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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,含糊数学,北京化工大学理学院,杨卫星,行政楼,428,yangwx,1/37,课程介绍,介绍含糊数学基本理论和基本研究方法,研究性学习过程,接触一些前沿问题和最新研究动态,参考书目：,含糊数学方法及其应用,第三版，谢季坚，刘承平，华中科技大学出版社,含糊理论基础,，胡宝清，武汉大学出版社,2/37,成绩评定,课程性质：,2,4,课时，选修课,成绩评定：,20%,平时作业，考勤,30%,读书汇报,50%,闭卷考试,3/37,读书汇报要求,选择国内外期刊正式发表文章，用到了含糊数学思想或者方法，中英文均可。,长度最少,2,页，,A4,纸打印，文件和读书汇报都要交，考试前上交。,内容包含：,4/37,1,）,论文所研究问题,以及这个问题为何有意义；,2,）论文基本假设，这些假设是否合理；,3,）论文使用方法；,4,）论文选取模型；,5,）基本结果；,6,）该论文贡献和缺点，,你对结果思索或可能扩展,或者其它你认为应该包含内容。,5/37,第,1,章,含糊集基本概念,6/37,含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法,.,众所周知，经典数学是以准确性为特征,.,然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有价值,.,甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好,.,比如,要你某时到某地去迎接一个,“,大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人,”,.,尽管这里只提供了一个准确信息,男人，而其它信息,大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头脑综合分析判断，就能够接到这个人,.,含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用,.,7/37,含糊数学主要内容,三个基本概念：含糊集合，含糊关系，,含糊隶属函数,三大基本原理：分解定理，表现定理，,扩张原理,三个基本应用：含糊聚类分析，含糊模式,识别，含糊综合评判,三大热门专题：含糊决议 理论，含糊逻辑,系统，含糊测度理论,8/37,1,.2,含糊理论数学基础,经典集合,经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素,x,要么属于集合,A,(,记作,x,A,),要么不属于集合,(,记作,x,A,),，二者必居其一,.,集合表示法：,(1),枚举法，,A,=,x,1,x,2,x,n,；,(2),描述法，,A,=,x,|,P,(,x,),.,A,B,若,x,A,，,则,x,B,；,A,B,若,x,B,，,则,x,A,；,A,=,B,A,B,且,A,B,.,9/37,集合,A,全部子集所组成集合称为,A,幂集，记为,(,A,).,并集,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,；,交集,A,B,=,x,|,x,A,且,x,B,；,余集,A,c,=,x,|,x,A,.,集合运算规律,幂等律：,A,A,=,A,，,A,A,=,A,；,交换律：,A,B,=,B,A,，,A,B,=,B,A,；,结合律：,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),，,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),；,吸收律：,A,(,A,B,),=,A,，,A,(,A,B,),=,A,；,10/37,分配律：,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,),；,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,),；,0-1,律：,A,U,=,U,，,A,U,=,A,；,A,=,A,，,A,=,；,还原律：,(,A,c,),c,=,A,；,对偶律：,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,，,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,；,排中律：,A,A,c,=,U,，,A,A,c,=,；,U,为全集，,为空集,.,集合直积：,X,Y,=,(,x,y,)|,x,X,y,Y,.,11/37,映射与扩张,映射,f,：,X,Y,集合,A,特征函数：,特征函数满足：,取大运算,如,23=3,取大运算,如,2,3=2,扩张：点集映射 