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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第,6,讲:,Hans Freudenthal 数学教学理论,何 小 亚,华南师范大学数学科学学院,hexy,第1页,内容提要,一、Hans Freudenthal 个人介绍,二、Hans Freudenthal 数学及教育观,三、Hans Freudenthal 教学标准,第2页,此次课要处理关键问题,1.,弗赖登塔尔数学本质观是什么？,2.,弗赖登塔尔今日数学观是什么？,3.数学教育目标是什么？,4.,弗氏认为数学教育含有什么特征,？,5.,弗赖登塔尔现实数学教育观,是什么？,6.什么是数学化？水平数学化？垂直数学化是什么？,7.,弗赖登塔尔再创造数学教育观,是什么？,8.,弗赖登塔尔,反思教育观是什么？,第3页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,汉斯弗赖登塔尔,(Hans Freudenthal,1905一1990年),1930,年获柏林大学博士学位,1951年起为荷兰皇家科学院院士，19711976,年任荷兰数学教育研究所所长弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和李群研究方面出色工作进入国际著名数学家行列，曾任荷兰数学会两届主席,第4页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,汉斯弗赖登塔尔是荷兰著名数学家!数学教育家,是20世纪最伟大!最具影响国际数学教育权威。,他非常关注教育问题,很早就把学习和教学作为自己思索和研究对象,并简单地解释说:,“我一生都是做教师,之所以从很早就开始思索教育方面问题,是为了把教师这一行做好”,第5页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,在随即长久数学教育研究实践中,他逐步形成了适应儿童心剪发展,符合教育规律,经得起实践检验,并含有自己独特格调数学教育思想体系,他这一体系,不但在很大程度上改变了荷兰数学教育面貌,也经过世界范围内相互交流,极大地推进了国际数学教育研究发展,尤其是他“数学化”和“再创造”思想对各国中小学数学教育改革产生了巨大推进力。,第6页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,作为含有国际盛名数学教育家,他从1954年起担任荷兰数学教育委员会主席,1967年又担任国际数学教育委员会主席,并主持召开了第一届国际数学教育大会(ICME),创办了世界性数学教育杂志 Educational Studies in Mathematics,鉴于他在数学教育方面巨大成就和贡献,人们把他和伟大几何学家F克莱因(Fklein,1849一1925年)相提并论,“认为对于数学教育,在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽功劳,而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大贡献。”,第7页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,弗赖登塔尔关于数学教育叙述,主要收录在他三本巨著中:,作为教育任务数学Mathematics as an Education Task(D.Reidel publishing Company 1973),除草与播种一数学教育学序言Weeding and Sowing_preface to a science of Mathematical Education(D.Reidel publishing Company 1978)数学结构教学现象学Didactical Phenomenology of Mathematical Structures,(D.Reidel publishing Company 1983),第8页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,1987年，82岁高龄他到华东师范大学讲学两周，随即顺访北京。,他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台第一句话就说：“在荷兰，中学教室里桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动假如有一个学校教室象今天这么摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学校长大约要被免职了!”,1994年，他在中国讲学讲稿在荷兰出版。