浙大《概率论》习题.doc

习题
第一讲
1. 由盛有号码为的球的箱子中有放回的摸了n次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.
2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.
3. 从n双不同的鞋子中任取只, 求下列事件的概率:
(1) (1)    没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有双鞋子.
4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:
(1) (1)    取得以A为打头的顺次同花色5张;
(2) (2)    有4张同花色;
(3) (3)    5张同花色;
(4) (4)    3张同点数且另2张也同点数.
思考题:
1.（分房、占位问题）把n个球随机地放入N个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。
I. I.          若这n个球是可以区分的，求（1）指定的n个格子各有一球的概率；（2）有n个格子各有一球的概率；
若这n个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k个球的概率；（2）恰好有m个空盒的概率。
2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：
（1） （1）       五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.

第二讲
1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于0.01?
2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.
3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.
4. 设A, B, C, D是四个事件, 似用它们表示下列事件:
(1) (1)    四个事件至少发生一个;
(2) (2)    四个事件恰好发生两个;
(3) (3)    A,B都发生而C, D不发生;
(4) (4)    这四个事件都不发生;
(5) (5)    这四个事件至多发生一个;
(6) (6)    这四个事件至少发生两个;
(7) (7)    这四个事件至多发生两个.
5. 考试时共有张考签, 有个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.
6. 在§3例5中, 求恰好有个人拿到自己的枪的概率.
7. 给定, 求及.
思考题
1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a的平行线的桌面上任投一直径为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；
第三讲
1. 件产品中有件废品, 任取两件, 求:
(1) (1)    在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;
(2) (2)    在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.
2. 袋中有只白球, b只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.
3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.
4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.
(1) (1)    如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?
(2) (2)    如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.
(3) (3)    如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.
(4) (4)    乙先摸是否对甲有利?
(5) (5)    如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.
5. 设事件A, B, C相互独立, 求证: 也相互独立.
思考题
1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。甲先掷，以后每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷。试求事件={第n次由甲掷}的概率.
2（赌徒输光问题）两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为q，p+q=1，每一局后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a元，乙有资本b元，a+b=c，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率.

第四讲
1. 对同一目标进行三次独立射击,要害各次射击命中率依次为0.4, 0.5 和0.7. 求:
(1) (1)    三次射击中恰好一次击中目标的概率;
(2) (2)    至少一次击中目标的概率.
2. 在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:
(1) (1)    如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态的概率为, 变为闭状态的概率为;
(2) (2)    如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态的概率为, 变为开状态的概率为.
假设, 并且用表示该元件万分之秒后处于闭状态的概率. 请给出的递推公式.
3. 在伯努里概型中, 若出现的概率为, 求在出现次以前出现次的概率(可以不连续出现).
4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少?
5. 一个人的血型为O、A、B、AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11和0.03. 现任选五人, 求下列事件的概率:
(1) (1)    两人为O型, 其他三人分别为其他三种血型;
(2) (2)    三人为O型, 两人为A型;
(3) (3)    没有一人为AB型

第一讲
1. 1.       设为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求的分布.
2. 2.       直线上一质点在时刻0从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向左或向右移动一格, 每次移动是相互独立的. 以表示在时刻质点向右移动的次数, 以表示时刻质点的位置, 分别求与的分布列.
3. 3.       每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐单与实际不符, 那么在500张帐单中至少有10张不符的概率是多少?
4. 4.       某车间有12台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车时每台需用电力1单位, 问:
(1) (1)    若供给车间9单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于多少?
(2) (2)    至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率小于1%?
5. 5.       螺丝钉的废品率为0.01. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有100只以上好螺丝钉的概率不小于80%?
6. 6.       某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每管2毫升, 求:
(1) (1)    5只试管中都有细菌的概率;
(2) (2)    至少有3只试管含有细菌的概率.

第二讲
1. 1.       在半径为R, 球心为O的球内任取一点P,
(1) (1)    求=OP的分布函数;
(2) (2)    求.
2. 2.       确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:
(1) (2)
3. 3.       某城市每天用电量不超过100万度, 以表示每天耗电量(即用电量/100), 其密度为. 问每天供电量为80万度时, 不够需要的概率为多少? 供电量为90万度呢?
3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布.而每个发射出的粒子被记录下来的概率均为,就是说有的概率被计数器遗漏.如果个粒子是否被记录是相互独立的,试求记录下的粒子数的分布。
4. 4.       设, 求, 使 (1)(2) .
5. 5.       若, 求方程有实根的概率.

第三讲
1. 1.       试用的分布函数表示下列概率:

2 设二维随机向量的密度函数为

(1) (1)    确定常数A；（2）求分布函数；（3）求的边际密度；（4）计算概率；（5）计算概率(6) .
3. 3.       设随机变量与相互独立, 且, 又
, 定义:

问取什么值能使独立?

