溶液浓度问题.docx

【溶液浓度问题】
 【含义】    在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

 【数量关系】    溶液＝溶剂＋溶质      
                 浓度＝溶质÷溶液×100%

 【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

 例1    爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？
   解  （1）需要加水多少克？  50×16%÷10%－50＝30（克）
       （2）需要加糖多少克？  50×（1－16%）÷（1－30%）－50
                            ＝10（克）
                答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
 例2    要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
 解  假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
               600×（30%－25%）＝30（克）
 这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15% 的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖    100×（30%－15%）＝15（克）   所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）  100×（30÷15）＝200（克）
 由此可知，需要15%的溶液200克。
           需要30%的溶液  600－200＝400（克）
            答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。

【按比例分配】
【含义】    所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】  从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。  总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
 解  总份数为           47＋48＋45＝140
              一班植树    560×47/140＝188（棵）
              二班植树    560×48/140＝192（棵）
              三班植树    560×45/140＝180（棵）
              答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
 解  3＋4＋5＝12    60×3/12＝15（厘米） 
                    60×4/12＝20（厘米）
                    60×5/12＝25（厘米）
            答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

【工程问题】
【含义】    工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】  解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
            工作量＝工作效率×工作时间    
            工作时间＝工作量÷工作效率
            工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】  变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1     一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解  题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式：   1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
                         答：两队合做需要6天完成。

例2    一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
解  设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
                 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？      
                  7÷（1/6－1/8）＝168（个）
                          答：这批零件共有168个。
解二  上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为  1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的  4－3  /  4＋3  ＝1/7
所以，这批零件共有    24÷1/7＝168（个）

【行船问题】
【含义】    行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】  （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
              （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
               顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
               逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】  大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1    一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解  由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时      320÷8－15＝25（千米）
       船的逆水速为      25－15＝10（千米）
船逆水行这段路程的时间为   320÷10＝32（小时）
                   答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2    甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
解由题意得    甲船速＋水速＝360÷10＝36
               甲船速－水速＝360÷18＝20
               可见   （36－20）相当于水速的2倍，
       所以，  水速为每小时    （36－20）÷2＝8（千米）
       又因为， 乙船速－水速＝360÷15，
       所以，  乙船速为  360÷15＋8＝32（千米）
       乙船顺水速为   32＋8＝40（千米）
       所以，  乙船顺水航行360千米需要 
                360÷40＝9（小时）
                         答：乙船返回原地需要9小时。

【按比例分配】
【含义】    所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有 两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】  从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。  总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
 解  总份数为           47＋48＋45＝140
              一班植树    560×47/140＝188（棵）
              二班植树    560×48/140＝192（棵）
              三班植树    560×45/140＝180（棵）
              答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
 解  3＋4＋5＝12    60×3/12＝15（厘米） 
                    60×4/12＝20（厘米）
                    60×5/12＝25（厘米）
            答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

【百分数问题】
 【含义】    百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。
 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

 【数量关系】  掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
                 百分数＝比较量÷标准量   
                 标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】   一般有三种基本类型：
           （1）       求一个数是另一个数的百分之几；
           （2）       已知一个数，求它的百分之几是多少；
           （3）       已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1    仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？
 解  （1）用去的占    720÷（720＋6480）＝10%
     （2）剩下的占    6480÷（720＋6480）＝90%
                            答：用去了10%，剩下90%。

 例2    红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？   解   本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比 较 量                                                                              所以    （525－420）÷525＝0.2＝20% 
               或者  1－420÷525＝0.2＝20%
                         答：男职工人数比女职工少20%。

【构图布数问题】
 【含义】    这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

 【数量关系】   根据不同题目的要求而定。

 【解题思路和方法】  通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。

 例1    十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
 解  符合题目要求的图形应是一个五角星。
                        4×5÷2＝10
             因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。

 例2    九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
 解  符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
      一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
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