三角函数与平面向量专题分析.doc

三角函数与平面向量考点与试题专题分析
一、三角函数部分
1、三角函数综述
三角函数在高考试卷中的位置为解答题第一题，属容易题，所以从得分角度来说是考生必得分之题目。但从高考反馈的结果来看情况并不是很理想，从卷面反应的主要问题为考生解题步骤不够规范，其次对题意理解不到位，导致考生很难得到满分，其中也包括一些成绩或基础比较好的考生。
三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多样，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置。近几年来高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角函数知识。

2、常规考点及层次要求
内容
知识要求
了 解
理 解
掌 握
三

角

函

数

三角
函数
任意角的概念、弧度制
√

任意角的正弦、余弦、正切的定义

√

诱导公式、同角三角函数的基本关系式

√
周期函数的定义、三角函数的周期性
√

三角函数，，的图象和性质

√

函数的图象和性质

√

三角函数模型的简单应用

√

三角
恒等
变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式

√
二倍角的正弦、余弦、正切公式

√
简单的三角恒等变换

√

解三
角形
正弦定理、余弦定理

√
解三角形及其简单应用

√

3、三角函数知识点复习建议
（1）理解正角、负角、零角、区间角、象限角、终边相同角的概念，相关角表示方法。
（2）在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简，求值时，应注意公式中符号的选取。
（3）单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，了解三角函数线。
（4）会将三角函数式化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。
（5）会求三角函数的单调区间、周期、对称轴、对称中心。
（6）熟练三角函数图象的作图方法，通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。
（7）熟悉公式并会运用
①诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
②两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；
③倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的运用；
④辅助角公式：一般限制在是特殊角的范围内。
⑤常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ= tan45°,降次公式等。
⑥化弦（切）法。
（8）关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。
（9）策略与技巧：
①发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
②寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
②合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

4、考题回顾
（1）选择题与填空题
考题1、已知函数，若，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【考点分析】本题考查了辅助角公式及三角不等式的解法。
【解析】：由条件得，则
，解得，，所以选B.
考题2、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【考点分析】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长。
【答案】D
考题3、设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C=______________。
【考点分析】考察余弦定理的运用。
【解析】：由
根据余弦定理可得。
考题4、将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A． B． C． D．
【考点分析】本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。
【解析】：y=cosx+sinx,将函数的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到，此时关于轴对称，则，所以，所以当时，m的最小值是，选B.
考题5、在△ABC中，角，B，C所对的边分别为a，b，c. 输入
开始

否
是

结束
输出

已知，=1，，则B = .
【考点分析】本题考查正弦定理。
【解析】：由正弦定理得＝，即＝，解得sinB＝。又因为b>a，所以B＝或。
（2）解答题
考题1、设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知。
(I) 求的周长；(II)求的值。
【考点分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
【解析】：（Ⅰ）∵
∴∴的周长为.
（Ⅱ）∵，∴，
∴
∵，∴,故为锐角，
∴
∴.
考题2、设函数的图像关于直线对称，其中为常数，且。
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的图像经过点，求函的值域。
【考点分析】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位。求三角函数的最小正周期，一般运用公式来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量的范围确定函数的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查。
【解析】：（1）因，
由直线是图象的一条对称轴，可得，所以。又，所以。所以的最小正周期是。
（2）由题，即得，故，故函数的值域为。
考题3、已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中为常数，且。
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的图像经过点，求函数f（x）在区间上的取值范围。

【考点分析】本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.
【解析】：(Ⅰ)因为
.
由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函数在上的取值范围为.
考题4、在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△的面积,,求的值.
【考点分析】本题主要考查三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用。
【解析】：(I)由已知条件得:
,解得,角。
(II),由余弦定理得:,
。
考题5、某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差。
【考点分析】本题考查辅助角公式及三角函数一个周期内最值得问题。
【解析】：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10℃.
(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。
考题6、某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【考点分析】本题考查辅助角公式及三角函数在一个周期内解三角不等式问题。
【解析】：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，
即10<t<18.
故在10时至18时实验室需要降温。

5、命题趋势预测及复习建议
题型分类：
（1）考小题：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识，解析，图象与图象变换，两域(定义域、值域)，四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，简单的三角变换(求值、化简及比较大小)。
（2）考大题：着重考查基础知识和基本技能与方法。
(3) 考应用：以实际生活为背景，借助三角函数进行求解。
(4) 考综合：体现三角的工具作用，由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查。
知识点分类：
（1）考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系
高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角
三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、
求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、
诱导公式及同角三角函数的关系的应用等。
（2）考查三角函数的图象及其性质
三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容。
（3）求单调区间
高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中。
（4）求最值
高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题，有时也在大题中的某一步呈现，属中档题，高考常考查以下两种类型：
①化成的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；
②化成二次函数形式后利用配方法求其最值。
（5）利用三角恒等变换求三角函数值
三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，大多结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式。
（6）三角函数的综合应用
三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的
综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与平面向量、集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且小题还可以结合平面解析几何等知识点命题。
模拟试题：
题1：如图在平面直角坐标系中点均在单位圆上已知点在第一象限，横坐标是点在第二象限点。
（1）设求的值；
（2）若为正三角形求点的坐标。
题2：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝。
（1）求B；
（2）若cos(C＋)＝，求sinA的值。
题3：在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域．
[解析](1)由m∥n得(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，
∵sin(A＋C)＝sinB，∴2sinBcosA－sinB＝0，∵B、A∈(0，π)，∴sinB≠0，∴A＝.
(2)y＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝1－cos2B＋sin2B＝sin(2B－)＋1，
当角B为钝角时，角C为锐角，则
⇒<B<，
∴<2B－<，∴sin(2B－)∈(－，)，∴y∈(，)．
当角B为锐角时，角C为钝角，则
⇒0<B<，
∴－<2B－<，∴sin(2B－)∈(－，)，∴y∈(，)，
综上，所求函数的值域为(，)．
备考建议：
回归课本，返朴归真。近几年三角函数考题在课本中都能找到相应的习题。教材是高考命题之本，高考试题源于教材，高于教材，在数学复习时应充分利用课本，应注重通性通法，避开难题、偏题。

