九思中考折叠综合题专题训练(附答案).doc

九思中考折叠综合题专题训练
主编：马伊洛
九思教育荣誉出品

一、关系探究：
例：（辽宁锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
A
B
C
E
M
F
D
图2
图1
A
D
F
B
C
E
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝ ∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．

答案如下：
（1）证：作AH⊥EF， ∵∠EAFA=45°，∴∠EAH+∠HAF=45° ∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAE=∠EAH ∠HAF=∠DAF ∴△ABE≌△EAH △HAF全等与△DAF ∴BE=EH DF=HF ∴BE+DF=EH+HF ∴BE+DF=EF
（2）AB=AM
（3）猜想：AB=AM， 理由如下：∵∠EAF=1/2∠BAD 且△BAC折叠 ∴∠BAC=∠CAD ∴∠BAC=1/2∠BAD ∴∠EAF=∠BAC=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠EAM+∠MAF ∵旋转 ∴∠BAC=∠MAF ∴∠BAE=∠EAM ∵∠ABE=∠AME==90°， ∠BAE=∠EAM AE=AE， ∴△ABE≌△EAM ∴AB=AM

对应练习：
1、（浙江衢州）
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
图1
图2
图3
A
A
A
B
B
B
C
M
N
N
C
M
M
C
N

答案如下：
（1） 证：∵等边△ABC,等边△AMN ∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60° ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN（SAS） ∴∠ABC=∠ACN
（2） （1）结论∠ABC=∠ACN仍成立
理由如下：∵等边△ABC,等边△AMN ∴AB=AC, AM=AN, ∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ∴∠ABC=∠CAN
（3） ∠ABC=∠CAN仍然成立．理由如下：∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,∴△ABC∽△AMN, 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM∽△CAN,∴∠ABC=∠ACN．

2、（北京模拟）在△ABC和△ADC中，AB＝2AC，AD＝BD，∠ACD＝90°．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）如图2，当∠BAC＝120°时，设AD与BC的交点为O，将△ADC沿CD所在直线折叠，得到△EDC，连接OE，射线OM交DE于M，交BD的延长线于N，若∠EON＝∠ABD，求线段OM与MN的数量关系．
A
B
C
D
A
E
O
B
N
D
M
C
图1
图2

答案如下：
（1） 证：∵AD=BD ∴∠DAB=∠DBA ∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90° 作DH⊥AB ∴ BH=HA ∵AB=2AC ∴AH=AC ∴Rt△AHD≌Rt△ADC ∴∠BAD=∠DAC ∴∠BAC=2∠BAD
∴∠BAC=2∠ABD
（2） OM=3MN 理由如下：
∵折叠 ∴△ACD≌△CED ∵∠BAC=120° ∴∠BAD=60° ∵BD=AD ∴等边△ABD
∴AB=AD ∵AB=2AC ∴AD=2AC ∵∠EON=∠ABD ∴∠EON=60° ∵AE∥BN
∴∠EDN=60°， ∴∠ACO=30°∴等边△DMN ∴MN=DN ∵tan30°=1/3
∴DM/OM=1/3 ∴OM=3MN

二、材料阅读：
例：阅读材料
（江苏盐城）如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可证明△BOF≌△COD，则BF＝CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB＝∠EDF＝α，请直接写出 的值．（用含α的式子表示出来）
C
C
C
C
A
A
A
A
B
B
B
D
O
O
E
F
E
D
F
O
E
D
F
O
E
F
D
图①
图②
图③
图④
B

