一元二次方程 辅导讲义(一).doc

优派思教学讲义
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陈
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教学目标
1.理解一元二次方程的概念；
2.会用因式分解法解一元二次方程.
重点、难点
重难点：一元二次方程的判断；一元二次方程的解法。
知识要点解析
一元二次方程
基本知识：
㈠ 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
注意：判断某个方程是否为一元二次方程，必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2 三个条件。特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数。

【例题与练习】
例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

巩固练习
1判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习:
1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m为何值时,方程(m+1)x4m2-2+27mx+5=0是关于的一元二次方程

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

4．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？

5．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

例4.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值

巩固练习：
1．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2
2．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

4．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

6．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）2-2x+1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，
求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

㈡ 一元二次方程的解法：
1、因式分解法：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。
1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
对于一般的一元二次方程，可分解为，所以。
2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4．用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5．数学思想：整体思想和化归思想.

2、直接开平方法：
一般地，对形如的方程，根据平方根的定义，可解得，，这种解一元二次方程的方法叫开平方法。
对于ax2十bx十c＝0，先将左边配成完全平方，右边为一个非负数，后用开平方法解，这样的方法叫配方法。

3、配方法：（针对二次项系数为1的一元二次方程）一般将二次项和一次项移到方程的左边，而把常数项移到方程的右边，两边同加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法来解。
若二次项系数不为1，则先将二次项系数化为1，在进行配方。

4、公式法：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=这个公式叫做一元一次方程的求根公式。

【例题与练习】
分解因式法:
例1．解方程
（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+ (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． D．1
4．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0

（4）x2-12x+35=0 （5）（x-3）（x+2）=0； （6）5y2-4y=0；

（3）（3x-2）2-9=0； （4）3x（x-1）=x-1； （5）x2-2x+3=0；

（6）（x-7）（2x+1）+7=0； （7）（2x+3）2=12x； （8）（x-5）2-8（x-5）+16=0．

5．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

6．在一个长方形的空地中央布置一个正方形的花坛．已知正方形的边长比长方形的长短5m，比长方形的宽短1m，且长方形的面积是正方形面积的2倍多5m2，求这个正方形的边长．

8．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）

课后作业
1．根据题意，列出方程：
有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，试求正方形的边长．

2．若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．

3．当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是关于x的一元二次方程？当m 取何值时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是一元一次方程？

4.已知关于x的方程 的一个根为 ，则实数k的值为 （ ）
A．1 B.-1 C.2 D.-2

5.在实数范围内定义运算，“”，其法则为：，求方程的解。

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