变形监测数据预测方法比较研究.doc

本科学生毕业论文

变形监测数据预测方法比较研究

黑 龙 江 工 程 学 院
二○一二年六月

The Graduation Thesis for Bachelor's Degree

Comparisional study on data predicting methods in Deformation monitoring

Heilongjiang Institute of Technology
2012-06·Harbin
黑龙江工程学院本科生毕业论文

摘 要

以变形监测数据为基础，借助各种数理统计方法建立预测模型，是变形预测分析的重要方法，在建筑工程的安全施工以及运营有着重要意义。用切实有效的方法进行变形数据分析和预报十分重要。常用的变形分析方法有回归分析法、时间序列法、灰色理论方法。本文从理论分析的角度出发，论述了常用变形分析方法的基本理论，同时，本文结合了有代表性的具体工程实例，从实际应用的角度分别对所列举的变形分析方法进行了计算分析，得到了相应的变形分析模型并进行了变形的预测，并且对不同的变形分析方法进行了比较验证，总结出了各种模型在具体使用中的优缺点和适用范围。由于变形分析模型计算的复杂性，作者借助Matlab对所运用的变形分析方法的计算进行了程序实现。本文从实践中得到了一些有益的结论，对以后建筑工程的变形分析以及预测具有一定的实用意义。最后，对于本文中存在的不足进行了简要的论述。

关键词：变形监测变形分析模型；时间序列法；回归分析法；灰色理论方法；
预测

ABSTRACT

Based on the deformation monitoring data, With a variety of mathematical statistical methods to establish the prediction model, deformation prediction analysis is of great significance in the construction and operation of construction safety. Deformation data analysis and forecasting is very important.Deformation analysis commonly used methods regression analysis method, the method of time series, gray theory method. This article discusses the basic theory of the common methods of deformation analysis.And based on engineering examples，this article does calculations and analysis in the deformation analysis methods above from a practical application point of view,gets the relevant deformation analysis models and the forecasting value,and summarizes the relative merits and sphere of application of the models above in the concrete use.For the complexities in deformation model calculation,the author realizes the calculations of the deformation analysis methods by the programming language MATLAB．The article gets some useful conclusion from practice，which is practically significant to coming deformation analysis and prediction of building engineering．In the finally,the deficiencies in this article are briefly discussed．

Key words: Deformation Monitoring;Deformation Analysis Model; Timeseries Method;
Regressionanalysis Method; Grey Theory Method;Forecasting
II

目 录

摘要 I
ABSTRACT II
第1章 绪论 1
1.1 概述 1
1.2本论文的背景和意义 1
1.3国内外研究现状及发展趋势 1
1.4本论文的主要内容 3
1.5本论文的结构安排 3
第2章变形预测分析建模的基本理论与方法 5
2.1监测数据线性回归分析法 5
2.2 监测数据时间序列预测模型与常用方法 7
2.3 监测数据的灰度系统预测方法 8
2.4 本章小结 11
第3章 变形分析方法的应用与工程实例 13
3.1 线性回归分析法在工程中的应用 13
3.2灰度系统预测法在工程中的应用 15
3.3 时间序列分析法在工程中的应用 18
3.3.1 随机序列的预处理 20
3.3.2 ARMA模型的自相关函数与偏相关函数 20
3.3.3 模型参数的估计 21
3.3.4 模型的判别与检验 22
3.3.5 ARMA模型的预测 22
3.3.6 ARMA模型算例 24
3.4 本章小结 27
第4章MATLAB软件在变形监测预测中的使用 29
4.1用matlab完成回归模型的计算下面是代码 29
4.2用matlab完成时间预测模型的计算下面是代码 32
4.3用matlab完成灰度系统模型的计算下面是代码 33
结论 35
参考文献 36
致谢 38