答案如下：
（1） 证：∵△ABC与△DEF均为等腰Rt△ ∴∠FED=∠CBD=45° ∵O为EF中点
∴OE=OF BO=AO 连接CF ∵旋转 ∴BF=CD ∵CD⊥AB ∴∠BCD=∠CBD=45°∠CAD=∠DCA=45° ∴CD=BD BD=CF
（2） 连接AF、BE、AE ∵D为AB、EF中点 ∴BO=OA OE=OF 连接CO
∵∠CBD=60° ∴∠BCO=30° tan30°=1/3 BO/CO=1/3 CO=3BO ∵∠EFD=60° ∴∠BFE=60°∴∠FBE=30° cos30°=1/2 BF/BO=1/2
∴BO=2/3BF 3BO=CO BO=1/3CO ∵CO=CO ∴1/3CO=2/3BF ∴CO=2BF ∴CO=2/3CD ∵cos30°=1/2 ∴CD/CO=1/2 2CD=CO ∴2BF=2/3CD ∴BF=1/3CD
（3）∵△ABC为等腰△ 点O为底边AB的中点 ∴OB/OC=tanA/2 ∠BOC=90° ∵△DEF为等腰△点 O为EF中点 ∴OF/DO=tanA/2 ∠DOF=90° ∴OB/OC=OF/OD=tanA/2 ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ∴∠BOF=∠COD 在△BOF与△COD中 ∵OB/CO=OF/OD=tanA/2 ∠BOF=∠COD ∴△BOF∽△COD ∴BF/CD=tanA/2

三：综合应用：
例1：（山东德州）
（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD．请你完成图形，并证明：BE＝CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD．BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．
A
B
C
A
D
F
B
C
E
G
A
E
B
C
图1
图2
图3

（1）证：∵△ABD和△ACE都是等边三角形, ∴AD=AB, AC=AE, ∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中, AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE∴△CAD≌△EAB（SAS）∴BE=CD；
(2) BE=CD 理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD
(3) 由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．
对应练习：
1、（哈尔滨模拟）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，D为BC延长线上一点，E为∠ACD内部一点，且∠ABE＋∠ECD＝90°．
（1）若∠ABE＝60°，如图1，直接写出AC、BE间的数量关系：___________；
（2）若∠ABE＝45°，如图2，求证：BE＝AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA沿BE翻折，翻折后的点A落在点M处，且MC⊥BC，连接EM，交BC的延长线于N，若CN＝2，求AN的长．
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
N
M
图1
图3
图2

答案如下：
（1） AC=BE
（2） 证：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵∠ABE=45° 且∠ABE+∠ECD=90° ∴∠ABE=∠ECD=90° 作AH⊥BE EI⊥BD ∴∠HAB=∠ABH=45°∠ECI=∠CEI=45°
∴CI=EI BH=AH ∴AB=AH ∴AC=AH 作EK⊥AB的延长线上与K
∴BE=AB ∴BE=AC ∠KEA=∠KAE=45° ∴AK=HE ∵∠ABH=∠BAH=45° ∴AH=HE ∵BE=KE ∴BE=AB ∴BE=AC
（3）∵翻折 ∴AB=BF 又∵CD=1/2DF ∴AB=1/2BF ∴AN=1/4AB ∵AN=1/2AB ∴AB=4
∴AN=2÷1/4AB=8

例2：（辽宁本溪）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A＝30°时，求证：MC 2＝AM 2＋BC 2；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角板ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN 2＝AM 2＋BN 2成立吗？
答：___________（填“成立”或“不成立”）．
E
D
C
B
A
O
M
B
A
B
A
C
E
D
M
O
O
图1
图2
备用图
C

答案如下：
（1）证：∵三角板 ∴∠DOE=90° ∴∠DOA+∠EOB=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∴∠CAO=∠DOA=30° ∠COB=∠CBO=60° ∵∠DOC=90° ∴MO²+OC²=MC² 等量代换 ∴MC²=AM²+BC²
（2）（1）中的结论成立 理由如下：∵三角板 ∴∠DOE=90° ∴∠DOA+∠EOB=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∴∠CAO=∠DOA ∠COB=∠CBO ∵∠DOC=90° ∴MO²+OC²=MC² 等量代换 ∴MC²=AM²+BC²
（3）成立

四、函数及其他：
例：（浙江杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE＝∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF＝x，y＝ ；
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值
A
B
D
C
M
N
F
E
P