集合变换,12/37,二元关系,X,Y,子集,R,称为从,X,到,Y,二元关系，,尤其地，当,X,=,Y,时，,称之为,X,上,二元关系,.,二元关系简称为,关系,.,若,(,x,y,),R,，则,称,x,与,y,有,关系，记为,R,(,x,y,)=1,；,若,(,x,y,),R,，则,称,x,与,y,没有,关系，记为,R,(,x,y,)=0.,映射,R,:,X,Y,0,1,实际上是,X,Y,子集,R,上特征函数,.,13/37,关系三大特征：,设,R,为,X,上,关系,(1),自反性,：若,X,上任何元素都与自己有,关系,R,，即,R,(,x,x,)=1,，则称关系,R,含有自反性；,(2),对称性,：对于,X,上任意两个元素,x,y,，若,x,与,y,相关系,R,时，则,y,与,x,也相关系,R,，即若,R,(,x,y,)=1,，则,R,(,y,x,)=1,，,那么称关系,R,含有对称性,；,(3),传递性,：对于,X,上任意三个元素,x,y,z,，,若,x,与,y,相关系,R,，,y,与,z,也相关系,R,时，则,x,与,z,也相关系,R,，即若,R,(,x,y,)=1,，,R,(,y,z,)=1,，,则,R,(,x,z,)=1,，,那么称关系,R,含有传递性,.,14/37,关系矩阵表示法,设,X,=,x,1,x,2,x,m,Y,=,y,1,y,2,y,n,，,R,为从,X,到,Y,二元关系，记,r,ij,=,R,(,x,i,y,j,),，,R,=(,r,ij,),m,n,，,则,R,为布,尔矩阵,(,Boole,),，,称为,R,关系矩阵,.,布,尔矩阵,(,Boole,),是元素只取,0,或,1,矩阵,.,关系合成,设,R,1,是,X,到,Y,关系,R,2,是,Y,到,Z,关系,则,R,1,与,R,2,合成,R,1,R,2,是,X,到,Z,上一个关系,.,(,R,1,R,2,)(,x,z,)=,R,1,(,x,y,),R,2,(,y,z,)|,y,Y,15/37,关系合成矩阵表示法,设,X,=,x,1,x,2,x,m,Y,=,y,1,y,2,y,s,Z,=,z,1,z,2,z,n,，且,X,到,Y,关系,R,1,=(,a,ik,),m,s,，,Y,到,Z,关系,R,2,=(,b,kj,),s,n,，,则,X,到,Z,关系可表示为矩阵合成：,R,1,R,2,=(,c,ij,),m,n,，,其中,c,ij,=,(,a,ik,b,kj,)|1,k,s,.,定义：若,R,为,n,阶方阵，定义,R,2,=,R,R,，,R,3,=,R,2,R,16/37,例,设,X,=1,2,3,4,Y,=2,3,4,Z,=1,2,3,R,1,是,X,到,Y,关系,R,2,是,Y,到,Z,关系,R,1,=(,x,y,)|,x,+,y,=6,=(2,4),(3,3),(4,2),R,2,=(,x,y,)|,y,z,=1,=(2,1),(3,2),(4,3),则,R,1,与,R,2,合成,R,1,R,2,=(,x,y,)|,x,+,z,=5,=(2,3),(3,2),(4,1),.,17/37,合成,(,),运算性质：,性质,1,：,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),；,性质,2,：,A,k,A,l,=,A,k+l,，,(,A,m,),n,=,A,mn,；,性质,3,：,A,(,B,C,),=(,A,B,),(,A,C,),；,(,B,C,),A,=(,B,A,),(,C,A,),；,性质,4,：,O,A,=,A,O,=,O,，,I,A,=,A,I,=,A,；,性质,5,：,A,B,，,C,D,A,C,B,D.,O,为零矩阵,，,I,为,n,阶单位方阵,.,A,B,a,ij,b,ij,.,18/37,关系三大特征矩阵表示法：,设,R,为,X,=,x,1,x,2,x,n,上,关系，则其关系,矩阵,R,=(,r,ij,),n,n,为,n,阶方阵,.,(1),R,含有,自反性,I,R,；,(2),R,含有,对称性,R,T,=,R,；,(3),R,含有,传递性,R,2,R,.,若,R,含有,自反性，则,I,R,R,2,R,3,19/37,下面证实：,R,含有,传递性,R,2,R,.,R,=(,r,ij,),n,n,设,R,含有,传递性,即对任意,i,j,k,，若有,r,ij,=1,，,r,jk,=1,，则有,r,ik,=1.,对任意,i,j,，若,(,r,ik,r,kj,)|1,k,n,=0,，,则,(,r,ik,r,kj,)|1,k,n,r,ij,.,若,(,r,ik,r,kj,)|1,k,n,=1,，,则存在,1,s,n,，使得,(,r,is,r,sj,)=1,，,20/37,即,r,is,=1,r,sj,=1.,因为,R,含有,传递性，则,r,ij,=1,，所以,(,r,ik,r,kj,)|1,k,n,=,r,ij,.,总而言之,R,2,R,.,设,R,2,R,，则对任意,i,j,k,，若有,r,ij,=1,，,r,jk,=1,，,即,(,r,ij,r,jk,)=1,，所以,(,r,is,r,sk,)|1,s,n,=1,，,由,R,2,R,，得,r,ik