实际问题与一元二次方程(经济利润).doc

教学设计
年级 九年级 科目 数学 课时 1 备课人 邓延革
课 题
实际问题与一元二次方程
第 3 课时
教材学情 分析
学生已经学习了一元二次方程的三种解法,配方法，公式法，因式分解法，并且已经具备一元一次方程和分式方程解决实际问题的能力，学生已经具备用方程解决实际问题的能力，本节课学生从经济利润入手，解决经济利润问题。通过学生自主探究感觉用一元二次方程解决实际问题的过程。在阅读过程中，掌握经济利润问题的类型
教 学
目 标
1、继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程
2、通过自主探究掌握经济利润问题
3、掌握“每……就……”问题的解题方法
4、掌握建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
教学重、难点
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
3. 如何将题目中的“每……就……”的语句转化为方程中的数量关系。
教 学准 备
多媒体
集体备课
个性化设计
教学过程：
出示教学目标：
1、继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程
2、通过自主探究掌握经济利润问题
3、掌握“每……就……”问题的解题方法
4、掌握建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．同学们，今天我们继续学习用一元二次方程解决实际问题
一、复习创境
同学们回忆列一元二次方程解决实际问题的基本步骤是：
1、 2、 3、 4、 5、 6、
二、自主探究
同学们我们在生活中经常遇到，每 。。。就。。。的问题，这类题目有什么样的共性呢，今天我们来学习这类问题？

问题一：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）由题意列方程得
-10x2+1400x-40000=80000
整理得 x2+140x-4800=0
解得 x1=60 x2=80
分析：当x=60时 销售量[500-10（x-50）]=400
400×25>10000 （不合题意，舍去。）
当x=80时 销售量[500-10（x-50）]=200
200×25<10000
因此 使得月销售利润达到8000元，销售单价应为每千克80元。

这类问题的规律：
①找出涨价（降价）后的每件的利润
②找出涨价（降价）后的销售数量
涨件的结果是单件利润多了销售数量少了
降件的结果是单件利润少了销售数量多了 ③④

三、合作交流 请同学们完成下面的题目．
问题二：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡降价x元商场要想平均每天盈利120元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1 x=-0.3（不符题意，应舍去）
答：每张贺年卡应降价0.1元．
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．
问题三、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75-y）（200+×40）=120
即（-y）（200+160y）=120
整理：得16y2+8y-3=0
y=
∴y=-0.75（不符题意，应舍去）
Y=0.25元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
四、展示归纳
通过本节课的学习你有什么收获?
1．解题的过程大致包含哪几个步骤？
2．实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换
3. 用一元二次方程解决有关利润问题，均可利用等量关系加以分析，搞清已知量和未知量之间的关系
4.用一元二次方程解决有关利润问题，常用到
总利润＝每件商品的利润销售总量，以便找到列方程所需要的相等关系。
5.要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。
6.将题目中的“每……就……”的语句转化为方程中的数量关系
每增加（减少）a元销售量就减少增加bkg
可以用公式减少增加量*b来计算
7.建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
8.在学习本节课时，你遇到了那些问题，你是如何解决的
9．你还有哪些问题？
五、拓展提升
某商场将每件进价 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件．
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
(2)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？
解：(1)100×(100－80)＝2000(元)．
答：原来一天可获利润 2000 元．
(2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得
(100－80－x)(100＋10x)＝2160，
即 x2－10x＋16＝0.
解得 x1＝2，x2＝8.
答：商店经营商品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2元或 8 元
【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的经济利润问题．
六、布置作业
练习册38页 复习巩固2 综合运用7
（一生读题目）
教师展示问题:①本题求什么？
②那么已知量是什么？ 未知量是什么？
师生活动　教师提问，学生思考、回答．根据学生的回答情况，教师可通过追问：“ 要求几个未知数？哪几个，为什么？
③如何理解： 销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg？
即销售单价每涨x元，月销售量就减少10xkg
【设计意图】培养学生读题、审题能力．
④追问：销售单价每涨x元，是相对那个量来说的
月销售量就减少10xkg是相对那个量来说的
当销售单价定为每千克55元时，单价上涨了 元，销售量减少 kg ，因此销量为 kg，
【设计意图】使学生明确“ ”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系．
④本题利用哪些等量关系求月销售利润？
单品利润=销售价格-销售成本
总利润＝单品利润销售量
(学生分组讨论，如何利用方程模型解决问题．教师帮助)
本问题中的变量是什么？(销售数量随着价格的变化而变化)；学生解决问题．)
⑤当销售单价由已知量变为未知量x时，又如何思考？先设未知数x
⑥设销售单价为每千克x元，销售量[500-10（x-50）]，销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）
师生活动　学生思考并回答问题．这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系．这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：
⑦可以列出什么样的样的方程？
怎么解决“ ”？
师生活动　教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论．
【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想
下面请同学们自己在学案上写出完整的解答过程；
【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式．
请你解答，并与同学交流一下你的解法．
师生活动　学生独立思考、解题，并与同学交流．教师请同学展示解法并进行点评．
⑧这两个值都是实际问题的解吗？
师生活动　教师提出问题，学生通过计算得出结论．
【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解．
值得注意的是有部分学生直接设定价为x，也是可以的(通过各种方法的介绍引导学生发现：当所设的变量不同，所得的解析式不同，并且自变量的取值范围也有所不同．)

三、合作交流
你能用前面的知识解决这个问题吗
1、请同学们阅读完成下面的题目
如何理解：
哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

2、求什么？如何表示？(请一名同学填空。)
3、一生板书教师引导！

4．回顾反思
问题7　通过这节课，你对“经济利润问题”有什么新的认识，有何收获和体会？
师生活动　请学生回顾“经济利润问题”的探究过程，回答以下问题：
（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（2）在 “经济利润问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？
【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法．
在活动中，教师应重点关注：
(1)学生在利用方程模型时是否注意分类了；
(2)在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了；
(3)对问题的讨论是否完整．
小结
学生谈体会．
教师进行补充、总结．
教师关注：
(1) 学生对商品利润问题的理解；
每件商品利润＝销售单价－销售成本
总利润＝（销售单价－销售成本）×销售总量
总利润＝每件商品的利润销售总量
(2)学生对两个变量的理解．
师生共同分析：(1)销售额为多少？(2)进货额为多少？
(3)销售数量与每件涨价x元的函数关系式是什么？
(4)变量x的范围如何确定？
(5)如何求解？
解决关于方程解决实际问题的一般步骤
1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出等量关系.
（2）研究自变量的取值范围.
（3）研究所得的
（4）检验 x的取值是否是实际问题的解.
（5）解决提出的实际问题.
教师关注：
(1)学生能否用方程的观点来认识问题；
(2)学生能否建立方程模型；
(3)学生能否找到两个变量之间的关系；
(4)学生能否从利润问题中体会到方程模型对解决实际问题的价值．
板 书
设 计
实际问题与一元二次方程
例 1 练习1

课 后
反 思