答案如下：
（1）证：∵∠EPF=45° ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135° 而在△PFC中 由于PF为正方形ABCD的对角线 则∠PCF=45° 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135° ∴∠APE=∠CFP
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45° ∴△APE∽△CPF 则．而在正方形ABCD中，AC为对角线 则AC=AB= 又∵P为对称中心 则AP=CP= ∴AE=== 过点P作PH⊥AB于点H PG⊥BC于点G P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2 S△APE==×2×= ∵阴影部分关于直线AC轴对称 ∴△APE与△APN也关于直线AC对称 则S四边形AEPN=2S△APE= 而S2=2S△PFC=2×=2x ∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x ∴y===+﹣1 ∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°
∴2≤x≤4 令=a 则y=﹣8a2+8a﹣1 当a== 即x=2时，y取得最大值 而x=2在x的取值范围内 代入x=2 则y最大=4﹣2﹣1=1 ∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4） y的最大值为1 ②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称
而此两块图形也关于直线AC成轴对称 则阴影部分图形自身关于直线BD对称
则EB=BF 即AE=FC ∴=x 解得x= 代入x= 得y=﹣2

对应练习：
1、（辽宁盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF＝BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．
（1）如图1，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图2，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长是3，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．
A
B
D
C
P
F
E
A
B
D
C
P
E
F
图1
图2

答案如下：
（1） 证：连接PF ∵∠ABD=90° ∴Rt△PEB ∵BF=BD ∴∠BFD=∠BPF=45° ∵旋转 ∴AP=PE ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABP=∠ABC=90° AB=BC ∴△ABP≌△BFC ∴AP=FC ∵AP=EP ∴PE=FC ∵∠BFC=∠APC ∴∠APE+∠APC=∠BFC+∠EFB ∴∠EPF=∠PFC ∴FC∥EP ∴四边形ABCD为平行四边形
（2） 结论：四边形EPCF是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC ∠ABC=∠CBF=90° ∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，∴△PBA≌△FBC（SAS） ∴PA=FC，∠PAB=∠FCB ∵PA=PE，∴PE=FC。
∵∠FCB+∠BFC=90° ∠EPB+∠APB=90° ∴∠BPE=∠FCB
∴EP∥FC ∴四边形EPCF是平行四边形

(3) 有 设BP=x，则PC=3﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，
  ∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下 ∴当x=时，S最大= ∴当BP=时 四边形PCFE的面积最大 最大值为

五、 附加题：
例：（江苏模拟）如图，Rt△AB′C′ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′ 交斜边AB于点E，CC′ 的延长线交BB′ 于点F．
（1）求证：∠ACC′＝∠ABB′；
（2）求证：F是BB′ 的中点；
（3）设∠ABC＝α，∠CAC'＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
B
B′
C′
A
C
F
E

练习：
1、如图1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1．
（1）如图2，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转60°得到矩形A1B1CD1，分别求出线段AD扫过图形的面积和矩形ABCD扫过图形的面积；
（2）如图3，将矩形ABCD绕CD的中点M顺时针旋转60°得到矩形A2B2C2D2，分别求出线段AD扫过图形的面积和矩形ABCD扫过图形的面积．
A
B
D
C
A
B
D
C
B1
A1
D1
A
B
D
C
M
B2
A2
D2
C2
图1
图2
图3

A
B
D
C
B1
A1
D1
E
F
图1

2、（辽宁模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图②中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
图1
图2

答案如下：
解：（1）CF与BD位置关系是垂直 证：如下：如图（1） ∵AB=AC，∠ACB=45°
∴∠ABC=45° 由正方形ADEF得AD=AF ∵∠DAF=∠BAC=90° ∴∠DAB=∠FAC
∴△DAB≌△FAC ∴∠ACF=∠ABD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90° 即CF⊥BD

（2）CF⊥BD（1）中的结论成立 理由如下：如图（2）过点A作AC⊥AC交BC于点G
∴AC=AG，仿（1）可证：△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90° 即CF⊥BO；

（3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时
∵∠BCA=45° 可求出AQ=CQ=4 ∴DQ =4-x 易证△AQD∽△DCP ∴
∴ ②如图（4），点D在线段BC延长线上运动时 ∵∠BCA=45° 可求出AQ=CQ=4
∴DQ=4+x 过A作AG⊥AC交CB延长线于点G则△AGD≌△ACF∴∠AGD=∠ACF ∵∠AGD+∠ACG=90°
∴∠ACF+∠ACG=90° ∴CF⊥ BD∴△AQD∽△DCP

祝大家中考顺利！

版权所有 翻版必究 珠海市九思教育集团.
撰写于2015年5月31日