VaR的定义及算法.doc

当前应用广泛的VaR技术（Value-at-risk)是1993年J·P·Morgon,G30集团在考察衍生产品的基础上提出的一种风险测度方法。VaR方法一经提出便受到广泛欢迎：巴塞尔银行监管委员会于1996年推出的巴塞尔协议的补充规定中，明确提出基于银行内部VaR值的内部模型法，并要求作为金融机构计量风险的基本方法之一；美国证券交易委员会(SEC)1997年1月规定上市公司必须及时披露其金融衍生工具交易所面临风险的量化信息，指出VaR方法是可以采用的三种方法之一；目前美国一些较著名的大商业银行和投资银行，甚至一些非金融机构已经采用VaR方法。VAR之所以具有吸引力是因为它把银行的全部资产组合风险概括为一个简单的数字，并以美元计量单位来表示风险管理的核心——潜在亏损。

　 VaR的基本含义是在某一特定的持有期内，在给定的置信水平下，给定的资产或资产组合可能遭受的最大损失值。这一含义体现了VaR度量技术的综合性。JP.Morgan定义为：VaR是在既定头寸被冲销（be neutraliged）或重估前可能发生的市场价值最大损失的估计值；而Jorion则把VaR定义为：“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。 其数学定义式为：

　　 Prob(△p≥-VaR)=1-α 　　 其中：△p 表示在△t时间内，某资产或资产组合的损失；α为给定的置信水平。

对某资产或资产组合，在给定的持有期和给定的置信水平下，VaR给出了其最大可能的预期损失。VaR计算主要涉及两个因素：目标时段和置信水平。目标时段是指我们计算的是未来多长时间内的VaR，它的确定主要依赖于投资组合中资产的流动性而定，一般取为1天，1周，10天或1月；置信水平的确定主要取决于风险管理者的风险态度，一般取90％一99.9％。

　 为了更好的理解VaR的概念，可举例说明，例如J.P .M organ公司1994年年报披露，1994年该公司一天的95%VaR值为1500万美元。其含义是指:该公司可以以95%的可能性保证，1994年每一特定时点上的证券组合在未来24小时之内，由于市场价格变动而带来的损失不会超过1500万美元。

VaR模型的假设条件

VaR模型通常假设如下：
⒈市场有效性假设；
⒉市场波动是随机的，不存在自相关。
一般来说，利用数学模型定量分析社会经济现象，都必须遵循其假设条件，特别是对于我国金融业来说，由于市场尚需规范，政府干预行为较为严重，不能完全满足强有效性和市场波动的随机性，在利用VaR模型时，只能近似地正态处理。

VaR模型计算方法

根据Jorion（1996），VaR可定义为：
VaR=E（ω）-ω* ①
式中E（ω）为资产组合的预期价值；ω为资产组合的期末价值；ω*为置信水平α下投资组合的最低期末价值。
又设ω=ω0（1+R） ②
式中ω0为持有期初资产组合价值，R为设定持有期内（通常一年）资产组合的收益率。
ω*=ω0（1+R*） ③
式中R*为资产组合在置信水平α下的最低收益率。
根据数学期望值的基本性质，将②、③式代入①式，有
VaR=E[ω0（1+R）]-ω0（1+R*）
=Eω0+Eω0（R）-ω0-ω0R*
=ω0+ω0E（R）-ω0-ω0R*
=ω0E（R）-ω0R*
=ω0[E（R）-R*]ω
∴VaR=ω0[E（R）-R*] ④
上式公式中④即为该资产组合的VaR值，根据公式④，如果能求出置信水平α下的R*，即可求出该资产组合的VaR值。
从前面①、④两式可看出，计算VAR相当于计算E（ω）和ω*或者E（R）和R*的数值。从目前来看，主要采用三种方法计算VaR值。
⒈历史模拟法（historical simulation method）
⒉方差—协方差法
⒊蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo simulation）

1、历史模拟法
“历史模拟法”是借助于计算过去一段时间内的资产组合风险收益的频度分布，通过找到历史上一段时间内的平均收益，以及在既定置信水平α下的最低收益率，计算资产组合的VaR值。
“历史模拟法”假定收益随时间独立同分布，以收益的历史数据样本的直方图作为对收益真实分布的估计，分布形式完全由数据决定，不会丢失和扭曲信息，然后用历史数据样本直方图的P—分位数据作为对收益分布的P—分位数—波动的估计。
一般地，在频度分布图中横轴衡量某机构某日收入的大小，纵轴衡量一年内出现相应收入组的天数，以此反映该机构过去一年内资产组合收益的频度分布。
首先，计算平均每日收入E（ω）
其次，确定ω*的大小，相当于图中左端每日收入为负数的区间内，给定置信水平 α，寻找和确定相应最低的每日收益值。
设置信水平为α，由于观测日为T，则意味差在图的左端让出
t=T×α，即可得到α概率水平下的最低值ω*。由此可得：
VaR=E（ω）-ω*