第四讲
1. 1.       设服从圆上的均匀分布,
(1) (1)    求各自的密度;
(2) (2)    判断与是否相互独立.
2. 2.       设的密度函数为, 求证与相互独立的充分必要条件为可分离变量, 即. 此时与边际密度有何关系?
3. 3.       利用上题的充分必要条件判断与的独立性, 若它们的密度函数为:
(1)
(2)

第五讲
1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1, 2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以分别记两次取得的数字, 求各自的分布以及的分布.
2. 2.       设是独立随机变量, 分别服从参数为及的泊松分布, 试直接证明:
(1) 服从参数为+的泊松分布;
(2)
3. 3.       若服从上的均匀分布, 求的密度.
4. 4.       设独立同分布，且都服从上的均匀分布，求的密度函数.
5. 设独立同分布, 且都服从分布，求的分布密度.

第六讲
1. 在线段上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.
2. 设相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求与的联合密度,并分别求出与的密度.
3. 设的联合密度为：

求的联合密度.
4. 设服从二元正态分布求与相互独立的充分必要条件.

 第一讲
1. 1.       某人有把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:
(1) (1)    每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2)    每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
2. 2.       设随机变量分别具有下列密度, 求:

3. 3.       设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:

分子的质量为, 求分子的平均速度和平均动能.

第二讲
1. 1.       设事件A在第次试验中出现的概率为, 是在次独立试验中A出现的次数, 求.
2. 某人有把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:
(1) (1)    每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2)    每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
3. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售该产品一件可获利元,而每积压该产品一件导致元的损失。另外，该产品的销售量预测服从参数的指数分布。问若要获得最大利润，应安排生产多少件产品？
4. 4.       设只取值于, 求证
5. 5.       设二维随机向量的分布密度为

求协方差矩阵.
思考题
1. 设袋中装有m只颜色各不相同的球. 有返回地摸取n次, 摸到种颜色的球. 求.

第三讲

1. 1.       设为常数, 同号, 求证的相关系数等于的相关系数.
2. 2.       设随机变量的数学期望都为0, 方差都为1, 两两间的相关系数都为, 求与之间的相关系数.
3. 3.       设都是只取两个值的随机变量, 求证: 如果它们不相关, 则它们独立.
思考题
1. 1.       设,求证:
2. 2.       设. 证明:
.

第四讲
1. 1.       求下列分布的特征函数:
(1)
(2)服从上的均匀分布;
(3) 服从参数为的指数分布.
2. 2.       设是特征函数, 求证下列函数也是特征函数:

3. 3.       证明下列函数是特征函数, 并找出相应的分布.

思考题
1. 1.       试举例说明在逆极限定理中, 在处连续这一条件不能少.
2. 2.       当独立时, 则有

第一讲
1. 1.       下列分布函数列是否弱收敛于分布函数?

2. 2.       设为独立同分布随机变量序列, 的分布列为, .求证的分布收敛于[-1,1]上的均匀分布.

第二讲
1. 1.       设某车间有200台同型机床，工作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千瓦. 问应供给该车间多少千瓦电力才能有0.999的把握保证正常生产？
2. 2.       一家火灾保险公司承保160幢房屋, 最高保险金额有所不同, 数值如下表所示:
最大保险金额(万元)
10 20 30 50 100
投保房屋数
80 35 25 15 5
假设: (1) 每幢房屋每年一次理陪概率为0.04, 大于一次理陪概率为0;
(2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立;
(3)如果理陪发生, 理陪量从0到最高保险金额间的均匀分布.
记N为一年中理陪次数, S为理陪总量,
a. 计算N的数学期望和方差;
b. b.       计算S的数学期望和方差;
c. c.       确定相对保证附加系数, 即(每份保单保费收入–平均理陪量)/ 平均理陪量, 以确保保险公司的保费收入大于理陪总量的概率等于0.99.
3. 3.       设为独立同分布, 其分布列为泊松分布. 记计算的特征函数, 并求时的极限, 从而验证林德贝格–勒维定理在这种情况成立.
4. 4.       设各自独立同分布, 也相互独立. . 求证: 的分布函数弱收敛于
思考题
1. 利用中心极限定理证明:

第三讲
1. 设独立同分布, 密度为, 令, 求证:
.
3. 3.       求证: (1)若,, 则
(2)若,, 则
4. 4.       设独立同分布, 都服从[0,1]上的均匀分布, 令, 求证: 并求出常数.
思考题
1. (蒙特卡罗方法) 设是定义在[0,1]上的连续函数, 且取值于[0,1]. 现在平面的正方形上做随机投点试验, 记为所投点落在区域
内的频率. 试说明当投点次数充分多时, 可充分接近积分值