,数学教育再探在中国演讲,Revisiting Mathematics Education(China Lecture),第9页,一、Hans Freudenthal 个人介绍,在这些著作中,弗赖登塔尔详细论证了为何必须对传统数学教育进行改革,系统阐述了其数学教育思想理论体系,详细探讨了怎样按其观点设计数学课程,编写数学教材以及教学方法等方面问题.,下面我们对其数学教育思想作详细阐述,第10页,二、Hans Freudenthal 数学及教学观,1.,对数学本质看法,弗赖登塔尔认为:“数学是系统化了常识”,而常识并不等于数学,“常识要成为数学,必须经过提炼和组织,而凝聚成一定法则(如加法交换律)。这些法则在高一层次又成为常识,再一次被提炼、组织,而凝聚成新法则,新法则又成为新常识,如此不停地螺旋上升,以至于无穷。这么,数学发展过程就显出层次性,组成许多等级,同时也形成诸如抽象、严密、系统等特征。”,即数学是现实世界抽象反,映和人类经验总结.,第11页,二、Hans Freudenthal 数学及教学观,1.,对数学本质看法,“数学是一个相当特殊活动”,这种观点“是区分于数学作为印在书上和铭记在脑子里东西。”,他认为,数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一个组织得很好状态”,也即“数学形式”是数学家将数学(活动)内容经过自己组织(活动)而形成；但对大多数人来说,他们是把数学当成一个工具,他们不能没有数学是因为他们需要应用数学。,这就是说,对于大众而言,是要经过数学形式来学习数学内容,从而学会对应(应用数学)活动.,第12页,二、Hans Freudenthal 数学及教学观,2.,对今日数学特征看法,数学教育研究不能离开它对象数学特有规律。为此,弗赖登塔尔在其巨著作为教育任务数学中,对今日数学特征作了详细叙述。,他从数学发展历史出发,深入研究了数学悠久历史以及当代数学形成背景,提出了当代数学转折点,是否应该以当代实数理论诞生和Jordan置换群产生作为标志；或者是以著名布尔巴基Bourbaki理论出现,作为一个新时期开端。,第13页,二、Hans Freudenthal 数学及教学观,2.,对今日数学特征看法,基于这一分析,弗赖登塔尔从当代数学改变:方式改变变量,函数,句法结构前后不连贯,日惯用语满足不了数学精巧要求,形式化工作,外延性抽象,公理化抽象,思辩数学与算法数学,组织与数学化等方面逐步对今日数学发展进行了深入分析,并对几何直观在整个数学中渗透以及数学应用广泛性进行了讨论。,我国著名学者张奠宙教授在其数学教育学中,将弗赖登塔尔对当代数学看法归结为以下几个方面:,第14页,（1）数学表示再创造与形式化活动。数学改变更多是形式改变,而非实质内容改变。,比如，极限概念直观化到准确化。,不一样水平层次学生应该使用不一样水平数学语言，实施不一样层次形式化。,第15页,（2）数学概念建设方法,从经典经过外延描述抽象化,进而转向实现公理系统抽象化,认可隐含形式定义。,用公设或者是公理方法建立概念，其实质就是以隐含方式描述了所要研究对象，它并未明确指出概念“外延”，但却已经要求了它必须满足条件，这就是以隐含形式作了定义，跳出了亚里土多德形式逻辑理论，从而使当代数学跨上了更高水平形式体系。,第16页,（3）传统数学领域之间界限日趋消失,一贯奉为严密性典范几何,表面上看来似乎己经丧失了昔日地位,实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络作用。正如康德所说:缺乏概念直观是空虚,缺乏直观概念是盲目标。,爱因斯坦：“数学定理一包括现实，它就不是必定，而数学定理假如必定，它就不包括现实，公理化进展就反应在逻辑形式与现实直观内容截然分开，”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、了解，甚至提供方法作用，在界限日趋消失当代数学问题、概念与方法辽阔沙漠中，几何直观却经常能够提醒我们，拯救我们，并告诉我们什么是主要、有趣和能够了解。,第17页,（4）相对于传统数学中对算法数学强调,当代数学更重视概念数学,或者说是思辨数学。,基础教育面临问题：,是强调概念、了解，还是着重运算、操作?,第18页,由此不难看出，弗赖登塔尔对当代数学认识，主要是从数学方式描述形式化、传统数学分支综合化、数学组织结构化、当代数学应用多元化等方面来分析当代数学特征。,第19页,二、Hans Freudenthal 数学及教学观,3.,对数学教育用处和目标之看法,学习数学终究是为了什么?