二次样条与三次样条的研究.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文
二次样条与三次样条插值研究
作者：季哲 指导老师：陈素根
摘要 样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。本文主要讨论在几种不同边值条件下二次样条插值与三次样条插值的求解方法和分析在某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值的变分性质，并分别对两种插值的余项进行较精确地估算。另外介绍二次B样条函数于三次B样条函数，并对二者的有关性质进行说明和证明。最后给出三次样条插值在实际中的应有。
关键词 二次样条函数 三次样条函数 变分性质 余项

1 引言
自上世纪60年代以来，由于航空造船等工程设计的需要，人们发展了样条插值技术。现在样条函数越来越流行，它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。
本文主要研究在几种某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值求解方法；分析在某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值的变分性质，并分别对两种插值的余项进行较精确地估算。
本文还主要介绍二次样条与三次样条的基本概念，常见的二、三次B样条及Berzier样条等。最后研究二次样条与三次样条在数据插值中的应用，并举例说明。

2 二次样条与三次样条的计算方法

2．1 二次样条的计算方法

定义： 给定区间[ a,b ]一个分割△,二次样条函数满足以下条件：
1） 在每个区间上是一个二次多项式；
2） S（x）在所有节点满足 (i=1,2,…,n-1)上具有一阶连续导数；
3） S（x）在所有节点满足S（）= (i=0,1,…,n)。
在每个小区间上是一个二次多项式，有3个系数，因此要确定S(x)就要确定3n个待定参数，而由S（）= (i=0,1,…,n),得到n+1个方程；由 (i=1,2,…，n-1)得到n-1个方程；由()=( )(i=1,2,…,n-1)得到n-1个方程,总共3n-1个方程,为了确定一个待定的样条插值函数,还需增加1个条件,这个条件通常是在区间的两端处给出，即边界条件，边界条件根据实际问题的需求来确定，其类型很多，常见的边界条件类型有：
1） 给定初始断点的一阶导数值： ()=
2） 给定终端点的一阶导数值： ()=
3） 给定初始端点的二阶导数值：()= /
4） 给定终端点的二阶导数值: ()= /
5） 若插值函数为周期函数时，此时= ,给定： ()=()
下面针对上面5种情况分别讨论二次样条插值问题。
1）给定初始断点的一阶导数值： ()=
在区间[,]内，已知S()=,S()=和= ，
由Hermite插值公式可知 （1）其中，（i=0,1,…,n-1）,此时，，同时加上两个条件可推导出区间[x1,x2]内的二次插值函数，依此类推得到区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)内二次样条插值函数为 （2）
而可由式（3）递推得到。
（3）
2） 给定终端点的一阶导数值： ()=
在区间[，]内，已知和，由Hermite插值公式可知 （4）
此时，，同样加上S（）= ,
两个条件可推导出区间[]内的二次插值函数，依次类推得到区间[]（i=0,1，…，n-1）内二次样条插值函数为 (5)
而可由式(6)递推得到.
(6)
3) 给定初始端点的二阶导数值：S//(x0)=y0//
在区间[]内，已知S()=，和，利用待定系数法，二次样条插值公式为 （7）
此时 （8）
这就转化为第一种情况，可由式（2）、（3）得到二次样条插值函数。
4）给定终端点的二阶导数值:S//(xn)=yn//
在区间[]内，已知和，二次样条插值公式为 （9）
此时 （10）
这就转化为第二种情况，可由式（5）、（6）得到二次样条插值函数。

5) 已知，给定：=
由式（3）可知：，，以此递推，得到：
（1） 当n为偶数时，
若满足：，只有
(11)
成立时，有解，并且无限制，任意一个可得到一组样条插值函数。
若式（11）不满足，无解，找不到满足条件的样条插值函数。
（2） 当n为奇数时，
若满足：，得到
（12）
这就是转化为第一种情况，可由式（2），（3）得到二次样条插值函数。
以下是举例说明：求满足下面条件的二次样条函数：。
1）的情形
由式（3）得到 由式（2）得到二次样条插值函数：S(x)=
2）的情形
由式（6）得到，， ，
由式（5）得到二次样条插值函数：S（x）=
3) 的情形
由式（8）得到，由式（3）得到：
由式（2）得到二次样条插值函数：S（x）=
4) 的情形
由式（10）得到，由式（6）得到：
由式（5）得到二次样条函数：S(x)=
求周期二次插值函数：
由式（12）得到，，二次样条函数为S(x)=
2．2 三次样条的计算方法