,=1,，所以,R,含有,传递性,.,21/37,集合上等价关系,设,X,上,关系,R,含有,自反性、对称性、传递性，则称,R,为,X,上等价,关系,.,若,x,与,y,有等价关系,R,，则记为,x,y,.,集合上等价类,设,R,是,X,上等价,关系，,x,X,.,定义,x,等价类：,x,R,=,y,|,y,X,，,y,x,.,集合分类,设,X,是非空集，,X,i,是,X,非空子集，若,X,i,=,X,，且,X,i,X,j,=,(,i,j,),，,则称集合族,X,i,是集合,X,一个分类,.,22/37,定理：集合,X,上任一个等价,关系,R,能够确定,X,一个分类,.,即,(1),任意,x,X,，,x,R,非空；,(2),任意,x,y,X,，若,x,与,y,没相关系,R,，则,x,R,y,R,=,；,(3),X,=,x,R,.,证,:(1),因为,R,含有自反性，所以,x,x,R,，即,x,R,非空,.,(2),假设,x,R,y,R,取,z,x,R,y,R,，则,z,与,x,相关系,R,，与,y,也相关系,R,.,因为,R,含有对称性，所以,x,与,z,相关系,R,，,z,与,y,也相关系,R,.,又因为,R,含有传递性，,x,与,y,也相关系,R,.,这与题设矛盾,.,(3),略,.,23/37,例,设,X,=1,2,3,4,定义关系,R,1,：,x,i,x,j,；,R,2,：,x,i,+,x,j,为偶数；,R,3,：,x,i,+,x,j,=5.,则关系,R,1,是传递，但不是自反，也不是对称；轻易验证关系,R,2,是,X,上等价关系；关系,R,3,是对称和传递，但不是自反,.,按关系,R,2,可将,X,分为奇数和偶数两类，即,X,=1,32,4.,按关系,R,3,可将,X,分为两类，即,X,=1,42,3.,24/37,格,设在集合,L,中要求了两种运算,与,并满足以下运算性质：,幂等律：,a,a,=,a,，,a,a,=,a,；,交换律：,a,b,=,b,a,，,a,b,=,b,a,；,结合律：,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),，,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),；,吸收律：,a,(,a,b,),=,a,，,a,(,a,b,),=,a,.,则称,L,是一个格，记为,(,L,).,25/37,设,(,L,),是一个格，假如它还满足以下运算性质：,分配律：,(,a,b,),c,=(,a,c,),(,b,c,),(,a,b,),c,=(,a,c,),(,b,c,).,则称,(,L,),为分配格,.,若格,(,L,),满足：,0,-,1,律：在,L,中存在两个元素,0,与,1,，且,a,0,=,a,，,a,0,=0,，,a,1,=1,，,a,1,=,a,，,则称,(,L,),有最小元,0,与最大元,1,，此时又称,(,L,),为完全格,.,26/37,若在含有最小元,0,与最大元,1,分配格,(,L,),中要求一个余运算,c,，满足：,还原律：,(,a,c,),c,=,a,；,互余律：,a,a,c,=1,，,a,a,c,=0,，,则称,(,L,c,),为一个,Boole,代数,.,若在含有最小元,0,与最大元,1,分配格,(,L,),中要求一个余运算,c,，满足：,还原律：,(,a,c,),c,=,a,；,对偶律：,(,a,b,),c,=,a,c,b,c,，,(,a,b,),c,=,a,c,b,c,，,则称,(,L,c,),为一个软代数,.,27/37,例,1,任一个集合,A,幂集,(,A,),是一个完全格,.,格中最大元为,A,(,全集,),，最小元为,(,空集,),，而且,(,J,(,A,),c,),既是一个,Boole,代数，也是一个软代数,.,例,2,记,0,1,上全体有理数集为,Q,，则,(,Q,),是一个完全格,.,格中最大元为,1,，最小元为,0.,若在,Q,中定义余运算,c,为,a,c,=1,-,a,，则,(,Q,c,),不是一个,Boole,代数，但它是一个软代数,.,28/37,1,.3,含糊子集及其运算,含糊子集与隶属函数,设,U,是论域，称映射,A,(,x,),：,U,0,1,确定了一个,U,上,含糊子集,A,，映射,A,(,x,),称为,A,隶属函数,，它表示,x,对,A,隶属程度,.,使,A,(,x,),=0.5,点,x,称为,A,过渡点，此点最具含糊性,.,当映射,A,(,x,),只取,0,或,1,时，含糊子集,A,就是经典子集，而,A,(,x,),就是它特征函数,.,可见经典子集就是含糊子集特殊情形,.,29/37,例,设论域,U,=,x,1,(140),x,2,(150),x,3,(160),x,4,(170),x,5,(180),x,6,(190)(,单位：,cm),表示人身高，那么,U,上一个含糊集,“,高个子,”,(,A,),隶属函数,A,(,x,),可定义为,也可用,Zadeh,表示法：,30/37,含糊集运算,相等,：,A,=,B,A,(,x,),=,B,(,x,),；,包