人教版高中数学《平面向量》全部教案.doc

第五章 平面向量
第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：
A B
一、 开场白：课本P93（略）
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、 提出课题：平面向量
1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：1°数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
A(起点)
B
（终点）
a
2°从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法：
1°几何表示法：点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
A
B
北
记作（注意起讫）
2°字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）
P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3． 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的
4． 两个特殊的向量：
1°零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。
注意与0的区别
2°单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例：与是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、 向量间的关系：
1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
b
c
记作：∥∥
规定：与任一向量平行
2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：=
规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。

C O B A

= = =
例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
四、 小结：
五、 作业：P96 练习 习题5.1
第二教时
教材：向量的加法
目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
过程：
六、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：1°向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。
2°正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、 提出课题：向量是否能进行运算？
A B C
5． 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
C A B
6． 若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
A B
C
则两次的位移和：
7． 某车从A到B，再从B改变方向到C，
A B
C
则两次的位移和：
8． 船速为，水速为，
则两速度和：
提出课题：向量的加法
三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
a
a
a
C
C
C
B
B
B
A
A
A
2．三角形法则：
a+b
b

a

b
b
a+b
a+b

强调：
1°“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2°可以推广到n个向量连加
3°
4°不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
O
A
B
a
a
a
b
b
b
3．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，
作
则
4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同
从而得到：1°向量加法的平行四边形法则
2°向量加法的交换律：+=+
A
B
C
D
a
c
a+b+c
b
a+b
b+c
9． 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使, ,
则(+) +=
+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略
五、小结：1°向量加法的几何法则
2°交换律和结合律
3°注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。
六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
第三教时
教材：向量的减法
目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程：
八、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
A B
D C
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
解：
九、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
1°“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a
2°规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0
3°向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
O
a
b
B
a
b
a-b
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a, = b
则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意：1°表示a - b。强调：差向量“箭头”指向被减数
2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

O
A
B
a
B’
b
-b
b
B
a+ (-b)
a
b

a-b
A
A
B
B
B’
O
a-b
a
a
b
b
O
A
O
B
a-b
a-b
B
A
O
-b
4． a∥b∥c a - b = a + (-b) a - b

十、 例题：
例一、（P101 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d。
解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,
A
B
C
b
a
d
c
D
O
作, , 则= a-b, = c-d

A B
D C

例二、平行四边形中，，用表示向量，
解：由平行四边形法则得：
= a + b, = = a-b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
十一、 小结：向量减法的定义、作图法|
十二、 作业： P102 练习
P103 习题5.2 4—8
第四教时
教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：
十三、 复习：
1°向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2°向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
十四、 1．处理《教学与测试》P135—136 第64课 （略）
2． 处理《教学与测试》P137—138 第65课
例一、 设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”，
B

a+b b

O a A
则a + b表示向东北走km
解：= +
(km)
例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
A B
D C
O
证：由向量加法法则：
= +, = +
由已知：=, =
∴= 即AB与CD平行且相等
A B

O P C

E F
∴ABCD为平行四边形
例三、 在正六边形中，若= a, = b，试用
向量a、b将、、表示出来。
解：设正六边形中心为P
则a + b + a
a + b + a + b
由对称性：= b + b + a
3． 处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略）
十五、 有时间可处理“备用题”：
例一、化简
解：=
==== 0
A B
D C
30°
上游
下游
例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图：船航行的方向是
与河岸垂直方向成30°夹角，
即指向河的上游。

十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）

第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量 作出++和(-)+(-)+(-)
B
A
O

C

P
Q
M
N

==++=3
==(-)+(-)+(-)=-3
讨论：1°3与方向相同且|3|=3||
2°-3与方向相反且|-3|=3||
2．从而提出课题：实数与向量的积
实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
1°|λ|=|λ|||
2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ¹0，μ¹0，¹
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向
即：|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向
还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
O
A
B
B1
A1
当¹，¹且λ¹0，λ¹1时
1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，
作 λ λ
则+ λ+λ
由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ ÐAOB=Ð A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
A
O
B
B1
A1
λ(+)=λ+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
4．例一 （见P104）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1． 若有向量(¹)、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量
若与共线(¹)且||：||=μ，则当与同向时=μ
当与反向时=-μ
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ
使=λ
2．例二（P104-105 略）
三、小结：
四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2
第六教时
教材：平面向量基本定理
目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积 3．向量共线定理
二、由平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
2．对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
——提出课题：平面向量基本定理

O
N
B
MM
CM
三、新授：1．(P105-106)，是不共线向量，是平面内任一向量

= =λ1 ==+=λ1+λ2
= =λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
注意几个问题：1° 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2° 这个定理也叫共面向量定理
3°λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
2．例一( P106例三)已知向量， 求作向量-2.5+3。

O
N
A
BM
CM

作法：1° 取点O，作=-2.5 =3
2° 作 OACB，即为所求+
例二、(P106例4)如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，
用，表示，，和
D
M
A
BM
CM
a
b
解：在 ABCD中
∵=+=+
=-=-
∴=-=-(+)=--
==(-)=- ==+
=-=-=-+
例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4
A
B
C
D
O
E
证：∵E是对角线AC和BD的交点
∴==-
==-
在△OAE中 +=
同理：+= += +=
以上各式相加，得：+++=4

