MATLAB-黑体辐射规律的研究.doc

黑体辐射规律的研究

湖南大学 XX院系 XX 专业 XX年级

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[问题] 黑体辐射的规律
在任何温度下对任意波长的电磁波只吸收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。根据实验得出两个实验规律。黑体的总辐射本领(能力)为
E(T) = σT4，
这就是斯特潘-玻尔兹曼定律，其中，σ = 5.67×10-8W/(m2·K4)，σ称为斯特潘常数。黑体的单色辐射本领(能力)的峰值波长与温度的关系为
Tλm = b，
这就是维恩位移定律，其中，b = 2.897×10-3m·K，b称为维恩常数。
根据普朗克提出的黑体辐射公式，计算斯特潘常数和维恩常数。以温度为参数，单色辐射本领与波长的曲线有什么特点，峰值与波长的关系曲线有什么特点？
[数学模型]
黑体的单色辐射本领是在单位时间内从物体表面单位面积上所发射的波长在λ到λ + dλ范围内的辐射能量dE(λ,T)与波长间隔dλ之比
， (14.1.1)
M(λ,T)表示在单位时间内从物体表面单位面积发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射本领，是波长和温度的函数，其单位是W/m3。普朗克提出的黑体单色辐射本领的公式为
， (14.1.2)
其中，k为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，c为真空中的光速。
对波长从0到无穷大积分就得总辐射本领，即：黑体单位面积辐射能量的功率
， (14.1.3)
设 ， (14.1.4)
(14.1.2)式可化为
， (14.1.5)
由(14.1.4)式得，所以(14.1.3)式可化为
， (14.1.6)
其中，为常数，I为积分
。 (14.1.7)
手工计算积分I比较麻烦，其步骤如下
，
设y = nx，可得
。
由此可得
CI = 5.6688×10-8。 (14.1.8)
这就是斯特潘常数。
当波长趋于零时，单色辐射本领趋于零；当波长趋于无穷大时，单色辐射本领也趋于零。因此单色辐射本领随波长的变化有极值。令dM (x,T)/dx = 0，可得方程：
x = 5(1 - e-x)， (14.1.9)
一般用迭代算法计算上式之值，除了零解之外，可得xm的值为4.965，由(14.1.4)式可得维恩常数
= 0.0029。 (14.1.10)
这就是维恩常数。理论值与实验值符号得很好。
[算法]用MATLAB的符号积分计算积分可直接计算I的值，从而计算斯特潘常数。设
， (14.1.5*)
用MATLAB的符号导数先求y的导数，求导数的零解而得xm之值，从而计算维恩常数。
取温度为参数向量，取波长为自变量向量，形成温度和波长矩阵，根据普朗克黑体辐射公式可直接计算单色辐射本领，画出以波长为自变量的曲线族。每条曲线的峰值坐标可用最大值指令获得，至于峰值曲线则根据维恩定律计算。
[程序]Plank1.m如下。
%温度不同的普朗克黑体单色辐射能力与波长的曲线
clear %清除变量
k=1.38054e-23; %玻尔兹曼常数
h=6.626e-34; %普朗克常数
c=2.997925e8; %光速
sigma=5.6688e-008; %斯特潘常数
b=0.0029; %维恩常数
t=1400:100:2000; %热力学温度向量
n=length(t); %向量长度
lambda=[0:0.01:5]*1e-6; %波长向量
lambda(1)=eps; %给零加一小量使分母不为零
[T,L]=meshgrid(t,lambda); %波长和温度矩阵
M=2*pi*h*c^2./(exp(h*c./(k*T.*L))-1)./L.^5;%单色辐射能力
figure %创建图形窗口
plot(lambda*1e6,M) %画曲线
hl=legend([repmat('\itT\rm=',n,1),num2str(t'),repmat('K',n,1)]);%标记图例
fs=16; %字体大小
set(hl,'fontsize',fs) %设置图例大小
grid on %加网格
title('普朗克黑体单色辐射能力与波长的关系','fontsize',fs)%标题
xlabel('波长\it\lambda\rm/\mum','fontsize',fs)%横坐标
yl='单色辐射能力\itM\rm(\it\lambda\rm,\itT\rm)/(W\cdotm^-^3)';%纵坐标字符串
ylabel(yl,'fontsize',fs) %纵坐标
txt=['\itb\rm=' num2str(b) 'm\cdotK']; %维恩常数文本
txt=[txt ',\it\sigma\rm=' num2str(sigma) 'W/(m^2\cdotK^4)'];%斯特潘常数文本
text(0,max(M(:))/10,txt,'fontsize',fs) %显示常数
hold on %保持图像
[mx,ix]=max(M); %找最大值和下标
stem(lambda(ix)*1e6,mx,'--','filled') %画直杆图
text(lambda(ix)*1e6,mx,[num2str(lambda(ix)'*1e6)],'fontsize',fs)%显示峰值波长
t=1300:2020; %较密的温度向量
lambda=b./t; %波长向量
m=2*pi*h*c^2./(exp(h*c./(k*t.*lambda))-1)./lambda.^5;%单色辐射能力向量
plot(lambda*1e6,m) %画峰值曲线
[图示]
(1)取温度为参数，黑体的单色辐射本领与波长的关系如P14.1.1图所示。不论温度是多少，单色辐射本领随波长的增加先增加再减小，峰值波长与温度的关系遵守维恩位移律：峰值波长与温度成反比。温度升高时，峰值波长变短，峰变高。
(2)曲线下的面积表示总辐射本领，温度越高，曲线下的面积越大，总辐射本领越强。

P14.1.1图

[程序]Plank2.m如下。
%普朗克黑体单色辐射斯特潘常数和维恩常数求法
clear %清除变量
k=1.38054e-23; %玻尔兹曼常数
h=6.626e-34; %普朗克常数
c=2.997925e8; %光速
syms x %定义符号变量
y=x^3/(exp(x)-1); %被积函数
i=int(y,0,inf) %求积分
sigma=eval(2*pi*k^4/h^3/c^2*i) %求斯特潘常数
y=x^5/(exp(x)-1); %普朗克约化公式
d=diff(y) %求符号导数
s=solve(d) %求符号零解
e=eval(s) %求零解的数值
b=h*c/e/k %求维恩常数
[结果]
i =
1/15*pi^4
sigma =
5.6688e-008
d =
5*x^4/(exp(x)-1)-x^5/(exp(x)-1)^2*exp(x)
s =
lambertw(-5*exp(-5))+5
e =
4.9651
b =
0.0029

[结论]
本文对普朗克黑体辐射模型进行分析，应用MATLAB的指令，画出了黑体辐射曲线族，并画出了峰值线的分布，加深了对黑体辐射的理解。

另：报告的电子版发送到:zqyzqy2004@
电话：6695463

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