2、方差—协方差法
“方差—协方差”法同样是运用历史资料，计算资产组合的VaR值。其基本思路为：
首先，利用历史数据计算资产组合的收益的方差、标准差、协方差；
其次，假定资产组合收益是正态分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏离均值程度的临界值；
第三，建立与风险损失的联系，推导VaR值。
设某一资产组合在单位时间内的均值为μ，数准差为σ，R*～μ（μ、σ），又设α为置信水平α下的临界值，根据正态分布的性质，在α概率水平下，可能发生的偏离均值的最大距离为μ-ασ，
即R*=μ-ασ。
∵E（R）=μ
根据VaR=ω0[E（R）-R*] 有
VaR=ω0[μ-（μ-ασ）]=ω0ασ
假设持有期为 △t，则均值和数准差分别为μ△t和 ，这时上式则变为：
VaR=ω0?α?
因此，我们只要能计算出某种组合的数准差σ，则可求出其VaR的值，一般情况下，某种组合的数准差σ可通过如下公式来计算
其中，n为资产组合的金融工具种类，Pi为第i种金融工具的市场价值，σi第i种金融工具的数准差，σij为金融工具i、j的相关系数。
除了历史模拟法和方差—数准差法外，对于计算资产组合的VaR的方法还有更为复杂的“蒙特卡罗模拟法”。它是基于历史数据和既定分布假定的参数特征，借助随机产生的方法模拟出大量的资产组合收益的数值，再计算VaR值。
VaR风险度量方法的优缺点

1．VaR风险度量方法的优点 　

VaR方法在全球金融风险管理中得到了大力推广。较之以往的风险度量技术，VaR方法具有诸多的优点： 　　 ①VaR技术可以在事前计算投资组合的风险，而不像以往的风险管理方法都是在事后衡量投资组合风险的大小。VaR方法以其高度的综合、概括能力，为投资者提供了一个直观、全面的风险量化指标。投资者可以运用VaR方法，动态地评估和计量其所持有的资产组合的风险，及时调整投资组合，以分散和规避风险，提高资产营运质量和运作效率。

　 ②VaR方法可以涵盖影响金融资产的各种不同市场因素，同时该方法也可以测度非线性的风险问题。此外，VaR方法不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险，对此以往的风险管理方法无法实现。

　 2．VaR风险度量方法的缺陷

　 虽然VaR方法为各种金融机构所采用，应用领域广泛，但是种种研究结果和实践经验都表明VaR技术不是一种合理有效的风险计量方法，还存在着严重的缺陷：

（1）VaR方法不满足次可加性，不符合一致性风险度量方法的要求。1997年，Artzner等提出了著名的一致性公理，其内容是:若某种风险计量满足次可加性(Sub-additive)、正齐次性(Positively Homogeneous)、单调性(Monotonous)和传递不变性(Translation Invariant)四个条件，则该风险计量是一致性风险计量。若用向量x,y表示两个投资组合的随机回报向量，f(x)和f(y)表示他们的风险计量，则一致性公理的四大条件可以表示如下:

　　 ①正齐次性:f(ax)=af(x)a≥0 为常数。它反映了没有分散风险的效应。

　　 ②次可加性:f(x+y)≤f(x)+f(y)。它反映了组合投资具有分散风险的特点。因此，任何投资组合的风险计量应该不大于该组合中各项资产的风险计量的总和。

　　 ③单调性:若x≥y,则f(y)≥f(x)。若一个投资组合优于另一个投资组合，即前者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报对应的各分量，则前者的风险至少不大于后者。

　　 ④传递不变性:f(x+b(l+r))=f(x)-b。其中r为无风险利率，b≥0。若增加无风险头寸到投资组合中，则组合的风险随着无风险资产头寸的增加而减少。

　 自从Artzner提出了一致性公理以后，能否满足该公理即成为一种风险计量方法是否可用的判断标准。在上述四个条件中，次可加性是最为重要的。次可加性意味着投资组合的风险值不超过其各个组成部分的风险值之和。当各个部分的风险完全相关时，整体风险等于各个部分风险之和。否则由于风散化效应，整体风险将小于部分风险之和。但是经证明，VaR方法在资本收益率不服从正态分布时，缺乏次可加性，因此也就不是一致性风险度量，用VaR方法来度量风险就不再准确。例如，资产组合的VaR值会大于组合中各项资产的VaR值之和，这不仅与投资上要求分散化以降低风险的要求背道而驰，进一步来说，也阻碍了金融机构进行总体风险的有效管理。

　 （2）VaR方法没有考虑尾部风险。

　 根据Jorion给出的定义，VaR是指在给定的置信水平和投资期内投资组合可能遭受的最大损失。可见，VaR本质上只是对应于某置信水平的分位点，故又称为分位点VaR。因此它无法考察分位点下方的信息，即所谓的左尾损失，这就是VaR尾部损失测量的非充分性。VaR方法的这一缺点使人们忽略了小概率发生的巨额损失事件甚至是金融危机，而这又恰恰正是金融监管部门所必须重点关注的。例如假设有两个投资组合A,B ，它们的投资损失分布风险是不同的。组合B发生极端损失的概率远大于投资组合A发生的概率，即组合B的风险更大。然而用95%置信水平的VaR来衡量两个投资组合的风险状况时，两者是相同的，这就给投资者一个错误的风险信息，进而可能误导投资者选择高风险的投资。 　　
另外，VAR方法衡量的主要是市场风险，如单纯依靠VAR方法，就会忽视其他种类的风险如信用风险。所以在金融风险管理中，VAR方法并不能涵盖一切，仍需综合使用各种其他的定性、定量分析方法。亚洲金融危机还提醒风险管理者：风险价值法并不能预测到投资组合的确切损失程度，也无法捕捉到市场风险与信用风险间的相互关系。