黑龙江工程学院本科生毕业论文

第1章 绪 论

1.1 概述
随着现代科学技术的发展和计算机应用水平的提高，各种理论和方法为变形分析和预测提供了广泛的研究途径。由于变形体变形机理的复杂性和多样性，对变形分析与建模理论和方法需要结合实际情况，采用数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规律和动态特征，为工程设计和灾害防治提供科学依据。
1.2本论文的背景和意义
人类开发自然资源的活动(如抽取地下水、采油、采矿等)会破坏地壳上部的平衡，造成地表的变形。例如，对于建立在江河下游冲积层上的城市，由于工业用水以及居民生活用水需要大量开采地下水，而影响地下土层的结构，从而造成地表下陷；对于地下采矿地区，由于大量采掘容易引起矿体上方岩层的移动，从而引起地表沉陷。近年来，由于城市的发展以及城市地下空间的开发建设，影响了局部区域土层的稳定，从而造成地面沉降。随着社会的进步和国民经济的发展．工程建设的进程加快，因而对现代工程建筑物的造型、规模、难度提出了更高的要求。工程建筑物在施工和运营期间，由于受到上述多种因素以及基础设计不合理、地基处理不科学、自然灾害等的影响，极易产生变形。变形如果超出了规定的限度，就会影响到建筑物的正常使用，甚至会危及建筑物的安全，从而给社会和人们生活带来严重影响。因此, 在工程建设中的稳定性和可靠性已成为人们关注的焦点, 变形预测是工程建设中防灾减灾的重要内容之一。通过定期对施工地点和重要建筑进行观测, 掌握其变形规律, 并合理预测变形大小, 以便及时采取适当的预防或善后措施, 确保建筑物和施工地点的安全使用。而在变型预测中模型的建立显得尤为重要，建立的模型能否真实的反应变形体真实的变形状况是我门要研究的主要问题，通过对几种预测模型研究，来了解在实际应用中应该如何选择使模型解决问题
1.3国内外研究现状及发展趋势
变形的分析、建模以及科学的预测是变形监测的重要内容。变形监测的首要目的是要掌握变形体的实际性状，为判断其安全提供必要的信息。变形监测涉及到测量、工程地质、水文、结构力学、地球物理、计算机科学等诸多学科的知识，因此变形监测是一项跨学科的研究，并正向边缘学科的方向发展，也已成为测量工作者与其它学科专家合作研究的领域。监测信息分析和预测的方法很多，但主要可分为经验统计分析预测和力学模型分析预测两大类[3]。前者是以现场监测数据为基础，借助各种数理统计方法建立预测模型，以现实对反馈信息进行分析和今后变化趋势进行预测的一类方法，该方法地传统常用的方法，在现行的监测信息分析和预测中，相当一部分属于这类方法;后者是将变形体的变形、破坏的发展过程视为某种力学模型的变化，从而建立变形体的预测模型，并以此来预测监测对象变化趋势的一类方法[19]。对于力学模型来分析实测数据和预测变形体在今后的发展变化来说，最大问题是具体的力学模型和力学参数是否符合实际，要选择比较符合实际情况的力学模型和相应参数是非常困难的，在这种情况下，反演方法将起重要作用。
因为监测信息分析和据此进行预测十分重要，所以国内外研究成果很多，而且新的方法还在不断被提出，本文将通过回归分析、灰度系统和时间序列分析等监测信息的预测常用方法，来比较在在不同情况下各种方法的优缺点适用性[17]。
回归分析方法作为一种传统的变形分析方法，一直是人们建立变形体变形量与相关因素之间数学关系的常用方法。在工程建筑物的变形分析中可用于建立位移量与某些相关因素问的数学相关关系，建立回归方程。它是一种静态的变形分析方法，它所应用的变形观测数据处理是一种静态的数据处理方法，所建立的模型是一种静态模型。回归分析有利于建立变形量与各个不同影响因子之间的关系，所建立的荷载变形之间关系的数学模型能直接的反映出变形体的变形量与影响因素之间的相关关系，是目前比较广泛的变形成因分析方法[20]。
自20世纪70年代末至90年代初，对几何变形分析取得的较为完善的是用常规地面测量技术进行周期性监测的静态模型，但是它考虑的仅仅是变形体在不同时刻的空间状态，并没有很好的建立各个状态之间的联系。事实上，变形体在不同状态之间是具有时间关联性的。为此，许多学者转向了对时间序列观测数据的动态模型研究，建立了时间序列的变形分析模型[1]。时间序列分析是20世纪20年代后期开始出现的多种现代数据处理方法，是系统辨识与系统分析的重要方法之一，是一种动态的数据处理方法。时序分析法作为一种动态分析方法，顾及了变形在时间上的相互依赖性以及变形的继续性，建立的数学模型能客观的反映变形体的变形特征，也有利于作出变形的物理解释。
灰色系统理论是由我国的邓聚龙教授在20世纪80年代提出来的，它是用来解决信息不完备系统的数学方法灰色系统理论是用来解决信息不完备系统的数学方法。灰色系统理论是一种非线性时间序列预测方法，它研究的是贫信息建模，提供了贫信息情况下解决系统问题的新途径。它把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程，用数据生成的方法，将杂乱无章的数据整理成规律性较强的数据后再作研究[2]。变形体的变形受多种因素的影响，其发展变化具有模糊性和不确定性，利用灰色系统理论有利于在观测数据样本不大的情况下，通过对数据进行规律生成，建立变形量之问以及变形量与影响因素之间的变形模型，从而反映出变形体的变形规律[5]。
1.4本论文的主要内容
通过系统的学习研究变形的理论和方法：多元回归分析方法、时间序列法、灰色系统理论、，以及这些理论之间的区别和联系，对具体工程实例的变形情况进行分析研究，建立考虑多种影响因素的合理、科学的变形模型以及其预测。
本课题的主要研究内容是多种变形分析方法在具体变形监测工程中的科学合理运用，其中对于运用回归方法、时问序列法、灰色系统理论进行变形分析和建模时，考虑各种因素的影响使用合理的参数，然后对这些不同方法进行分析、比较，从而得出各种变形模型适用情况，最后利用模型进行变形预测。简单的展开如下：
1、运用回归分析方法，对所参与的变形监测项目中的观测数据资料进行分析，找出变量之间的内部规律，从而对建筑物的未来变形趋势进行预测。
2、对于所参与的变形监测项目中的各期观测数据进行分析，对于不符合平稳条件的时序系列利用差分等方法进行平稳化处理，建立以变形观测数据为基础的时间序列分析模型。时间序列分析是讨论自回归模型所描述的因变量自身变化的统计规律，并不涉及与其他变量之间的关系，用这种模型进行预测仅仅是利用因变量自身的历史资料来挖掘信息[7]。
3、灰色系统是指部分信息未知，部分信息已知的系统。灰色系统理论所要考察的是信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的，研究的足信息不完全的对象、内涵不确定的概念及关系不明确的机制。灰色预测模型中的GM(1，1)模型计算简单，精度较高。因此我们在变形预测过程中可采用此模型。GM(1，1)主要用于对数列进行等时距预测，而观测所得到的原始数据往往是非等间隔序列，我们可以通过线性插值的方法将非等间隔数据序列变换为等间隔数据系列，然后再使用GM（l，1)模型预测[11]。
1.5本论文的结构安排
本文首先对回归分析法、时间分析法、灰度系统预测方法的理论知识进行介绍，然后根据一些工程实例了解各种方法的使用，最后列举一个工程分别用三种方法预测，运用前15组数据进行模型的建立和预测然后用后5组数据对结果进行检验并总结出各种方法优缺点。

