曲线积分计算方法省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,习题课,一、曲线积分计算法,二、曲面积分计算法,线面积分计算,第十一章,第1页,一、曲线积分计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)选择积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,练习题:,P244 题 3,(1),(3),(6),第2页,解答提醒:,计算,其中,L,为圆周,提醒:,利用极坐标,原式=,说明:,若用参数方程计算,则,P244,3,(1),第3页,P244,3,(3),.,计算,其中,L,为摆线,上对应,t,从 0 到 2,一段弧.,提醒:,第4页,P244,3,(6),.,计算,其中,由平面,y=z,截球面,提醒:,因在,上有,故,原式=,从,z,轴正向看沿逆时针方向.,第5页,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关等价条件;,(3)利用格林公式(注意,加辅助线技巧,);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分联络公式.,2.基本技巧,第6页,例1.,计算,其中,为曲线,解:,利用轮换对称性,有,利用,重心公式,知,(,重心在原点),第7页,例2.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径上半圆周.,第8页,解法2,它与,L,所围区域为,D,(利用格林公式),思索:,(2)若,L,同例2,怎样计算下述积分:,(1)若,L,改为,顺时针方向,怎样计算下述积分:,则,添加辅助线段,第9页,思索题解答:,(1),(2),第10页,证:,把,例3.,设在上半平面,内函数,含有,连续偏导数,且对任意,t,0 都有,证实,对,D,内任意分段光滑闭曲线,L,都有,两边对,t,求导,得:,则有,所以结论成立.,(考研),第11页,计算,其中,L,为上半圆周,提醒:,沿逆时针方向.,练习题:,P244 题 3,(5),;P245 题 6;11.,3,(5),.,用格林公式:,第12页,P245,6,.,设在右半平面,x,0 内,力,组成力场,其中,k,为常数,证实在此力场中,场力所作功与所取路径无关.,提醒:,令,易证,F,沿右半平面内任意有向路径,L,所作功为,第13页,P245,11.,求力,沿有向闭曲线,所作,其中,为平面,x+y+z=,1,被三个坐标面所截成三,提醒:,方法1,从,z,轴正向看去沿,顺时针方向,.,利用对称性,角形整个边界,功,第14页,设三角形区域为,方向,向上,则,方法2,利用,公式,斯托克斯公式,第15页,例4.,设,L,是平面,与柱面,交线,从,z,轴正向看去,L,为逆时针方向,计算,解:,记,为平面,上,L,所围部分上侧,D,为,在,xOy,面上投影.,由,斯托克斯公式,公式,第16页,D,形心,第17页,二、曲面积分计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),转化,二重积分,(1)选择积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:一直非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,第18页,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:,第一类曲面积分特例.,2)设曲面,问以下等式是否成立?,不对!,对坐标积分与,侧相关,第19页,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面技巧,(辅助面普通取平行坐标面平面),(3)两类曲面积分转化,第20页,练习:,P244 题4,(3),其中,为半球面,上侧.,且取下侧,原式=,P244 题4,(2),P245 题 10,一样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,提醒:,以半球底面,为辅助面,利用,第21页,例5.,证实:,设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,第22页,例6.,计算曲面积分,其中,解:,思索:,本题,改为椭球面,时,应怎样,计算?,提醒:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,第23页,例7.,设,是曲面,解:,取足够小正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xOy,平面上夹于,之间部分,且取下侧,取上侧,计算,则,第24页,第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面方向!,得,第25页,例8.,计算曲面积分,中,是球面,解:,利用对称性,用重心公式,第26页,作业,P244 3,(2),(4);,4,(2),5 ;9,第27页,备用题,1.,已知平面区域,L,为,D,边界,试证,证:,(1)依据格林公式,所以相等,从而,左端相等,即(1)成立.,(考研),因、两式右端积分含有轮换对称性,第28页,(2)由式,由轮换对称性,第29页,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视地球表面积是,2.,地球一个侦察卫星携带广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面每一处景象并摄像,若地球半径为,R,卫星距地球表面高度为,H,=0.25,R,卫星绕地球一周时间为,T,试求,(2)在,解:,如图建立坐标系.,时间内,卫星监视地球,表面积是多少?,多少?,设卫星绕,y,轴旋转,第30页,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为,(2)在,时间内监视地球表面积为,点击图片任意处,播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中,S,0,为盲区面积,第31页,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视地球表面积为,第32页,斯托克斯(Stokes)公式,第33页,