定义：给定区间[ a,b ]一个分割△ a=x0 , x1, …, xn =b,在每个小区间上是三次多项式。若在节点上给定函数值，并成立，则称为三次样条插值函数。
从定义知要求，在每个区间上要确定4个待定系数，共有n个区间，故要确定个参数。
根据在上二阶导数连续，在节点 处应满足连续性条件
，，
共有3n-3个条件，在加上满足插值条件，共有4n-2个条件，因此还需要个条件才能确定。
通常可在区间端点, 上各加一个条件。常见的有以下三种：
1 已知两端的一阶导数值，即，
2 两端的二阶导数已知，即，
3 当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数。这时条件应满足，，。而此时。这样确定的样条函数，称为周期样条函数。
现给出计算方法：
（1）若假定在节点处的值为，则由分段三次埃尔米特插值公式可得，其中，是插值基函数。
显然，表达式中及在整个区间上连续，且满足（）：
现确定，可利用及某一边界条件来确定。为了求出，我们考虑在上的表达式
这里。对求二次导数得
于是
同理，可得在区间上的表达式
及条件，可得用除全式，并注意，，上面方程可简化为
此方程是关于未知数的n-1个方程，若加上边界条件：，则方程变为只含的方程，写成矩阵形式是
=
若边界条件为，则得两个方程
若边界条件为，即满足自然边界条件，则得两端的方程为

于是，用矩阵形式表示为
若边界条件为周期条件，则得到 ，
化简为
用矩阵表示为
上面得到的方程，每个方程都联系三个，这些方程系数矩阵对角元素都为2，非对角元素，故系数矩阵具有严格对角优势，方程有唯一解。
（2） 三次样条插值函数可以有多种表达方式，有时用二阶导数值表示使用更方便。
由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为
对积分两次并利用及，可定出积分常数，于是得

对求导得
由此可求得
类似地可求出在区间上的表达式，从而得

利用可得

其中由前面所示，而，
只要加上的任一种边界条件就可得到的方程组。
若边界条件1，则得到端点方程为

若边界条件为2，则端点方程为。
同样可通过追赶法，可求出方程的解，代入则得到三次样条函数。
以下是举例说明：求3次样条S（x）,满足：S（0）=2,S(1)=2,S(2)=0.5,S(3)=3,S(4)=-2,S(5)=1,S(6)=9,S(7)=2,S(8)=1.5,S(9)=2,S(10)=3,S(11)=2.
若，已知，把，代入，得到如下方程组
*=
方程组第4个方程—第7个方程组成的子方程组如下：
=
这是三对角方程组，可以采用追赶法求解出=-3.5407，=9.1627，=-0.1100，=-5.7225.
把=-3.5407代入第3个方程进行化简，方程组第1个方程—第3个方程粗成的子方程组如下：=
此方程组为3*3的上三角方程，先计算出，依次求出=3.8368，=-19.8880.。
把=-5.72225代入第8个方程进行化简，方程组第8个方程~第10个方程如下：
=
此方程组为3*3的下三角方程，先计算出=0.7225.依次求出=1.1100，=-2.16125.综上可求出三次样条函数为

3 对三次样条函数空间的研究
设由一个分割：。用=为关于，上3次样条函数}称为3样条函数空间。
显然，是一个线性空间，且3次样条函数
由i段“装配“，每段由4个参数唯一确定，所以共有4i个自由参数。
又由要求3次样条函数，及在连续，即有个约束条件。所以，3次样条函数空间最多有个自由参数，也就是说维数最多有。
定理1 设函数集合则为空间中的一组基。
证明 显然中任一函数，且中共有个函数，其中为内点，剩下只要证明中个函数于线性无关即可。
事实上，如果存在，使（1）
1） 对于时，则（1）式为于是，，
这时，（1）式为
（2）对于时，则（1）式为由此，
(3) 同理，可得。
定理2 三次样条函数空间维线性空间。于是，对任一，则有
=
4 二次B样条函数与三次B样条函数
设有节点序列：，可由分割节点扩展得到：且，，， 其中为k-1次样条函数空间维数。
定义（B样条函数）
设有节点序列，称函数为关于节点序列的第i个k-1次B样条函数。
下面介绍B样条函数性质。
性质1 B样条正性与局部支持性。即
证明 首先证明=0，当。
由于=其中
当时，则在上是一个k-1次多项式，故k阶差商=0，所以=0，当。
性质2 B样条函数的递推公式（1）
证明 由于= 其中 =
由易得=*+（2）
又由差商定义有
（3）
将（3）式代入（2）式得到
==
即==+或
=
由B样条递推公式可知（2次B样条）是分段2次多项式且具有连续的一阶导数。同理可得（3次B样条）是分段3次多项式函数且具有连续的一阶导数和二阶导数。
现在证明（k-1次B样条函数空间）的维数n=k+i-1
证明 设
对于，则上式为，故。
对于，则上式为，故
同理可得
于是于上线性无关。
同理可证于也线性无关。于是为一个基。