第2章变形预测分析建模的基本理论与方法

用数学模型来逼近、模拟和揭示工程建筑物的变形和动态特性是对建筑物变形分析的主要手段。变形分析与预测模型就是通过大量的重复观测结果, 利用统计方法, 通过变形与变形原因之间的相关性, 建立荷载或环境量与变形之间的数学模型, 并依此进行变形预测, 或者依据变形自身随时间空间变化特征及变化建立统计模型。
2.1监测数据线性回归分析法
用数学模型来逼近、模拟和揭示工程建筑物的变形和动态特性是对建筑物变形分析的主要手段。变形分析与预测模型就是通过大量的重复观测结果, 利用统计方法, 通过变形与变形原因之间的相关性, 建立荷载或环境量与变形之间的数学模型, 并依此进行变形预测, 或者依据变形自身随时间空间变化特征及变化建立统计模型。
回归分析法是用数理统计的方法，找出变量与因变量之间的相关关系的数学表达式，利用这些数学表达式以及对这些表达式的精度估计，可以对未知变量作出预测或检测其变化，或采取适当的对策。它不仅可以用在静态数据处理，也可以用在动态数据处理之中，是一种比较实用的数据处理方法[10]。
一元线性回归分析模型是研究一个变量与一个主要因子间的非确定关系的最基本方法。该法通过分析变形量与原因之间的相关性，来建立原因与变形之间关系的数学模型。
数学模型为： （2.1）
这里：X为设计矩阵，β为回归系数向量，e为观测误差向量，
以下设:
由最小二乘方法得:
（2.2）
解得:
（2.3）
从而得:
（2.4）
其中可以有不同的估计得到。
在采用一元回归模型（2.1）时，假设变量 y与自变量x呈线性关系。这种假设是否恰当，需要通过统计检验来确定，方法如下多元线性回归显著性检验相似。
多元线性回归是研究一个变量和多个因子间的非确定关系的基本方法。该方法通过分析变形量与原因之间的相关性，来建立原因与变形之间的数学模型。其数学模型为：
（2.5）