二、平面向量部分
1、平面向量综述
平面向量主要以小题形式出现，偶尔会和解答题的三角函数、立体几何与平面解析几何结合出题，但主要体现向量的工具性，主要是运用其公式。平面向量的核心思想是数形结合，把几何意义用简洁的向量形式表示出来，用向量的运算去进行几何性质的推断；反过来，要会从向量的形式去解读出几何意义。
2、常规考点及层次要求

内容
知识要求
了 解
理 解
掌 握
平面
向量
平面向量
平面向量的相关概念

√

向量的
线性运算
平面向量的线性运算及其几何意义

√
平面向量的线性运算的性质及其几何意义
√

平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
√

平面向量的正交分解及其坐标表示

√
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

√

用坐标表示平面向量共线的条件

√

平面向量
的数量积
平面向量数量积的概念

√

数量积与向量投影的关系
√

数量积的坐标表示

√
用数量积表示两个向量的夹角

√

用数量积判断两个平面向量的垂直关系

√

向量的应用
用向量方法解决简单问题

√

3、平面向量知识点复习建议
（1）透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素"方向和长度"使向量既有"形"又有"数"的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。（2）先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示。
（3）向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。
（4）向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模。
（5）要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量中来，使得平面向量的几何推导成为可能。如：
①在平行四边形中，菱形模型与矩形模型的向量表示。
②在三角形中，外心、重心、垂心、内心的向量表示；
（6）以平面向量为背景的解析几何问题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的表现几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题。
4、考题回顾
（1）选择题与填空题
考题1、若向量，则与的夹角等于
A. B.C. D.
【考点分析】数量积表示两个向量的夹角。
【解析】：由已知向量可求出要求向量坐标，代入向量夹角公式即可得到答案。答案为C。
考题2、已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。
【考点分析】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等。与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种。不要把两个概念弄混淆了。未来高考需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查。
【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则.
考题3、已知点、、、,则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【考点分析】本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。
【解析】：因为,所以，。所以向量在方向上的投影为，选A。
考题4、已知点、、、,则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【考点分析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及平面向量投影定义。
【解析】：直接运用平面向量的投影公式计算即可，答案为A。
考题5、若向量，，，则 .
【考点分析】本题主要考查平面向量的数量积与向量坐标的运算。
【解析】：由题意知，＝(3，1)或＝(－3，－1)，所以＝(2，4)或＝(－4，2)，所以| |＝＝2.
考题6、设向量，，若，则实数________.
【考点分析】本题主要考查平面向量的数量积与向量垂直的应用。
【解析】：因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3。
5、命题趋势预测及复习建议
知识点考查：
（1）平面向量共线与垂直
高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，有时也在大题的条件中出现。平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题。
（2）平面向量的夹角及投影
两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：
①依条件等式求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；
②依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解；
③投影问题直接运用公式即可。
（3）平面向量的模
考查类型：
①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模；
②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化。
（4）平面向量的数量积
有时直接考查数量积有时利用图形转化考查，其解决策略为：
①直接运用定义；
②建立直角坐标系用坐标法解决；
③转化为其他向量的和或差的形式。
（5）向量的应用
把向量作为工具进行考查的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目；另外在立体几何和解析几何中都有向量的体现，主要考查其工具性，考查运算，向量本身并不难。
模拟试题：
（1）已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )
A．－2 B．－ C．－1 D．－
[答案]C
[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
（2）已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[答案]C
[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.
（3）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，
∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，设|b|＝x，则1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.
(4)若·＋2＝0，则△ABC必定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]B
[解析]　·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
（5）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
[答案]B
[解析]∵E为OD的中点，∴＝3，∵DF∥AB，∴ ＝，∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，∴＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
（6）在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
[答案]B
[解析]　·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos45°＝×3×3×＝3.
备考建议：
重视数学基础知识、基本技能和数学思想方法。以课本例题、练习题和习题重组为中心，切实抓好基础题型和常规方法，提高对数学本质的理解和应用数学知识分析问题、解决问题的能力。重视答题的规范性，在细节处见实力。

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