初三数学《圆》知识提纲修改版.doc

初三数学《圆》知识提纲（修改版）
(何老师归纳)
一、圆的有关性质
一：圆的相关概念：
1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径）
⑴ 动态定义: 一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，另一个端点A所形成的图形叫圆
⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合
2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
3： 弦心距：圆心到弦的距离
4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着：
⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧
（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）
5：同圆：同一个圆叫同圆
等圆：圆心不相同，半径相等的圆；
同心圆：圆心相同，半径不等的圆。
6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形
弓形高（h）＝半径(r)±弦心距(d)
7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数
8 ：圆心角：顶点在圆心的角
圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半.
圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心
三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形
二：点与圆的位置关系:
1：点在圆内 d<r 点C在圆内
2：点在圆上 d=r 点B在圆上
3：点在此圆外 d>r 点A在圆外
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

三：重要定理：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
几何表达式举例：
∵ AB过圆心,CD⊥AB
∴
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①是直径 ② ③ ④ ⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥ ∴

2、四量关系定理（即“角、弦、弧、距”定理）：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称“知1推3定理”，即其中的1组量相等，则可以推出其它的3组量也对应结论，
即：①⇔ ② ⇔ ③⇔ ④ 弧弧

3、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半，同时也等于所对弧的度数的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴∠ACB＝∠AOB＝弧ACB的度数
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、所对的弧是弧AB ∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或 ∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵ ∴△是直角三角形（或）
重要结论：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补

4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中 ∵四边形是内接四边形
∴
5；外接圆定理：不在一直线上的三个点确定一个圆
（1）过一点可以画无数个圆；
（2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；
（3）过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个外接圆是唯一的
四：反证法步骤：
1：假定原命题的结论不成立 -----反设
2：进行推理，推出与已知，定义，定理（公理）矛盾；-----归谬
3：判定假设不成立，从而肯定原命题正确 -----结论

五：圆常见辅助线作法一：
1：作半径 2：作弦心距
3：作同弧或等弧所对的圆周角 4：作直径所对的圆周角

二：直线与圆
一： 直线与圆的位置关系:
1：直线与圆相离 d>r 无交点
2：直线与圆相切 d=r 有一个交点
3：直线与圆相交 d<r 有两个交点

二：相关概念
1：切线：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，这条直线与这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
2：割线：如果一条直线与一个圆有两个公共点，这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．
3：切线长：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长，叫切线长。
4：内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三条角平分线的交点）叫做这个三角形的内心。
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，反之这个三角形叫做这个圆的外切三角形。
5：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
三：重要定理：
1：切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线；
即：∵，OA为半径，A是外端点
∴是⊙的切线 （或MN切⊙于点A）
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称“知二推一定理”：
即：①过圆心；②过切点；③垂直；④切线； 由其中任意3个条件便推出其他1个结论
2、切线长定理：
⑴ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
⑵: 结论1：AB为PO中垂线
结论2：∠P＋∠AOB＝180°  在∧APO中，形成射影定理式
结论3：在右图中，∠DOC＝∠AOB ∧PCD的周长＝2AP(或2PB)
3：圆外切四边形定理：圆的外切四边形两组对边之和相等
∵ 四边形ABCD为⊙外切四边形
∴ AB＋CD＝AD＋BC
4：三角形内切圆相关重要结论：

结论1：AE＝AF＝ BE＝BD＝ CF＝CD＝
结论2：S∧ABC＝(＋b＋c)r (r为三角形内切圆半径)
结论3：∠BOC＝90° ＋∠BAC
结论4：在Rt∧ABC中，四边形CFOE为正方形，且r＝
5：弦切角定理 ：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，也等于它所夹的弧的度数的一半.
即：∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD =∠CAB
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
，ED，BC是切线
∴ ∠CBA =∠DEF
6、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线 ∴
四：圆常见辅助线作法二：
5：作半径 ，证垂直 6：作垂直，证半径

三：两圆位置关系
（1）两圆外离（无交点）；
（2）两圆外切（一交点）；
（3）两圆相交（两交点）；
（4）两圆内切（一交点）；
（5）两圆内含（无交点）
（6）两圆同心（无交点）⇔＝0
一： 圆与圆的位置关系:

分类：（1）相离：外离，内含（同心）
（2）相切：外切，内切。
（3）相交；

二：相关概念
1：外公切线: 两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线；
2：内公切线: 两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线；
3：公切线的长: 两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长
4: 连心线：连接两圆圆心的直线叫连心线
5：圆心距：两圆心之间的距离

三：公切线及公切线长的计算：
两圆位置关系
外公切线条数
内公切线条数
公切线条数
外离
2
2
4
外切
2
1
3
相交
2
0
2
内切
1
0
1
内含
0
0
0
1． 若两圆有两条外（或内）公切线，则外公切线长相等，内公切线长相等；
2． 外公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：内
3． 内公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：外

AB=. AB=. 特例，两圆外切 AB=2
四：重要定理：
1、关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
如图：垂直平分。
即 ∵ ⊙、⊙相交于、两点
∴ 垂直平
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
如图：∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线

2：射影定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
∵ 如图：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
∴ ＣD２＝ＢＤ•AD
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ
五：圆常见辅助线作法三： 7：作公切线

四：圆中相关计算
一：相关概念
1：正多边形：各边，各角相等的多边形叫正多边形； 两条件：(1)各边相等；(2)各角相等
2：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
3：正多边形的半径: 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
4：正多边形的中心角：　正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
5：正多边形的中心：到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
6：圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
7：圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a，而h就是圆锥的高
二：正多边形的性质
1. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
2. 中心角度数＝外角度数＝.多边形内角和＝（n-2）180° , 外角和＝360° 
3. 正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形.
4. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
5. 正多边形的有关计算
（1）公式：多边形内角和＝（n-2）180° , 外角和＝360° 
　 正边形每一个内角的度数是；中心角度数＝外角度数＝
（2）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（3）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（4）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

（5）正边形
① αn=； ② an=2Rn·sin；
③ rn=Rn·cos； ④ +；　　　　　　　
⑤ Pn=nan； ⑥ Sn=Pnrn； ⑦ Sn=nsin.（三角形的面积为：h·OB）
三：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
（1）圆的周长： C=2πr或C=πd 圆的面积：S=π r²
圆环面积：S=πR²－πr²或S=π（R²－r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）
（2）弧长公式：； （3）扇形面积公式：
( 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积 )
（4）弓形面积 S = S扇形 ± S∧
（5）圆柱：
A：圆柱侧面展开图S圆柱侧 =2πrh =
B：圆柱的体积：
（6）圆锥
A：圆锥侧面展开图S圆锥侧 =. =
B：圆锥的体积：

(7) 圆锥计算结论：A:底面圆周长等于展开后扇形弧长
B:母线长等于展开后扇形的半径

五：补充：四点共圆定理（了解）
1：先从四点中先选三点作一圆，如果能够证另一点也在这个圆上，那么这四点共圆
2：如果四点到某一定点的距离都相等，那么这四点共圆
3：圆周角定理的逆定理
①：共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
②：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
4：圆内接四边形定理的逆定理
对于凸四边形ABCD，若对角互补（或外角等于它的内对角），则四点共圆。
5：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，
四点共圆。
6：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，
四点共圆。
六：圆常见辅助线作法图：

已知弦构造弦心距.

已知弦构造RtΔ.

已知直径构造直角.

已知切线连半径，出垂直.

圆外角转化为圆周角.

圆内角转化为圆周角.

构造垂径定理.

构造相似形.

两圆内切，构造外公切线与垂直.

两圆内切，构造外公切线与平行.

两圆外切，构造内公切线与垂直.

两圆外切，构造内公切线与平行.

两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.

两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.

PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.

相交弦出相似.

一切一割出相似, 并且构造弦切角.

两割出相似,并且构造圆周角.

双垂出相似,并且构造直角.

规则图形折叠出一对全等，一对相似.

圆的外切四边形对边和相等.

若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.

等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.

RtΔABC的内切圆半径：r=.

补全半圆.

AB=.

AB=.

PC过圆心，PA是切线，构造
双垂、RtΔ.

O是圆心，等弧出平行和相似.

作AN⊥BC，可证出:
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