其中下标表示观测值变量，共有组观测数据;表示因子个数。
设： =
得: （2.6）
由最小二乘原理可得估计值
（2.7）
上式（2.7）只是一种初步假设，在求得多元线性回归方程后，还需对其进行回归方程显著性和回归系数显著性的统计检验。
由于我们事先并不能断定因变量与自变量之间是否有线性关系，在求得回归方程后首先还要对回归方程进行统计检验，以确定因变量与自变量之间的线性关系。如果他们之间不存在线性关系则系数矩阵为零矩阵即原假设：
将此假设作为模型（2.5）式的约束条件，求得统计量
（2.8）
称回归平方和；称剩余平方和；
在原假设成立时应服从，在选择显著水平后，可用
（2.9）
对回归方程进行显著性检验。若成立则认为在显著性水平下，因变量与自变量之间有显著的线性关系。该方程是显著的。其次每一个自变量对因变量的影响的显著性不同，可以通过对回归系数进行统计检验来剔除影响弱的自变量。
设原假设为:有式（2.4）可得:
为矩阵中主对角线上的第个元素。原假设的统计量为：
（2.10）
选择相应的显著水平，若统计量，则认为回归系数在的置信度下显著，否者不显著。
在进行回归因子显著性检验时，由于各因子之间的相关性，当从原回归方程中剔除一个变量时，其他变量的回归系数将会发生变化，有时甚至会引起符号的变化，因此，对回归系数进行依次检验后，只能剔除其中的一个因子，然后重新建立新的回归方程，再对新的回归系数逐个进行检验，重复以上过程，知道余下的回归系数都显著为止。
2.2 监测数据时间序列预测模型与常用方法
时间序列分析是本世纪20年代后期开始出现的一种现代数据处理方法，是系统辨识与系统分析的重要方法之一，是一种动态的数据处理方法。对变形监测点进行观测，在一系列时刻得到离散的有序数组集合，该集合就称离散数字时间序列即时间序列。时间序列一般具有两个特点：一是数据是按时间有序的排列，二是前后时刻的数据一般具有某种程度的相关性。时间序列分析的思想是：对于平稳、正态、零均值的时间序列{}，若 的取值不仅与其前n步的各个取值，，，有关，而且还与前m步的各个干扰项，，，有关[8]。则按多元线性回归的思想可得一般的数学模型：
（2.11）
其中,(i=1,2,…，n)称为自回归参数， (j=1,2,…，m)为滑动平均参数，为白噪声序列[12]
特殊地，当
（2.12）
为阶自回归模型AR()
当
（2.13）
为阶滑动平均模型MA(）
对一般ARMA模型引入线性后移算子B,,
（2.14）
（2.15）
则有
（2.16）
其中
显然，若视是输入，是输出，那么式（2.16）的ARMA模型描述了一个传递函数为的系统，在输出等价原则下，此系统是产生{}的实际系统的一个等价系统。因此ARMA模型是建立在输出等价原则上的等价系统的数学模型，因此它的适用范围要广泛得多[14]。
2.3 监测数据的灰度系统预测方法
灰色系统理论研究的是贫信息建模，在贫信息情况下,它把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程,对灰色量不是寻找统计规律的角度,通过大样本进行研究,而是用数据生成的方法,将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数列后再做研究.
在灰色系统理论中，模型描述的系统状态方程，提供了系统主行为与其他行为因子之间的不确定性关联的描述方法，它根据系统因子之间发展态势的相似形，来进行系统主行为与其他行为因子的动态关联分析。
是一阶的，N个变量的微分方程型模型，令（i=2，3，…，N）为行为因子