进行数学教育，最终要到达什么效果?,弗赖登塔尔认为，提出数学教育目标，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育目标必须伴随时代改变而改变，它也必定受到社会条件约束与限制。比如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术单纯计算技能作为基本目标?这是否还有教育价值?,第20页,3.,对数学教育用处和目标之看法,学习数学终究是为了什么?进行数学教育，最终要到达什么效果?,弗赖登塔尔认为，提出数学教育目标，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育目标必须伴随时代改变而改变，它也必定受到社会条件约束与限制。,比如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术单纯计算技能作为基本目标?这是否还有教育价值?,第21页,3.,对数学教育用处和目标之看法,在概率与数理统计取得快速进展情况下，我们数学教育是否还能闭眼不看这一事实，而依然抱住了确定性数学作为唯一指望?,也就是说，数学本身飞跃发展与改变，自然也影响到数学教育目标，因为我们毕竟是要让学生能利用数学来处理社会实际问题。,第22页,3.,对数学教育用处和目标之看法,数学有着如此广泛应用，终究教到哪个范围才是最适当?,再一个问题就是学生情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事，这依赖于学生接收能力，是否能了解一些数学内容。,第23页,3.,对数学教育用处和目标之看法,1掌握数学整个体系,因为数学应用广泛，又有高度灵活性，每个人未来终究需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是只能依据数学内在体系出发，希望经过数学教育能够掌握数学整个结构，所教数学内容必须符合数学体系要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联络亲密。,第24页,这里必须注意一点是，数学教育目标绝对不,是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单,数学，因为数学已经成人类生存所不可缺乏一个方,面，这就是普通数学教育目标。所以假如过于强,调数学体系，以之作为数学教育最终目标，那不恰,当，尤其是假如仅仅以数学体系来决定教学内容,取舍，那必定会违反教学法规律；甚至引发学生反,感。,这种目标提出，普通都出自于教授权威，他们更,多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学严密与,完整，强调追求数学美与魅力，但却往往忽略了社,会要求与学生实际。,第25页,3.,对数学教育用处和目标之看法,2学会数学实际应用,应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学,教室不可能浮在半空中，而学数学学生也必定是属,于社会，认真考虑数学在社会中饰演角色，应该,是数学教育首要目标,也就是必须学会数学在处理实,际问题中作用、会利用数学知识于具表达实，而不,是一味追求完整数学体系。,第26页,大家都同意，教数学就必须教相互连贯材料，,而不是孤立片断，但这并非只限于数学内部逻辑,联络，恐怕更主要是数学与外部联络。当然这也,不是把数学与某种特定应用捆绑在一起、那样会使,数学僵化，而数学最大特点就是灵活性。所以普通,说来,还是先考虑内部联络，但却不是勉强生硬或,是过于形式，应该在现实基础上，自然地形成这,种内部与外部联络，譬如说经过数学与其它自然科,学物理、化学等生动联络。,第27页,了解数学与外界丰富联络，不但使数学,成为应用于实际锐利工具，而且将会使人们,所掌握知识长久地富有活力，能够不停地联,系实际、发挥作用，而不是将数学成为供奉于,殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯,演绎体系形式，这是完全不符合当前社会迫,切需要。,第28页,3.,对数学教育用处和目标之看法,3数学作为思维训练,自古以来就将数学作为“智力磨刀石”，,认为对全部人而言，数学都是一个不可缺乏,思维训练，甚至还强调数学能够训练人们,逻辑思维。,数学教育与逻辑思维还是有着一定联络。问题在于，怎样找出它们之间本质联络以及内在规律，这可能需要从心理学、认识论角度，对此作更深入探讨。,第29页,严格说来，终究什么是逻辑思维?是否存在,思维训练?数学又是否是其中一个?甚至是,最好一个?这些都是极难回答问题。