函数的单调性与导数教学案.doc

课题
函数的单调性与导数
学习目标
知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
学习重点
探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
学习难点
探索函数的单调性与导数的关系。
教学方法
问题启发式
教学过程
合作探究
教学札记
复习 1：导数的几何意义
复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）
问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）
那么如何判断的单调性呢？
探究任务一：函数单调性与其导数的关系：
问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度h的图像.

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现这两个函数图像有什么联系吗?
问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？
探究任务二：与函数单调性的关系：
问题5：若函数的导数，那么会是一个什么函数呢？
问题6：在区间上，则函数区间必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由.
问题7：函数在区间上为增函数，则在区间上成立.你认为这句话对吗？说明理由.
问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

例1:已知某函数的导函数的下列信息:
当
当
当试画出函数图像的大致形状.
问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？
例2：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
（1）
（2）
（3）
（4）
问题10：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
课堂练习
确定下列函数的单调区间
(1)y= (2)y=3x－x3
课堂小结
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
作业设计
课本98页，A组1，2
课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐标为高度h和纵坐标为体积V的关系，那么此题结论又将如何？

引导学生图像法，定义去尝试

可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.

函数在(0,a)上是增函数，函数在(0,a)上有何特点呢？函数在(a,b)上为减函数，那么函数在(a,b)上有何特点呢？

师生共同观察并总结出曲线的切线的斜率值与导数的关系及曲线的单调性与导数的关系：
同一个函数在每一点处的切线的斜率值都大于零或都小于零。当斜率值都大于零时，其函数为单调递增；当斜率值都小于零时，其函数为单调递减。
若函数的导数值大于零，则函数为单调递增；若函数的导数值小于零，则函数为单调递减。

对以上发现结果板书：函数的单调性与导数的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
特别的，如果，那么函数在这个区间内是常值函数．）

共同探讨并举例例：如函数
，其定义域为，在其定义域上是单调递增函数，但在处其导数
通过以上思考理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的充分性与必要性。

对于（2）让学生课后合作探讨，尝试单调性的定义法和图象法

谈利用导数去研究函数的单调性看法，并总结出利用导数求单调区间的步骤。

分析：
在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

通过以上观察发现：
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．