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《二次函数的性质和图像》教学设计
三岔河九年制学校 李生福
内容分析：本节课约需1课时。通过本节学习，学生更进一步的掌握二次函数性质及其图象特征。
重点难点：研究二次函数图象和性质的重要方法——配方法。
对于任何一个二次函数，只要通过配方变形为： (x-h)2 + k的形式，就可以知道函数的图象特征和有关性质。通过本节课的学习，学生从理论上加深了对函数的理解，也可利用所学知识解决日常生活中常见的实际问题，提高自身分析问题，联系实际的能力，从而达到学习目的。
学情分析：学生在初中学习中，已有二次函数的基础，了解二次函数图象及其相关性质，接受起来较快。基于此，教师应在学生原有基础上拓宽知识面，引入新概念，帮助学生加深并提高对二次函数的认识。
设计理念：本节课遵循“探索—研究——运用“亦即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究二次函数图象及其性质。学生动脑思和究，动手探。教师的“诱”要在点上，在精不用多。
学习目标：
1、知识目标：
（1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法。
（2）进一步掌握二次函数y=ax2+bx+c (a )的图象的顶点坐标，对称轴方程，单调区间和最值的求法。
2．能力目标：
（1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题。
（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。
3．情感目标：
（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲。
（2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。
媒体设计：课件用Powerpoint软件和几何画板软件做成，利用实物投影仪当堂显示学生的练习。
教学流程：
一． 复 习
1．二次函数定义、表达式。
2．求二次函数y= a (x-h)2+ k (a0) 的对称轴和顶点坐标。
（教师通过多媒体展示问题，通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫， 学生思考后回答）
二．导入新课
1． 教师展示问题，要求在同一坐标系中做出下列函数图象：y=-3x2 ,y=-2x2 ,y= -x2 , y=3x2 ,y=2x2 ,y= x2 .
回答下列问题：
问题一 ：函数y= ax2 的单调性、奇偶性、最值与图象开口方向、对称性、顶点？
问题二：函数图象随a 值变化，如何变化？
问题三：y= ax2 与 y= -ax2 图象有何关系？
（教师借助多媒体手段，放映问题答案，展示函数图象随a 值变化的过程，即函数y= ax2 (a )的图象和性质。）
函数y= ax2 (a )的图象和性质：
1．函数是偶函数，图象关于y轴对称.
2．顶点坐标（0，0）
3．当a >0 时，开口向上，在上是减函数，在上是增函数，当时，有最小值0 。
4．当a <0 时，开口向下，在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值0 。
5．当a >0 时，抛物线在x轴上方，开口随 a增大逐渐减小；当a<0 时，抛物线在x轴下方，开口随 a增大逐渐减大。
2 、教师提问：若将函数的图象进行平移，则函数的哪些性质将不发生变化？哪些将发生变化？
（学生讨论回答）
研究一般的二次函数的性质和图象：
1、研讨二次函数的性质和图象。
2、研讨二次函数的性质和图象。
教师设计问题，学生探究：
问题一：指出两个函数的开口方向，并说明哪个函数图象的开口较大？
问题二：分别将二次函数与配方，然后分别求出两个函数的最值以及与x轴交点。
问题三：列表画图，分别在直角坐标系中作出两个函数的图象：
1、推测两个函数图象的对称轴，并给出证明。
2、y= a (x-h)2+ k (a )的顶点坐标是________，对称轴是________。
3、分别指出两个函数的单调区间。
问题四：将二次函数y=ax2+bx+c (a )配方，并回答下列问题：
1、函数图象的顶点坐标和对称轴分别是_______、_______。
2、对于a>0和a<0分别指出函数图象的开口方向，单调区间和最值。
（学生完成以上问题的过程中教师要适时启发，并在最后加以总结。）
二次函数性质如下：
1． 图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线
2． 当a >0 时，抛物线开口向上，函数在处取最小值；在区间上是减函数，在区间上是增函数;
3． 当a <0 时，抛物线开口向下，函数在处取最大值；在区间上是增函数，在区间上是减函数;
概念深化：
（教师指出配方法是研究二次函数性质的通法，对于二次函数性质的有关结论不必死记硬背，关键在于如何运用配方法来研究二次函数性质，组织学生分组讨论。）
“配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练的掌握配方法是掌握二次函数的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个函数的主要性质。
应用举例：
例：求函数的最小值和它的图像的对称轴，在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？
（例题由学生版演，教师给予纠正。让学生充分体验研究二次函数的方法——配方法。通过学生版演，可以发现解题过程中出现的问题，及时给予纠正）
函数图象的对称轴是直线，它在区间上是减函数，在区间上是增函数。
练习：1、用配方法，求下列函数的最大值或最小值：
（1） （2）
（3） （4）
2、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标，并做出图象：
（1） （2）
（学生做完练习后，投影学生的解答，教师进行及时评价）
归纳小结：方法：研究二次函数的主要方法——配方法。
知识：二次函数的图象与性质的有关结论。