数形结合(函数).doc

数 形 结 合（函数）
长沙县第三中学 段贤清
教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。
情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。
教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。
教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。
教学手段：多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0, ]时,f(x)=sinx，则f()的值为（ D ）
A. - B . C. - D .
-π 0 π 2π
y
xz
解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)的简图
∴f(π)=f(π)=
2.设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）
A. (－1，1) B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
0
x
y
2
1
3.( 05上海理16) 设定义域为为R的函数 ，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 (C )
(A) b<0且c>0； (B) b>0且c<0；
(C) b<0且c=0； (D) b³0且c=0。
解析：f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的
实数解的充要条件是f2(x)+bf(x)+c = 0有一根为0故c=0且b<0
4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是________.
解析 令,解得
图

,.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是,
即.
二.例题解析
例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。

解：函数 y= 可视为：点A(－2，0）与点P(sinx,cosx)的连线的斜率

则y的最值即为kAP的最值。而点P为单位圆上的一个动点，则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。
设直线AP的方程为：y=k(x+2)，由圆心到直线的距离为1，
则有： 解之得：k=±,
故y的最大值为： 最小值为：－
小结：从数的形和构：入手，由数想形。建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解。构造几何模型来求解。
例题2.(2003全国卷19) 已知c>0 设
P：函数y = c x在R上单调递减 ； Q：不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
解:

则c∈(0, ]∪[1,+∞)
小结:
例题3：已知关于x的方程 x2＋( －2m)x＋m2－1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0，2]内，求m的取值范围。
解：令f(x)= x2＋( －2m)x＋m2－1，由f(x)=0的两根落在区间[0，2]内，

x=－ ∈[0,2] (对称轴) x=－ ∈[0,2] (对称轴)
则有 f(－ ) ＜0 （顶点） △＞0 （判别式）

f(0)≥0 （端点） f(0)≥0 （端点）
f(2)≥0 （端点） f(2)≥0 （端点）

0≤－ +2m ≤4
即为 －( －m)2＋m2－1＜0
m2－1≥0
4＋( －2m)2＋m2－1≥0 解之得：{m|1≤m＜ }

小结： “以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解
思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|
（1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
（2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
（3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
y
-2 0 2 4 6 x
8

6

4

2

-2

21.解:(1)

(2)方程f(x)=5的解分别是2-，0和2+，由于f(x)在（-∞，1]和[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=(-∞,2-]∪[2+,+∞).
由于2+<6, 2->-2, ∴BA
(3)[解法一]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5
g(x)=k(x+3)-( -x2+4x+5)
=x2+(k-4)x+(3k-5)
=(x-) 2 ,
∵k>2, ∴<1 ,又-1≤x≤5,
①当-1≤<1, 即2<k<6时,
取x=, g(x)min==
∵16≤(k-10)2<64 , ∴ (k-10)2-64<0 , 则g(x)min>0
②当<-1，既k>6时，取x= -1，g(x)min=2k>0
由①②可知，当k>2时，g(x)>0，x∈[-1，5]
因此，在[-1，5]上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
[解法二] 当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5
，得x2+(k-4)x+(3k-5)=0，
令△= (k-4)2-4(3k-5)=0，解得 k=2或k=18,
在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8);
当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。
如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k>2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到，因此在区间[-1，5]上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。
小 结
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
一．数形结合的信息转化的三个途径：
（1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解；
（2）转化为熟悉的几何模型来求解；
（3）构造几何模型来求解。
二．常用的数学模型：
（1）一元二次函数的图像； （2）一元一次函数的图形；
（3）定比分点公式； （4）斜率公式；
（5）两点间的距离公式； （6）点到直线的距离公式
课后练习
1．（05福建理5） 函数f(x)=ax-b的图象如图，其中
a、b为常数，则下列结论正确的是 ( B )
A a>1，b<0； B 0<a<1，b<0
C 0<a<1，b>0； D a>1，b>0
本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解
决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特
值法求解。
2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数
和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个
单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函
数的表达式为（ A ）
A． B．
C． D．
本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题取端点。
0
x
y
3．（05重庆3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( D )
A (-¥,2)； B (2,+¥)；
C (-¥,-2)È(2,+¥)； D (-2,2)。
解析:

4.(05浙江理8)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( A )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1
本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想，运算能力。
5．方程sinx = 的解的个数为 （ C ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若函数f(x)=ax2＋bx＋c , (a≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则以下不等式中正确的是（ B ）
A. f(1)f(2)>0   B. f(1)f(2)<0  C. f(1)f(3)<0   D. f(2)f(3)>0
7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且
的内角满足,则的取值范围是( )
x
y
O

图5
(A) (B) (C) (D)
解析 由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题
意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形
内角范围可知:或,故选D.
8.(05北京理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
① f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)； ② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；
③ >0； ④ .
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .
9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____.
x
y
1
图6
0

4

提示 抛物线和直线相切.方程
有相等的两实根,.
10. 若不等式的解集是,求实数的取值范围.
解析 作函数,的图象(如图6).
由图6知,要使的解集是,应有.
11.（2005年湖北卷）已知向量a = (x2, x + 1)，b = (1 – x, t).
若函数f (x) = a·b在区间(–1, 1)上是增函数，求t的取值范围.
解：依定义f (x) = x2(1 – x) + t (x + 1) = –x3 + x2 + tx + t. = –3x2 + 2x + t.
若f (x)在(–1, 1)上是增函数，则在(–1, 1)上可设≥0.
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当= t – 1≥0，且= t – 5≥0时，
在(–1, 1)上满足＞0，即f (x)在(–1, 1)上是增函数. 故t的取值范围是t≥5.
评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.
12．已知两点P（0，1）和Q（2，3），如果二次函数f(x)=x2＋ax＋2的图象与线段PQ有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。

13．已知f（x）=2x2-2ax+3在[-1，1]上的最小值是f（a）．
（Ⅰ）求f（a）的表达式；
（Ⅱ）当a∈[-2，0]时，求函数g（a）= 的值域．

14.(05辽宁22)函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.
解：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.
（Ⅰ）解：
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，
可知的最小值为0，因此即
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的
充要条件是
另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，
的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，
该切线的方程为
于是的充要条件是
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是

令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即
综上，不等式对任意成立的
充要条件是①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

数 形 结 合（函数）
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当
x∈[0, ]时,f(x)=sinx，则f()的值为（ ）
A. - B . C. - D .
2.设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ ）
A. (－1，1) B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.( 05上海理16) 设定义域为为R的函数 ，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 ( )
A b<0且c>0； B b>0且c<0； C b<0且c=0； D b³0且c=0。
4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是_____.
二.例题解析
例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。
解：

小结：
例题2.(2003全国卷19) 已知c>0 设
P：函数y = c x在R上单调递减 ； Q：不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
解:

小结：
例题3：已知关于x的方程 x2＋(－2m)x＋m2－1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0，2]内，求m的取值范围。
解：

小结：
思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|
（1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
（2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
（3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

y
-2 0 2 4 6 x
8

6

4

2

-2

小 结
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
一．数形结合的信息转化的三个途径：

二．常用的数学模型：

课后练习
1．（05福建理5） 函数f(x)=ax-b的图象如图，其中a、b为常数，则下列
结论正确的是 ( )
A a>1，b<0； B 0<a<1，b<0
C 0<a<1，b>0； D a>1，b>0
2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数和
的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个
单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折
线（如图2所示），则函数的表达式为 （ ）
A B
C D
3．（05重庆3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A (-¥,2) B (2,+¥) C (-¥,-2)È(2,+¥) D (-2,2)
4.(05浙江理8)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 ( )
A 1 B －1 C 2k＋1 D －2k＋1
5．方程sinx =的解的个数为 （ ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若函数f(x)=ax2＋bx＋c , (a≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则以下不等式中正确的是 （ ）
A. f(1)f(2)>0   B. f(1)f(2)<0  C. f(1)f(3)<0   D. f(2)f(3)>0
7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且的
内角满足,则的取值范围是 ( )
A B C D
8.(05北京理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
① f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)； ② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；
③ >0； ④ .
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____.

10.（2005年湖北）已知向量a = (x2, x + 1)，b = (1 – x, t). 若函数f (x) = a·b在区间(–1, 1)上是增函数，求t的取值范围.

11．已知两点P（0，1）和Q（2，3），如果二次函数f(x)=x2＋ax＋2的图象与线段PQ有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。

12.(05辽宁22)函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b
为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.

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