含,：,A,B,A(,x,)B(,x,),；,并,：,A,B,隶属函数为,(,A,B,),(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),；,交,：,A,B,隶属函数为,(,A,B,),(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),；,余,：,A,c,隶属函数为,A,c,(,x,),=1,-,A,(,x,),.,31/37,例,设论域,U,=,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,(,商品集,),，在,U,上定义两个含糊集：,A,=“,商品质量好”，,B,=“,商品质量坏”，并设,A,=(0.8,0.55,0,0.3,1).,B,=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则,A,c,=“,商品质量不好”,B,c,=“,商品质量不坏”,.,A,c,=(0.2,0.45,1,0.7,0).,B,c,=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见,A,c,B,B,c,A.,又,A,A,c,=(0.8,0.55,1,0.7,1),U,A,A,c,=(0.2,0.45,0,0.3,0),.,32/37,含糊集并、交、余运算性质,幂等律：,A,A,=,A,，,A,A,=,A,；,交换律：,A,B,=,B,A,，,A,B,=,B,A,；,结合律：,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),，,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),；,吸收律：,A,(,A,B,)=,A,，,A,(,A,B,)=,A,；,分配律：,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,),；,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,),；,0-1,律：,A,U,=,U,，,A,U,=,A,；,A,=,A,，,A,=,；,还原律：,(,A,c,),c,=,A,；,33/37,对偶律：,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,，,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,；,对偶律证实：对于任意,x,U,(,论域,),，,(,A,B,),c,(,x,)=1,-,(,A,B,),(,x,)=1,-,(,A,(,x,),B,(,x,),),=(,1,-,A,(,x,),(1,-,B,(,x,),)=,A,c,(,x,),B,c,(,x,),=,A,c,B,c,(,x,),含糊集运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即,A,A,c,U,，,A,A,c,.,含糊集不再含有,“,非此即彼,”,特点，这正是含糊性带来本质特征,.,34/37,1,.4,含糊集基本定理,(,A,),=,A,=,x,|,A,(,x,),-,截集：,含糊集,-,截集,A,是一个经典集合，由隶属度大于,组员组成,.,例：论域,U,=,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,u,6,(,学生集,),，他们成绩依次为,50,60,70,80,90,95,，,A,=“,学习成绩好学生,”,隶属度分别为,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95,，则,A,0.9,(90,分以上者,)=,u,5,u,6,A,0.6,(60,分以上者,)=,u,2,u,3,u,4,u,5,u,6,.,35/37,定理,1,设,A,B,(,U,),(,A,B,是论域,U,两个含糊子集,),，,0,1,，于是有,-,截集性质：,(1),A,B,A,B,；,(2),A,A,；,(3)(,A,B,),=,A,B,，,(,A,B,),=,A,B,.,定理,2(,分解定理,),设,A,(,U,),，,x,A,，则,A,(,x,)=,，,0,1,，,x,A,定义,(,扩张原理,),设,映射,f,：,X,Y,，定义,f,(,A,)(,y,)=,A,(,x,),，,f,(,x,)=,y,36/37,1,.5,隶属函数确实定,1.,含糊统计方法,与概率统计类似，但有区分：若把概率统计比喻为“变动点”是否落在“不动圈”内，则把含糊统计比喻为“变动圈”是否盖住“不动点”,.,2.,指派方法,一个主观方法，普通给出隶属函数解析表示式。,3.,借用已经有“客观”尺度,37/37,
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