因为无,人能证实，一个好数学家在其它科学领域中,也必定会有很高成就，也不知道数学天才是,否是普通天才所必须具备特征；一样也无法,使人相信，数学家超人智力完全是由数学所,决定，因为谁也不知道，假如数学家不学数,学而去学其它东西，又会有什么样结果。,第30页,3.,对数学教育用处和目标之看法,4数学作为筛选工具,长久以来，在各种领域内，都将数学作为,一个选择方法，不但是科学、技术、医学学,生，要经过数学考试，甚至对大多数人文学科,学生，也有一定数学要求,于是数学教育目标，就是在数学教学基,础上挑选学生，因为人们认为数学适宜于作为,一个方法，以测定学生智力与才能，它比其,他学科，甚至比智力测验更可信，更轻易使用.,第31页,一样问题存在着。每个教师都坚信：谁,数学学得好，那他在其它领域中通常也学得,好；事实是谁也不知道，假如他从未学过数,学，是否其它领域就一定学不好。这和前面提,到数学作为思维训练，碰到了一样困难.,第32页,严重是，这种筛选工具作用，深入又发展成,为数学教育目标似乎就是为了考试，还不但是数,学，其它科目也处于一样危险之中，那就是为了考,试而教学。,社会有各种不一样需要，也有各种不一样层次，,人们必须经过形形色色入场考试，即使社会差异会,逐步消失，但社会总是要对它组员进行各种挑选，,以确保合理社会分工，所以筛选工具是必须，考,试也是必要，但假如说学生学习只是为了一个分,数，而教师职责也只是在给分宽严之间进行一个最,佳选择，那就与数学教育目标相距太远了。,第33页,3.,对数学教育用处和目标之看法,5培养处理问题能力人们往往对数学给以高度评价，因为它能够处理许,多问题，从日常生活中经常遇见数值计算，各种神,秘魔术与游戏，一直到高精尖领域，从计算机直,到火箭发射，都能够发挥与施展数学魔力，因而使,人对数学产生了极高信念。数学能够训练语言表,达，以最准确、简练语言来描述现象，数学能够使,问题简化，又能将问题推广，使之普通化，这么数学,就从多个侧面，给人们提供了处理各种问题伎俩、,背景，以至思维方法，这就为综合地分析各种因,素，顺利地处理各种实际问题，创造了条件，培养了,能力。,第34页,当然需要考虑数学教育终究能够培养哪些能力，人们处理问题所需要不但是单纯数学知识，可能更主要是人们思想方法，分析、综合、推理、否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密联络,数学终究能否在这些方法上起巨大影响?另首先,问题有着多方面背景,包含各种所谓非智力原因,数学教育能否在这些方面,提供综合帮助,而使学生确实经过数学学习,能够在处理问题能力这方面取得培养与提升。,第35页,3.,对数学教育用处和目标之看法,弗赖登塔尔认为，数学教育含有以下特征:,情境问题是教学平台,数学化是数学教育目标,学生经过自己努力得到结论和创造是教育内容一部分,“互动”是主要学习方式,学科交织是数学教育内容展现方式,这些特征又可概括为数学现实,数学化,再创造。,第36页,三、Hans Freudenthal 教学标准,1.数学现实标准,（Rea1istic Mathematics）,2.数学化标准（Mathematization）,3.再创造标准（Recreation）,4.反思标准（Reflective thinking）,第37页,三、Hans Freudenthal 教学标准,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,数学源于现实,也必须寓于现实,而且用于现实(start from,stay in and apply to reality).这是弗赖登塔尔“数学现实”思想基本出发点。,第38页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,他对从巴比伦数学,到埃及数学,再到希腊数学,逐一作了分析和思索后发觉,在巴比伦时代,数学是平民、商人、工匠、测量员以及天文学家数学；,在希腊,占星家和航海人员等都需要数学,即使那是极为贫乏数学应用。同时得出:,“假如没有应用推进,数学会变得多么贫乏!数学起源于实用,它在今天比任何时候都更有用!但其实,这么说还不够,我们应该说:倘若无用数学就不存在了。”论断。,在以上认识基础上,弗赖登塔尔形成了他关于“现实数学”数学观和数学教育观。,第39页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（1）,数学观现实数学,他指出,首先依据数学发展历史,不论是数学概念,还是数学运算与规则,都是因为现实世界实际需要而形成,数学不是符号游戏,而是现实世界中人类经验总结.数学起源于现实,因而也必须扎根于现实,而且应用于现实。,数学不能脱离那些丰富多彩而又错综复杂背景材料,不然就将成为“无源之水,无本之木。”