式中，n是数据序列的长度，记是（i=2，3，…，N）的一阶累加生成序列。则白化形成的微分方程为：

（2.17）
将上式离散化，且取的背景值后，便可构成下面的距阵形式：

（2.18）

其中。令

则式（2.18）可写成下面的形式：
（2.19）
由最小二乘法，可求得参数的计算式为：
（2.20）
将求得的参数值代入（2.17）式，解此微分方程，可求得响应函数为：
（2.21）
由（2.21）式，我们便可以根据k时刻的已知值来预报同一时刻的，并求其还原值：
（2.22）
模型建立的系统状态模型,可用于系统各因子之间的动态关联分析,也可以对系统主行为因子作同步预测,但它不适合于系统未来发展态势的预测,适合预测的是模型的特例模型。基于灰色系统理论的模型的预测，即为灰色预测[11]。
模型：
设非负离散数列为,n为序列长度。对进行一次累加生成，即可得到一个生成序列，对此生成序列建立一阶微分方程
（2.23）
记为。式中和是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能值）为。用最小二乘法求解，得：
（2.24）

式中

求出后代入（2.23）式，解出微分方程得
（2.25）
对作累减生成（IAGO），可得还原方程

或
（2.26）
（2.25）（2.26）两式即为灰色预测的两个基本模型。当k<n时，称为模型模拟值，当时，称为模型滤波值；当k >n时，称为模型预测值。
建模的主要目的是预测。为了提高预测精度和效果，首先要保证有充分高的滤波精度。因此，建模数据一般应取包括在内的等时距序列。
灰色模型是贫信息系统建模的有效途径，但有一定的适用场合，它适用于确定性趋势序列的预测，但不适用于随机性序列的预测。模型的短期预测效果良好，但随着预测时间的延长，预测结果不可靠

2.4 本章小结
本章描述了几种应用于变形监测的数据处理与预报的方法，及其数学模型，各种方法，由于它们研究的角度、模型建立的出发点、采用的数据形式、子样大小以及适用条件不同。如回归分析法是目前研究最多，发展比较成熟的静态数据处理方法，能较好的描述因变量与自变量之间的相关关系。所以在变形数据分析与预测中使用较广。但是随着科学技术的进步，我们对变形体进行实时监测所获取的动态观测数据，回归分析法就显示了他的不足。而时间序列分析法在动态数据处理方面显示了他们的优越性和实用性，但也存在的一定的适用性范围。如时间序列分析法是一种等价系统数学模型不需利用系统输入信号，但他要求对平稳、正态、零均值得时间序列建立模型。灰度系统理论对变形监测的短数序列建模，显示了一定的优越性，它提供了贫信息情况下解决解决变形系统问题的新途径。因此，要根据实际情况选用单一方法或者综合运用，只要能够更好的服务于变形监测分析与预报这一目的。

第3章 变形分析方法的应用与工程实例

3.1 线性回归分析法在工程中的应用
算例分析:某变形监测点,共进行20期等时间间隔观测;现用前15 期观测数据进行一元线性回归建模,后5 期数据来验证模型预测的可靠性。其观测数据如表3.1所示:
表3.1 前15期观测数据

期数
观测值(cm)
期数
观测值(cm)
期数
观测值(cm)
1
1.9160
6
2.6306
11
4.4100
2
2.2970
7
3.2558
12
5.2120
3
2.3078
8
3.3680
13
4.4416
4
3.0761
9
3.7033
14
6.2125
5
3.6041
10
4.0093
15
5.1244

根据式（2.1）至（2.4）可以结算得一元线性回归分析模型：
（3.1）
其中： ，；
显著性F统计检验：
（3.2）
取，查F分布表，得，因为，故拒绝，认为回归效果显著。

