Z,平面上的零、极点，采用几何方法,直观、定性地,求出系统的频率响应,1.5.4,频率响应的几何确定法,49,李建勋-ljx088,系统的频率响应为,在,Z,平面上，,e,j,-,c,k,可以用一根由零点,c,k,指向单位圆上,e,j,点的向量,C,k,来表示,C,k,=e,j,-,c,k,同样，,e,j,-,d,k,可以由极点,d,k,指向单位圆上,e,j,的向量,D,k,来表示,D,k,=e,j,-,d,k,50,李建勋-ljx088,51,李建勋-ljx088,52,李建勋-ljx088,几点说明,(1),零点位置影响凹谷点的位置与深度,零点位于单位圆上时，谷点为零。,零点趋向单位圆，谷点趋向零。,(2),极点位置影响峰值点的位置与深度,极点在圆外，系统不稳定。,53,李建勋-ljx088,设系统的差分方程为,这是,M,-1,个单元延时及,M,个抽头相加所组成的电路，常称之为横向滤波器。试求其频率响应。,单位脉冲响应,54,李建勋-ljx088,零点：满足,z,M,-1=0,即,极点：,在,z,=0,处有,(,M,-1),阶极点；,与零点相消,整个函数有,(,M,-1),个零点,55,李建勋-ljx088,56,李建勋-ljx088,不同的极点位置所对应的脉冲响应,