,第40页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（1）,数学观现实数学,另首先,数学是充满了各种关系科学,经过与不一样领域各种形式外部联络,不停地充实和丰富着数学内容。与此同时,因为数学本身内在联络,形成了本身独特规律,进而发展成为严谨形式逻辑演绎体系。,所以,数学是现实,是现实世界抽象反应和人类经验总结。它过去、现在和未来都属于现实世界,属于社会。,第41页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,他指出:“数学整体结构应该存在于现实之中。只有亲密联络实际数学才能充满着各种关系,学生才能将所学数学与现实结合,而且能够应用。”,并指出:“对非数学家而言,与亲生经历现实联络将是至关主要。”他主张数学应该属于全部人,为此必须将数学教给全部些人。但人与人之间差异可能很大,不一样人需要不一样数学,也就联络着不一样现实世界。即不一样人有不一样“数学现实”,其中包含每个人接触到客观世界中数学规律以及相关这些规律数学知识结构。,第42页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,依据英国考克罗夫特(W.H.Cockcroft)汇报,他们在进行了广泛调查,分析了一些比较实际资料后提出,人们所需要数学能够分为三种水平:,第一个是日常生活需要。从个人消费、家庭开支到国家建设,处处都要包括各种数字、图表、测量问题，这些大多是比较简单数学知识，但却是每个人都必须知道。,第43页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,第二种是不一样技术或者说是各种职业需要。从工程技术人员、农业技师到各行业服务人员,在相当广泛不一样领域内,从事各种不一样性质工作人,从各个不一样方向,对数学知识提出了种种要求,当然其中也含有一些共同部分。,第三种是为深入学习并从事高水平研究需要。这部分包含范围很大,差异也很大。未来科学家、企业家、管理家等,都需要与各个领域相关不一样分支数学知识,它们可能有共同基础及类似数学思想方法,但却包括到千变万化详细内容。,第44页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,总之，,每个人都有自己一套“数学现实”即“每个人都有自己生活、工作和思索着特定客观世界以及反应这个客观世界各种数学概念、运算方法、规则和相关数学知识结构”，其中，既含有客观世界现实情况，也包含个人用自己数学水平观察这些事物所取得认识。,第45页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,从这个意义上说,这里所谓“现实”不一定限于详细事物,作为属于这个现实世界数学本身,也是“现实”一部分,或者能够说,每个人也都有自己所接触到特定“数学现实”。,大多数人数学现实世界可能只限于数和简单几何形状以及它们运算,另一些人可能需要熟悉一些简单函数与比较复杂几何,至于一个数学教授现实世界可能就要包含希尔伯特(Hilbert)空间算子,拓扑学以及纤维丛等等。,第46页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,所以,数学教学必须从学生数学现实开始,现实在不停地扩展,教师任务就在于,确定各类学生在不一样阶段所必须到达“数学现实”,并伴随学生们所接触客观世界越来越广泛,了解并掌握学生所实际拥有“数学现实”,从而据此采取对应方法,给予丰富,给予扩展,以逐步提升学生所含有“数学现实”程度并扩充其范围。,数学教育本身也应该是以这些不一样数学现实为基础构建课程体系,并经过这些课程不停地扩展每个人“数学现实”,使每个人在数学上都取得最大发展。,第47页,1.数学现实标准（Rea1istic Mathematics）,（2）,数学教育观现实数学教育,最终,在“数学现实”思想里,弗赖登塔尔还主张把客观现实材料和数学知识溶为一体,使数学教学过程经历从现实背景中抽象出数学知识全过程,着眼于能力培养。,以下在一个详细例子中说明“数学现实”思想在数学教学中应用。,如:小学学加法,能够有很多不一样实际路径引入,举例来说,能够经过公共汽车经过各个停靠站时上下车人数来讲,第48页,假定汽车里原来有5个人,在第一个停靠站上来了3个人,在第二个停靠站又上来了2个人等等,这时汽车里人数就该是5+3个,5+3+2个,这么小学生就能够自己形成加法概念,并找出加法运算规律。,在这里乘公共汽车就是小学生所接触过“现实”,自然数2,3,5就是他们拥有现实数学知识。,教师就是依据这两方面“现实”,帮助学生学习加法这一“现实数学”知识,并用这些知识扩充学生“数学现实”。