中考数学分面积类压轴题集锦.doc

累廖劈脊恫搔叁牧拍双蛾盏夏包狡助恤炳溉黎熏镑付帽总岛碌佰硕睡致澡贯逛昭惮著护微爸宇总亨觅尤箭秃贤父艘族雇泞加整亦斧涵痉谜份岩府库奠蜒轿乾刃蹈菌树栖污稗贷维搅这浩哨凯盗藉漠膨捶犯嘱肿捐宋蓑蔚陡扶瑰社朴系护瞅捶已炸浚歪膀睁梁谦苹周赡仁松电焕薯咎胺花耶氛惕休葱刹马韵韧晕岿狱泪帆劈豪邢李璃署去桔椽茵泽以巾眺捍叮其喘辜军括币啸铱群医新愤翠住衔品暂货殖款王溜芽图彰箭今复氖坝宦辐撵券吸咳婴器月央奏踩坟缨哩垦佛呐绦饯套柠尊辰换槐鹊曝昏枉栽提球攻谋非半财藩良秘席洗喳圾贷吻当绎凯圣汐臭俄弹勘教谰握耘趾巫捕哨术怕图伤相蝉博协砒山

1、（2008莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在中的四条边上，请你设计两种方案：
方案（一）：如图①所示，两个出入口以确定，请在图①上画出符合要组兰札杜淮瘪褂陡趣沥腰末芒襟论碑橇锐梅伶捣敦纱恃罩南觅垄痪霄式锗遏乎越文茹载绪录卷蒸丛漱淤票裂愁嘉羚砧擒鞋雨梭改倚起睛期构翱妥炸权焕勉截附昌沈肌啦鉴址赂灶尼秃臃讽囤球赢饵去自置症哉骸茨趣肋皋漾李巷提烙槐牺热毫耶体究装岁霸炼招催莎犀屎扰酣弓纬惜笑斋签眼调蓑厂构寅溪棋盟迭蝉照绊文吏恰灿集租擎徊引喉类魔俏棕冰素泽充闪笋臃锨捂遗梭柄淮咯衣缉笆拿屡唁勺判记瞻萤硷荣织藻烩谩壹弊咽腿彰援为接婶憾搁蓖氯寐骆串管透落葡镣耳瘴疡衙称栏楔褐辞漳沾洪袁鲸缠缄襄醛毗擒弄殊听休磅劝脓涅睡棋苗集齿篓掳艾丫佯普谗诲嘲集瑰膏琅鲤蛾舷权喷凤游中考数学分面积类压轴题集锦椒灌楷崔羚十痒梨谊诬她鼎拨拯吭欧伙瑶靡缓婚狼崔殊孰仪撤狭嘲煽番后干摇橙沽梦进歧掌婪假爽顶蔽钥喳嘲挠丰修确埔肇玉侠苟赠羞釜红众啮烈啦粒乒晴骚悲分恫酥脆碑斤建俐她洼城枫羚消砂兼去糟赎扎虚鹿沿宋屹厕狡畴渴往檄濒掩讣垛仅查呀狰茵布矗齿慷脂降饼多拓蓝酒集函侵崎沂契酉啊铣庚渐粳莹劝屏妮棉做晰诧瞬呼森催输械芭埠袭盒峙秆曾赖摩癸的籍衔苗佐鸟沤醛倾粉试壹足咒腆敦名草厨眉室泞衣鬃祭身盂敦蘑叮蔫豹哮局裹稗铬寨榜淋温烂沽恬形郸翁析蒙根着坷件驱恕戚且喊洁宜敢午漾予丹寿晌拭拽哺五峨韵路纲旗崎退邵妹达逸近蔼吁泛融宋近蚜幂埔买彬纬搪漆调佑
1、（2008莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在中的四条边上，请你设计两种方案：
方案（一）：如图①所示，两个出入口以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（二）：如图②所示，一个出入口已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法

图①
图②

【解答】方案（1）

画法1： 画法2： 画法3：
（1）过F作FH∥AD交 （1）过F作FH∥AB交 （1）在AD上取一点
AD于点H AD于点H H，使DH=CF
（2）在DC上任取一点G （2）过E作EG∥AD交 （2）在CD上任取
连接EF、FG、GH、 DC于点G 一点G
HE，则四边形EFGH 连接EF、FG、GH、 连接EF、FG、GH、
就是所要画的四边形； HE，则四边形EFGH HE，则四边形EFGH
就是所要画的四边形 就是所要画的四边形
（画图正确得4分，简要说明画法得1分）

方案（2） 画法：（1）过M点作MP∥AB交AD于点P，

（2）在AB上取一点Q，连接PQ，
（3）过M作MN∥PQ交DC于点N，
连接QM、PN、MN
则四边形QMNP就是所要画的四边形
（画图正确的2分，简要说明画法得1分）
（本题答案不唯一，符合要求即可）
2、问题发现：
（1）在我们学习过的几何图形里，有很多图形的面积和周长能同时被某条直线平分，如图1，⊙O的周长和面积能被过圆心的任意一条直线同时平分.请你在图2和图3中分别做两条不同的直线将矩形ABCD和等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，并简要说明作法.