图3.1 一元线性回归模型图

如下表格所示：

表3.2 回归预测表

观测值(cm)
回归预测值(cm)
残差(cm)
观测值(cm)
回归预测值(cm)
残差(cm)
1.916
1．9349
-0.0189
4.41
4.4629
-0.0529
2.297
2.1877
0.1093
5.212
4.7157
0.4963
2.3078
2.4405
-0.1327
4.4416
4.9685
-0.5269
3.0761
2.6933
0.3828
6.2125
5.2213
0.9912
3.6041
2.9461
0.658
5.1244
5.4741
-0.3497
2.6306
3.1989
-0.5683
6.0552
5.7269
0.3283
3.2558
3.4517
-0.1959
6.5168
5.9797
0.5371
3.368
3.7045
-0.3365
5.5802
6.2325
-0.6523
3.7033
4.2101
-0.2008
5.377
6.4853
-1.1083
4.0093
4.4629
-0.0529
5.2503
6.7381
-1.4878
残差平方和

7.0840
平均绝对误差

0.3542
标准差

0.4658
“注：表3.2 回归预测表中,粗体部分为16到20期数据并用来预测”

其残差曲线图如下：
图3.2 残差曲线图

因此一元线性模型预测值如下图所示：

图3.3 一元线性模型预测值图
3.2灰度系统预测法在工程中的应用
GM(1,1)模型具体建模过程本文已简述，建模的主要的目的是预测，为了提高预测精度和效果，首先要保证有充分高的滤波精度。因此，建模数据一般应取包括在内的等时距序列。
设原始数据列为，有拓补空间（，J），J为上的拓补。令为现实数据，构造成实数据的领域族为：

由建立的模型集合称为的GM（1，1）模型群。
对模型精度即模型拟合程度评定的方法有三种，即残差大小检验、关联度检验和后验差检验。残差大小检验是对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验是考察模型值与建模序列曲线的相似程度；后验差检验是对残差分布的统计特性进行检验，它由后验差比值C和小误差概率P共同描述。灰色模型的精度通常用后验差方法检验。
设由GM(1,1)模型得到：

计算残差
k=1,2,……,n （3.3）
记原始数列及残差数列的方差分别为、，则
（3.4）
（3.5）
其中
（3.6）
（3.7）
然后，计算后验差比值
（3.8）
和小误差概率
（3.9）
下表列出了根据C、P取值的模型精度等级。模型精度等级判式为：
模型精度等级=Max{P所在的级别，C所在的级别}[16]。

表3.3 模型精度等级

模型精度等级
P
C
一级（好）
0．95P
C0.35
二级（合格）
0．8P<0.95
0.35<C0.5
三级（勉强）
0．7P<0.80
0.5<C0.65
四级（不合格）
P<0.7
0.65<C

现在以上例子做GM（1，1）模型并进行预测其过程为：

1、构造GM（1，1）模型群并评定模型精度
对原始序列，以第15期原始值为现实数据，构造的领域族：
15维
14维
……
4维
模型精度评定结果列于下表3.4。

表3.4 模型精度评定结果

维数
a
u
后验差C
小误差概率P
模型精度等级
15
-0.0665
2.1941
0.365
0.93
2
14
-0.0661
2.3331
0.392
0.93
2
13
-0.063
2.5849
0.426
0.92
2
12
-0.0659
2.6409
0.467
0.92
2
11
-0.0745
2.5897
0.491
0.73
2
10
-0.0693
3.0009
0.433
1
1
9
-0.0684
3.2041
0.486
0.89
2
8
-0.0638
3.5377
0.546
0.88
2
7
-0.0578
3.8874
0.632
0.71
3
6
-0.0466
4.3239
0.742
0.67
4
5
-0.0284
4.8303
0.878
0.4
4
4
-0.0594
4.495
1.003
0
4

由上表可知道，维数为4到6的模型精度等级不合格，除维数7为勉强合格外其余维数都是合格以上。

2、GM（1，1）模型预测
按照GM（1，1）模型预测预测原理，给出各维模型预测结果及灰区间。从表3.5可见，GM（1，1）模型短期预测效果好，但随着预测时间的延长，数据结果差距较大，预测结果不可靠。