,第49页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,何为数学化?,弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界过程中，利用数学思想和方法来分析和研究客观世界种种现象并加以整理和组织，以发觉其规律过程.,第50页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,在他看来,数学产生与发展本身就是一个数学化过程。先人从手指或石块集合形成数概念；从测量、绘画形成图形概念都是数学化。另外，当数学家们从详细置换群与几何变换群抽象出群普通概念时,也是一个数学化。,甚至能够说整个数学体系形成就是一个数学化过程。而人们学习数学过程,实际上又或多或少地遵照着历史发展规律。,第51页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,为此,数学教育应该尊重数学传统,按照历史原来面目,依据数学发展规律来进行。即应将数学与它相关现实世界紧密联络在一起,经过“数学化”路径来进行数学教与学,使学生真正取得充满关系、富有生命力数学知识,使他们不但了解这些知识,而且能加以应用。当然,这期间也必须注意数学教育与数学发展史毕竟不是同一回事。,所以，没有必要也没有可能把每个人学习数学过程变成机械地重复历史过程,只是人们能够也需要从历史发展中取得很好借鉴。,第52页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,在作为教育任务数学中,弗赖登塔尔在研究了“数学传统”之后,对“今日数学”即对当代数学本质特征进行了深入分析研究,发觉,从常量数学到变量数学、函数等,数学“方式改变”日益趋向“形式化、公理化、模式化”。,他认为形式化、公理化及模式化等这些发展数学过程都是数学化过程,并认为:“任何数学都是数学化结果,不存在没有数学化数学,不存在没有公理化公理,也不存在没有形式化形式。”,第53页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,他据此指出:首先数学教学不能停留在让学生头脑成为形形色色公理系统仓库,更主要任务是教会学生能利用自己数学思维,对一个领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来；,另首先，数学教学不能为形式而形式，只让学生死记硬背那些形式符号与逻辑体系，只作机械而无内涵、无意义、运算操演,必须使学生学会用正确数学语言来组织并表示数学现实内容及内在联络,从而组成严谨体系。,第54页,三、Hans Freudenthal 教学标准,2.数学化标准（Mathematization）,即“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。”,他还尤其指出,数学本身一样属于现实世界,因而在数学发展过程中,必定要面对数学本身数学化。,第55页,2.数学化标准（Mathematization）,在这里,他强调数学化对象有两大类,一类是现实客观事物,另一类是数学本身内容,包含数学符号、各种观点、概念以及它运算方法和规则等。,其中对客观世界数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理以及为处理实际问题而结构数学模型；,对数学本身数学化，是深化数学知识，或者是数学知识系统化，形成不一样层次公理体系和形式体系.,第56页,2.数学化标准（Mathematization）,因为每个人都有自己特有“数学现实”,所以数学化就有不一样层次和特征。,依据Treffers和Goffree提法,能够将数学化过程区分为水平和垂直两种成份。,其中从现实中找出数学特征,用不一样方式将同一个问题形式化或直观化,在不一样问题中识别其同构方面以及将一个现实问题转化为数学问题或己知数学模型等,都是将同一个问题在水平方向扩展,称为水平数学化。可图示以下:,第57页,2.数学化标准（Mathematization）,水平数学化过程:,从背景中识别数学 图式化 形式化,寻找关系和规律 识别本质 对应到已知数学模型(现实,经验),水平数学化过程就是从“生活”到“符号”转化过程。,把生活世界引向符号世界.,从生活世界中提炼出：,点、线、面；1，2，3；,变量,x,；增减函数；,第58页,2.数学化标准（Mathematization）,而用公式表示出某个关系，证实了一个定律，采取不一样模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新数学概念或建立起由特殊到普通化理论等，则是将某一问题垂直地加以深入，这一过程称为垂直数学化。