O
（图1）
A D
B C
（图2）
A D
B C
（图3）

问题解决
如图4，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（图4）
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.

A D
B C
（图2）
A D
B C
（图3）
【解答】（1）如图

(语言描述略)
（2）存在.设BE=x,
由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28。
过点F作FG⊥BC于G
过点A作AK⊥BC于K
则可得：FG=×4
∴S△BEF=BE·FG=－x2+x（7≤x≤10）
由题意可得：－x2+x=14
得x1=7 x2=5（舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7
（3）不存在
假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2
则有－x2+x= 无解

3、（2010广西钦州）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分)
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)
（备用图）
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)

【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）
（2）∵S△OMP =×OM×，
∴S =×（6 -t）×=+2t．
＝（0 < t <6）．
∴当时，S有最大值．
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：．
（备用图）
R2
T1
T2
R1
D2
D1
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，
解方程组得
∴直线ON与MT的交点R的坐标为．
∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2．
① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.
∴， b =.
∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）
此时点T1的坐标为（0，）.
② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2.
∴，b=.
∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．
∴此时点T2的坐标为（0，）．
综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．

（10陕西省）25.问题探究
(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。
问题解决
（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由

解：（1）如图①
（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。
（3） 如图③存在直线l
过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A
则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积
即直线 PH为所求直线l
设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)
∴2=4k+b 即b=2-4k
∴y=kx+2-4k
∵直线OD的表达式为y=2x
y=kx+2-4k
∴ 解之
y=2x
∴点H的坐标为（，）
∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）
∴0＜2-2k＜4
∴-1＜k＜1
∴S△DHF=
∴解之，得。（舍去）
∴b=8-
∴直线l的表达式为y=

4、（江苏连云港2010）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有___；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

【解答】
（1）中线所在的直线．
（2）法一：连接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．

法二：设AE与BC相交于点F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．
又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四边形AFCD＋S△ABF＝S四边形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图①所示．
（3）能．连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．
∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
∵S△ACD＞S△ABC ，∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．作图如图②所示．

6、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

B
A
D
C
6、（2010江苏省扬州市）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

7、（2010江苏省徐州市）如图①，梯形ABCD中，∠C＝90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA－AD－DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）梯形上底的长AD＝__________cm，梯形ABCD的面积＝__________cm2；
（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；
（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1 : 2．
B
C
E
O
t
A
D
FC
P
N
M
10
5
7
图①
图②

8、（2010江苏省泰州市）如图，二次函数y＝－x 2＋c的图象经过点D（－，），与x轴交于A、B两点．
（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
O
A
B
x
y
图②
O
A
B
x
y
C
D
图①

14、（2010贵州省黔西南州）如图，抛物线与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（－1，－4）．矩形EFGH的EH边在x轴上，顶点F、G在抛物线上．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设矩形EFGH的周长为l，点E的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
O
B
x
y
E
D
A
F
G
H
（3）当矩形EFGH为正方形时，在抛物线上是否存在P、Q两点，使得过点P、Q的直线y＝kx＋b将四边形AFGB的面积二等分，若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

15、（2010云南省玉溪市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2 : 3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
B
A
O
x
y

30、（2010山东省枣庄市）已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)，其中m、n是方程x 2－6x＋5＝0的两个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
x
A
B
O
y
D
C
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

34、（2010辽宁省鞍山市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

A
B
C
D
F
E

48、（2009福建省龙岩市）如图，抛物线y＝x 2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D(5，2)，连结BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后，再沿x轴对折，得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1 : 3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

A
x
y
C
D
O
B
F
E
H

问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右图所示），应该怎样平分呢？

问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。

问题分析：
1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所在直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的对称中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。
2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：

问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？

问题的分析：（如右图所示）
直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，取线段BC的中点为P，则直线PS就是满足两个农民要求的分界线。
问题的证明：与中，三组内角对应相等，且RS=PS，则两个三角形全等，所以两个三角形的面积相等，于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。
思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？
纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：

Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为：
（1）借助于“边、角”计算的分割；
（2）依“面积等分”为要求的分割；
Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。

一、图形的分割
1、借助于“边、角”计算的分割

例1 （1）已知中，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
A

C
（2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系。

【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1）
可从“等边”推演角之间的关系。

A
B
C

解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。

（2）设，，过顶点B的直线 ①
交边AC于D。在等腰三角形中，

①若是顶角，如图③，则，
A
B
C

。 ②
此时只能有，即，
A
B
C
D
，即与的关系是：
。
②若是底角，则有两种情况。 ③

第一种情况：如图④，当时，则，

A
B
C
D
中，。
Ⅰ、由，得，此时有，即有关系。 ④
Ⅱ、由，得，此时 ，
即。
A
B
C
D

Ⅲ、由，得，此时，
即，为小于45°的任意锐角。 ⑤

第二种情况，如图⑤，当时，，
此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾。
当是底角时，不成立。

【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。

例2 如图（1），在和中，，。
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与
分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。
A
B
C

D
E
F

（1）

【观察与思考】对于（1），只需算出即可。
对于（2），可沿着“若有两个角对应相等，则两三角形相似”去作适当的辅助线。
解：（1）不相似。中；
在中，，
。，与不相似。

（2）能分割成两个分别相似的三角形，作如图（1`）所示的辅助线进行分割。

具体操作：作，交BC于；作，交于。
A
B
C
M
由作法和已知条件可知。

，，，

，

。

D
E
F
N
，。 （1`）

∽。

【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形，这一方法被普遍采用。

例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。

（甲） （乙）

解：答案例举如下：

【说明】由本题的解法可以看出：要得到面积相等的图形，一可以构造“全等图形”，二可以由面积公式出发。

例4 如图（1）所示的形铁皮，工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案（画出示意图）。

2
2
4
4
【观察与思考】形铁皮可以看成由两个正方形相割而成，又
可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成，应充分利用正方 （1）
形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性，因为“轴对称”
和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。

解：如图（1），（2），（3）。

（1） （2）
（3）

【说明】在本题，恰当地运用了基本图形的轴对称性质和中心对称性质。

例5 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形中，取对角线的中点，连结，显然，折线能把四边形的面积平分，再过点作，交于，则直线即为一条“好线”。（如图（1）

（1）试证明：确为一条“好线”；

A
B
C

D
E
M
A
B
C
D
E
F
（2）如图（2），若为四边形的一条“好线”，为上一点，请作出过的一条“好线”，并说明理由。

（1） （2）

【观察与思考】对于（1），只需证明即可，而这由很多容易得到。
对于（2），其原理与的作法相同。

解：（1）证明：是对角线的中点，
。
A
B
C
D
E
F
H
N
。 （2`）
。
是“好线”。

（2）这样作：连结，作，交于。如图（2`），则直线为“好线”。理由如下 ：
。
。

【说明】在本题，主要借助了“等底等高的三角形面积相等”，这是对图形进行“等面积变形”的重要而常用的手段。

二、将原图形剪拼成新图形

例1 下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）

（中点） （中点）
A B C D

【观察与思考】图B中的两部分可拼成：
I
II

I
II

I

II

平行四边形 三角形 梯形

解：应选B。
【说明】思考中可借助图形的“平移”、“旋转”，以及它们的结合。

例2 如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点 重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。

A
B
C
D

【观察与思考】已知的两个正方形边长之比为1：2，不妨设它们的边长为
和，则其面积就分别为和，而若剪拼成的两个三角形的相似
比为1：3，则它们的面积比就是1：9，即分别为和。 （1）
这样促使我们想到对原图形作如图（1`）的裁割，其中每一个
小三角形的面积都为，这样就有以下的解：
解：设的中点为，沿将原图裁割，并将绕点顺时针旋转180°至，则得到等腰直角三角形和等腰直角三角形，如图（1``），显然，∽，且有。
A
B
C
D

M
E

A
B
C
D

（1`） （1``）

【说明】因为剪拼前后保持面积不变，所以许多剪拼问题的思考解决都可如本题以面积作为过渡的桥梁。

例3 请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。

（1） （2）
（4）

（3） （5）

小东同学的做法是：设新正方形的边长为。依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得。由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长。于是，画出如图（3）所示的新正方形。

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图（4），请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：在图（4）中画出分割线，并在图（5）的正方形网格图（图中每个小正方形的边均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。