例四、(P107 例五)如图，，不共线，=t (tÎR)用,表示
解：∵=t
P
B
A
O
∴=+=+ t
=+ t(-)
=+ t-t
=(1-t) + t
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
二、处理《教学与测试》
1．当λÎZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0•(+)= 右边=0•+0•= 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=-n（n为正整数），有
-n(+)=n[-(+)]=n[(-)+(-)]=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立 。
2．如图，在△ABC中，=, = AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=, = 则==
D
A
BM
CM
a
b
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
∵△AEF∽△ABC
== ==
==
∴=+=+
3．在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，
O
D
A
BM
CM
解一：== ==
∴=+=-=-
=+=+=+
解二：设=，=
则+= += ∴ =(-)
-= -= =(+)
即：=(-) =(+)
4．设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值。
解：=-=(2-)-(+3)=-4
∵A, B, D共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即2+k=λ(-4) ∴ ∴k=-8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=, =，试以, 为基底表示, ,
解：== 连ND 则DC╩ND
O
D
A
MM
CM
BM
NM
∴==-=-
又：==
∴=-=-=--
=(-+)-=-
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30°, 60°角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°
P1
P
P2
30°
60°
=1 (kg) ÐP1OP=60° ÐP2OP=30°
∴=cos60°=1•=0.5 (kg)
=cos30°=1•=0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
三、作业：《教学与测试》67、68课练习

第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
O
B
C
A
x
y

目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。
过程：一、复习：1．复习向量相等的概念

自由向量 =
2．平面向量的基本定理（基底） =λ1+λ2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，
O
B
C
A
x
y

b
c
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
如：==(2, 2) =(1, 0)
==(2, -1) =(0, 1)
==(1, -5) =(0, 0)

2．注意：1°每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2°设A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2-x1, y2-y1)
3°两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略
三、平面向量的坐标运算
1．问题：1°已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标
2°已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标
2．解：+=(x1+y1)+( x2+y2)=(x1+ x2) + (y1+y2)
即：+=(x1+ x2, y1+y2)
同理：-=(x1- x2, y1-y2)
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
O
x
y
B(x2,y2)
A(x1,y1)

用减法法则：
∵=-=( x2, y2) - (x1, y1)
= (x2- x1, y2- y1)
4．实数与向量积的坐标运算：已知=(x, y) 实数λ
则λ=λ(x+y)=λx+λy
∴λ=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
四、例二（P110例二）
例三（P111例三）
例四（P145例一）已知三个力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力++=
求的坐标。
解：由题设++= 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)
即： ∴ ∴(-5,1)
例五、已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

O
x
y
B
A
C
D1
D2
D3
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例三得：D1=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，
仿例三得：D2=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，
仿上得：D3=(-6, 0)
五、小结：1．向量的坐标概念 2．向量运算
六、作业：P112 练习 1—3 习题5.4 1—6
第九教时
教材：向量平行的坐标表示
目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)
2．平面向量的坐标运算法则
练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
∴ ∴P点坐标为(-1, -)
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵=(-2, 3) =(-4, 6) ∴=2
∴∥ 且 ||¹|| ∴四边形ABCD是梯形
二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
2．推导：设=(x1, y1) =(x2, y2) 其中¹
由=λ (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ：x1y2-x2y1=0
结论：∥ (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1°消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵¹
∴x2, y2中至少有一个不为0
2°充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
3°从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ (¹)
三、应用举例
例一（P111例四） 例二（P111例五）
例三 若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2)
又：∵2×2-4-1=0 ∴∥
又：=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×6¹0 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
2．证明下列各组点共线：1° A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5)
2° P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
3．已知向量=(-1,3) =(x,-1)且∥ 求x
五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）
六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9
《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题
第十教时
教材：线段的定比分点
目的：要求学生理解点P分有向线段所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则
2．向量的坐标运算
二、提出问题：线段的定比分点
1． 线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P
P
P
使 =λ λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
2．定比分点公式的获得：
O
P1
P
P2
设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)
由向量的坐标运算
=(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1)
∵=λ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
∴ 定比分点坐标公式
3．中点公式：若P是中点时，λ=1
4．注意几个问题：1° λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ¹-1
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在
2° 中点公式是定比分点公式的特例
3° 始点终点很重要，如P分的定比λ= 则P分的定比λ=2
4° 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
三、例题：例一 (P114例一) 知三求一
例二 (P114例二) △重心公式
例三 若P分有向线段的比为，则A分所成比为（作示意图）
例四 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标
O
P1
P
P2
•
•
•
•
P’
解：当P内分时 λ=3
当P外分时λ=-3
当λ=3得P(5,0)
当λ=-3得P(8,-3)

例五 △ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ÐBAC平分线交BC边于D,
D
B
C
A
求D点坐标
解：∵AD平分角ÐBAC
|AC|=
|AB|=
∴D分向量所成比λ=
设D点坐标(x, y) 则
∴D点坐标为：(1,)
四、小结：定比分点公式，中点公式
五、作业：P115-116 练习 习题5.5
第十一教时
教材：平面向量的数量积及运算律
目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。
过程：
十七、 复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。
它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。
q
s
F
但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
十八、 导入新课：