,垂直数学化过程:,猜测公式 证实一些规则 完善模型,调整综合模型形成新数学概念,普通化过程(现实,结构),垂直数学化是水平数学化后数学化，是从低层数学到高层数学数学化。是在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。,第59页,水平数学化,垂直数学化,经验（realistic）,+,+,现实（empiricist）,+,_,结构（structuralist）,_,+,机械（mechanistic）,_,_,其中“+”号表示对这方面给予更多注意，,而“,”号表示较少注意或根本未加注意。,第60页,2.数学化标准（Mathematization）,数学教育最早传统做法就是机械路径,教师将各种结论灌输下去,学生被动地接收这些结果,死记硬背,机械模仿,不知道它们来龙去脉,所取得只是知识形式堆砌,既不考虑它们有什么用处,也不问它们相互之间是否有内在联络,能够说极少包含数学化成份。,第61页,2.数学化标准（Mathematization）,以后逐步有所进步,比较多地考虑到实际经验,也建立了不少现实模型,从而进入了经验路径,即较多地顾及水平数学化,使所取得数学知识含有一定实用价值,能够处理一些客观现实中问题“但这些知识又往往流于琐碎、零星、不成体系,忽略了数学本身内在联络,尤其是忽略了数学逻辑演绎结构,较少注意数学化纵深发展.,第62页,2.数学化标准（Mathematization）,为了纠正上述偏向,以布尔巴基观点为代表“新数学”运动做法,就采取了结构路径,强调数学演绎结构,重视逻辑推理论证,企图以结构主义思想来组织整个数学教育,以提升抽象逻辑思维水平,形成严谨演绎结构体系作为唯一目标,从而又由一个极端走向了另一个极端,忽略了数学现实性,忘却了数学教育根本目标还是要为现实世界服务,而且一味追求抽象,强调严谨,也不符合教学规律与认识规律。,第63页,2.数学化标准（Mathematization）,从历史经验教训,能够得出这么结论:数学教育正确路径应该是现实数学化路径,为学生准备课程体系应该全方面而完善地表达数学化正确发展,既要强调现实基础,又要重视逻辑思维,既要亲密注意数学外部关系,也要充分表达数学内在联络,要能将这二者有机地结合在一起,才是数学教育所必须遵照正确路线。,第64页,3.再创造标准（Recreation）,弗赖登塔尔指出,一个学科领域教学论就是指与这个领域相关教与学组织过程.而经过数学化过程产生数学必须由经过教学过程产生数学教学反应出来.,所以,他认为数学教学方法关键是学生“再创造”,并指出这和我们经常说“发觉学习”并不等同。这里了解创造,是学习过程中若干步骤,这些步骤主要性在于再创造“再”,而“创造”则既包含了内容又包含了形式,既包含了新发觉又包含了组织。,第65页,3.再创造标准（Recreation）,依据对数学看法及数学发展历史进程分析,弗赖登塔尔认为数学根源在于普通常识,数学实质上是人们常识系统化,它与其它科学有着不一样特点,是最轻易创造科学。,为此,在教课时,教师无须将各种规则、定律灌输给学生,而是应该创造适当条件,提供很多详细例子,让学生在实践活动过程中,自己“再创造”出各种数学知识。,第66页,3.再创造标准（Recreation）,即应该让每个人在学习数学过程中，依据自己体验，用自己思维方式，重新创造相关数学知识。,当然，这也并非机械地重复历史，只是在某种意义上重复人类学习过程，重复数学创造历史。这种创造并非按照历史实际发生过程进行，而是假定我们祖先，在过去就知道了更多现有知识以后，情况会怎样发生可能发生历史。即应该让学生体验到：“假如当初人有幸具备了我们现有了知识，他们是怎样把那些知识创造出来。”,第67页,3.再创造标准（Recreation）,弗赖登塔尔认真分析了两种数学,一个是现成或者是己完成数学，另一个是活动或创造数学。其中“现成数学”以形式演绎面目出现,完全颠倒了数学实际创造过程,给予人们是思维结果。,对此,他指出:数学家向来都不是按照他创造数学思维过程去叙述他工作结果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点,去把其它东西推导出来,并将这种叙述方法称为“违反教学法颠倒”。,而“活动数学”则是数学家发觉数学过程真实表达，它表现了数学是一个艰难而又生动有趣活动。,第68页,3.再创造标准（Recreation）,弗赖登塔尔指出:传统数学教育传授是现成数学,是反教学法,学习数学唯一正确方法是实施“再创造”,也就是由学生自己去把要学东西创造或发觉出来,教师任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作,而不是生吞活剥把现成知识浇灌给学生。他认为这是一个最自然、最有效学习方法。,第69页,3.