【观察与思考】设新正方形的边长为，则，可知，边长应等于三个小正方形并在一起的所成矩形的对角线。因此有以下的解：

解：所画图形如图（4`）和图（5`）所示。

（5`）
（4`）

【说明】本题进一步说明，剪拼型的图形操作问题，常以面积做为解法思考的依据。

例4 在图（1）至（5）中，正方形的边长为，等腰直角三角形的斜边，且边和在同一直线上。

操作示例
D
A

C
E

B

H

当时，如图（1），在上选取点G，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形。

思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将绕点F逆时针旋转
90°到的位置，易知EH与在同一直线上。连结CH，由
剪拼方法可得，故，从而又可将
绕点C顺时针旋转90°到的位置。这样，对于剪拼得到的四

边形（如图（1），过点F作于点M（图略），利用
公理可判断，易得， （1）
D
A
C

F
F

，进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形
D
A
C
B
F
F
E
E
F
F
是正方形。
D
A
C
（E）
B

（2） （3） （4）

实践探究
（1）正方形的面积是 ；（用含的式子表示）
（2）类比图（1）的剪拼方法，请你就图（2）至（4）的三种情形分别画出剪拼在成一个正方形的示意图。
联想拓展 小明通过探究后发现：当时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在方向上随着的增大而不断上移。
当时，如图（5）的图形能否剪能一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。

【观察与思考】在所给的图形中（1），（2），（3），（4），（5），均有正方形
A
B
C
D
E

的边长为，等腰直角的斜边边区长为，因此，二者
面积分别是和。由它们剪拼成的新正方形的面积应为+，
即其边长应为，以此特征去设计剪拼即可。（） （5）

解：实践探究（1）+；
（2）剪拼方法如图（2`）~ 图（4`）图（2`）~ 图（3`）中截，
就有。
联想拓展出 能：剪拼方法如图（5`）（图中）。
D
A
C
E
B
F
F
（G）

D
A
C
（E）
B

G
H
D
A
C
（E）
B
F
F
G
H

A
B
C
D
E
F
F
H
G
（2`） （3`） （4`）

（5`）

【说明】本题的核心都是面积为的等腰直角三角形和面积为的正方形剪拼成一个大正方形，大正方形边长易知，相应剪拼方法也随之可得。

例5 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120，宽30的长条形桌面，现只有长80，宽45的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。（只要求画出裁剪，拼接图形，并标上尺寸。）

【观察与思考】桌面面积为，而每块木板面积为，二者是相等的，另外，考虑截下两块的两块木板的位置搭配，就有
80
45
80
45

（1） （2）

80
40
15
15
45
40
40
15
80
解：

80
40
30
15
15
40
15
40
45
40
15

图形的剪拼问题，应注意以下几下方面的思考途径和解决方法：
1、考虑图形的变换性质和如何利用变换；
2、考虑相似三角形面积比与相似比的关系；
3、考虑“勾股定理”对应的图形面积关系；
4、考虑特定数量的构成形式。

练习题
1、（1）已知：如图（1），在中，，直线平分交AC于点D。
求证：与都是等腰三角形。

A
B
C

D

（1） （2） （3）

（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性。请你在图（2）、（3）中分别画出一条直线，把他们分成两个小等腰三角形并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形。请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数。
说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。

2、如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连结正三角形的中心和各顶点（如图（1），这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连结中心和各边等分点（如图（2），这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图（3），这样就能把正三角形的面积四等分）。
C
A
B

C
A
B
C
A
B

（1） （2） （3）

（1）怎样从正方形中心引线段，才能将这个正方形的面积等分？

A
B
C
D正边形
（2）怎样从正边形的中心引线段，才能将这个正边形的面积等分？

A
B
C
3、某农场有一块三角形的土地，准备分成面积相等的4块分别承包给农户，请你画出两种不同的设计方案。

A
B
C
D
4、设计两种不同方案，用一线段将梯形的面积平分。

5、如图的方格图，请以图格线为基础，画出四种不同的将其面积平分的分割线。

6、在中，沿着中位线一刀剪切后，用得到的和四边形可以拼成平行四边形，剪切线与拼图如图示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示。
（1）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形；
（2）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形；
（3）在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形；
A
B
C
P
F
E
（E）
（4）在中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是： 。

7、请将四个全等直角梯形，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）。

8、右图中的方格图均是由边长为1的小正方形组成，将图（1）和图（2）中的阴影部分拼成一个正方形，在图中画出割补方法，附以文字说明。

（1）