表3.5 各维模型预测结果

预测期数
观测值
15维
14维
13维
12维
11维
10维
9维
8维
7维
16
6.0552
6.0900
6.0665
6.0019
6.0685
6.2506
6.1500
6.1302
6.0564
5.9726
17
6.5168
6.5088
6.4810
6.3922
6.4819
6.7340
6.5912
6.5641
6.4554
6.3280
18
5.5802
6.9563
6.9239
6.8078
6.9234
7.2549
7.0642
7.0288
6.8806
6.7045
19
5.377
7.4347
7.3970
7.2505
7.3950
7.8160
7.5711
7.5264
7.3339
7.1034
20
5.2503
7.9459
7.9025
7.7220
7.8988
8.4206
8.1144
8.0593
7.8171
7.5261

3.3 时间序列分析法在工程中的应用
ARMA模型是将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，即除去个别的偶然原因引起的观测值外，时间序列是一组依赖于时间的随机变量，这组随机变量所具有的依存关系或自相关性表征了预测对象发展的延续性。可以从现在值预测未来的值。
如果作为预测对象的时间序列的变化受到自身变化的影响，那么我们可以用回归方程表达时间序列的这种不同时期的依存关系或自相关性即自回归模型（AR过程）：
（3.10）
在回归分析中我们假设误差不同时期的取值是相互独立的，但当这种独立性不成立时我们就要考虑到模型中去，我们令：
（3.11）
即滑动平均模型（MA过程）
结合（3.10）式和（3.11）是我们可得：
（3.12）
其中假设的不同期取值相互独立。这既是我们所要建立的ARMA模型。
用延迟算子、表示，式（3.12）可表示为：
（3.13）
但它必须符合是平稳时间序列，是白噪音序列并且当时的根全在单位圆外，时的根全在单位圆外。
我们还可以对模型进行进一步变换，将表示成以往的白噪音的加权求和形式，称之为模型的传递形式，设为：
（3.14）
其中，。
将（3.14）式两边同乘以得：
（3.15）
结合（3.13）式得：
（3.16）
其一般的解题步骤为：
1、分析时间序列的统计规律性，推断产生时间序列的物理系统的性质，找出它的物理规律。
2、根据对时间序列统计规律性的分析，构造拟合它的最佳数学模型，浓缩时间序列的信息。
3、利用拟合的数学模型预报时间序列未来值，给出预报结果的精度分析。
4、根据拟合的数学模型拟出时间序列，用于分析和优化处理。
由于ARMA 模型的建模过程比较复杂,在实际应用中一般都采用AR 模型建立预测模型. 事实上,从实际应用的角度出发,ARMA 模型都是可逆的,设存在 ,则（3.13） 式可变为:
（3.17）
式中,即ARMA 模型这时可以转化为AR 模型。理论上,由（3.10） 式所描述的AR 模型应具有两个显著的特征,即时间序列 的偏自相关函数具有截尾性,若模型是稳定的,其自相关函数将呈现几何衰减形式,据此可以识别和判断模型的结构和阶次,而模型参数 则可根据Yule-Walker 方程按矩估计求得.但在实际应用中,参与建模的时间序列样本数总是有限的,其随机性使得样本的偏自相关函数的截尾性并不明显,其自相关函数的衰减速度也十分缓慢,用上述方法很难对模型的结构和阶次进行识别和判断,而且由Yule-Walker 方程求得的模型参数有可能存在较大的误差[13]。
3.3.1 随机序列的预处理
我们知道ARMA模型的前提是预测对象的时间序列是以零均值的平稳随机序列，但是一般我们观测得到的数据并非完全表现为平稳性所以要对序列进行零均值化和平稳化处理。零均值化采用用序列中的每一项数值减去该序列的平均值，构成一个均值为零的新数列：
（3.18）
平稳化就是对均值为零的非平稳序列进行差分，使之成为平稳序列，即：
（3.19）
我们还可以对其进行多阶差分，这里不具体阐述。经过处理后的时间序列比原时间序列更适合建立ARMA模型。
3.3.2 ARMA模型的自相关函数与偏相关函数
对于时间序列，是其滞后期数据形成的序列。他们之间的相关程度可用自相关系数表示：
（3.20）