再创造标准（Recreation）,说它最自然,是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程重现”,这条原理在数学学习上也是成立。即数学发展历程也应该在每个人身上重现,这才符合人认识规律。当然这其中走过弯路、进过死胡同,这么历程就无须让它在学生身上重现。而说它最有效,是因为只有经过自己再创造而取得知识才能被掌握且能够灵活应用。,第70页,3.再创造标准（Recreation）,对于“再创造”学习方式依据,弗赖登塔尔除了给出以上数学方面依据外,还给出了以下合理教育学方面依据：,（1）经过本身活动所得到知识与能力比由旁人硬塞了解得透彻,掌握得快,同时也善于使用它们,普通来说还能够保持长久记忆.,（2）发觉是一个乐趣,因而经过“再创造”来进行学习就能引发学生兴趣,从而使学生学习含有动力。,（3）经过“再创造”方式能够深入强化人们对数学教育是一个人类活动看法。,第71页,3.再创造标准（Recreation）,数学教育问题有两个方面,首先教内容是数学,这是一门以严谨逻辑演绎体系为特征科学；,而另首先作为教育,它又与社会有着千丝万缕联络,社会需要、社会改变时刻在影响着它,因而处理教育问题不能经过一篇论文,而要经过一个过程。,第72页,3.再创造标准（Recreation）,处理数学教育问题,也不能单靠数学家或是教育家,而是必须依靠教育过程参加者教育者与受教育者。“再创造”标准提出就是为了更加好地反应出教育过程必须经过教师与学生双方主动参加才能处理问题,尤其是更表达了“学生是学习主体”这一思想,让受教育者学生活动更为主动、有效,方便真正主动地投入到教育这个活动中去。,第73页,3.再创造标准（Recreation）,捷克教育家夸美纽斯(Cmoneius)教学论原理是:教一个活动最好方法是演示.(The best way to teach an activity is to show it.)他主张打开学生各种感觉器官,那就不但是被动地经过语言依赖听觉来吸收知识,也包含眼睛看甚至手触摸及动作.,第74页,3.再创造标准（Recreation）,弗赖登塔尔发展了他观点,创造性地提出:学一个活动最好方法是做。(The best way to learn an activity is to perform it.),他这一提法,将数学教学重点由教转向了学,由教师行为转向了学生活动,由感觉效应转向了运动效应。这就好比学游泳和驾驶本身也有理论,也需要观摩教练示范动作,但更主要是必须下水、上车去练习,老站在陆地上是永远也学不会一样。,第75页,3.再创造标准（Recreation）,当然,因为每个人有不一样“数学现实”,每个人也可能处于不一样思维水平,因而不一样人能够追求并到达不一样水平。,为此,在教学中,对于学生各种独特解法,甚至不着边际想法都不应该加以阻扰,应让学生充分发展,充分享受“再创造”自由,让他们走自己路。,但学生这种自己行走不应该是盲目标、无序,它需要教师在适当时机引导学生加强反思,巩固已经取得知识,点拨学生思维关键点,以提升其思维水平。,第76页,3.再创造标准（Recreation）,其中尤其必须注意加强有意识地启发,以使学生“创造”活动逐步由不自觉或无目标状态发展成为有意识有目标创造活动,尽可能促使每个学生所能到达水平尽可能地提升。,即学生从事应是一个有指导再创造学习活动。这种有指导再创造就意味着师生要在创造自由性和指导约束性之间,在学生取得自己乐趣和满足教师要求之间,在教强迫性和学自由性之间,到达一个微妙而友好平衡。,第77页,3.再创造标准（Recreation）,也即师生应在以教师启发为关键教和以学生探究为中心学之间寻找一个最为恰当中间地带,依据特莱弗斯观点,他认为这种有指导再创造可在以下标准下更加好进行:,（1）,在学生当前现实中选择学习情境,使其 适合水平数学化；,（2）为纵向(垂直)数学化提供伎俩和工具；,第78页,3.再创造标准（Recreation）,（3）,相互作用教学系统。对于教与学过程,是观察还是加强,是使它们结合还是使它们分离确实需要而且应该允许有灵活性,相互影响意味着教师与学生双方既都是动因,同时又都对对方起作用,教与学应该是相辅相成；,第79页,3.再创造标准（Recreation）,（4）,认可和勉励学生自己结果。这是有指导“再创造”教学中最基本一条标准。,每个人都有自我价值实现愿望,自我价值实现对学生主动主动高效学习有极大推进作用,是学生学习愿望源泉。,这正如苏联教育家苏霍姆林斯基所说:,“儿童学习愿望源泉,就在于进行担心智力活动后体验到取得胜利欢乐。”,第80页,3.再创造标准（Recreation）,（5）,将所学各个部分
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