5 应用举例
三次样条插值函数在机器人轨迹规划应用中的给进研究
1） 前言
机器人轨迹规划就是根据机器人手部预定的任务设计机器人各关节位置、速度和加速度对时间的运动规律，它是机器人学中一个重要而且十分复杂的问题。
三次样条插值在机器人轨迹规划应用刚刚起步，它能保证机器人在工作过程中角度、角速度和脚连续加速度，下将给出具体应用过程。
2）三次样条插值函数的构造
设，并利用在处的二阶导数值
由于在小区间上是次数不高于三次的多项式，其二阶导数是一次多项式或是常数，利用和进行线性插值，得到： （1）其中。
对于（1）的表达式连续进行积分两次，并利用插值条件及可确定积分过程中的两个积分常数，整理后用表示的在区间的的公式为：
（2）

从式（2）可以看出，只要求出公式中的的值，便可以完全确定，这样就将三次样条插值函数的问题转化为求n+1个未知数的问题。
对式（2）的进行求导得：
（3）
由角速度在节点上的连续性条件：得到：

整理得：（4）
令
上式方程组中含有n+1个未知数、而上式方程组有n-1个等式，要求出、，还必须加两个约束条件，在机器人的起始点和终了点的角速度为0，所加的两个边界条件为：。
（5）

上述对三次样条插值函数的应用难以保证机器人起始点和终了点的加速度的连续变化，故现对三次样条插值函数进行改进，克服起始点和终了点加速度的突变。
为了使起始点和终了点的加速度由0连续变化，并且保证在各点的速度和加速度连续，由传统求得的三次样条在和的函数分别为：（6）
在上述两函数后分别加一函数和，则（6）式为
（7）
为了使机器人起始点和终了点的加速度由0连续变化，并且保证在各点的速度和加速度连续，和必须满足以下条件：（8）
(9)
由（7）式可知为5次多项式，而且是的三重零点，是的二重零点，因此可设的函数形式为：=
以上只含有两个待定系数，利用（8）式中的得到：（10）
同理是的三重零点，是的三重零点，因此可设的函数形式为：由=整理得到（11）
可以通过追赶法求出式（5）中的、，且解唯一。改进算法中和的解也只有一个，所以用三次样条改进算法可得到唯一函数。

结 束 语
样条插值是数值分析中经典的内容，长期以来很多学者致力于样条插值的研究，对二次样条与三次样条的研究已非常的成熟，本文主要做一些基础性研究及总结性工作。本文介绍了二次样条与三次样条插值函数的定义、讨论在几种不同边值条件下二次样条插值与三次样条插值的求解方法和分析在某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值的变分性质，并分别对两种插值的余项进行较精确地估算。

参考文献
[1] 朱心雄. 自由曲线曲面造型技术[M]，科学出版社，2006.
[2] 王能超. 数值分析简明教程[M]，高等教育出版社，2004.
[3] 王仁宏. 数值逼近[M]，高等教育出版社，1996.
[4] 苏步青，刘鼎元. 计算几何[M]，上海科学技术出版社，1981.
[5]沈剑华.计算数学基础[M].北京：高等教育出版社，1999
[6] 刘为,高毅,高尚.二次样条曲线研究[J].计算机与数字工程,2011,3:21-25.
[7] 郭昌言,高尚. 三次样条插值的推广[J].科学技术与工程,2011,7:1507-1511.
[8] Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design[M]. 4th ed. San Diego:Academic Press,1997.
[9]三次样条插值在机器人轨迹规划应用中的改进研究。[J]机械设计与制造, 张小江，高秀华，2008,1001-3997.
[10]邱惠敏，杨济安.样条函数与样条小波[J].重庆邮电学院报（自然科学版），2000，12（1）：30~33

Research on Quadratic Spline Interpolation and Cubic Spline Interpolation
Author :JI zhe Supervisor: CHEN sugen
Abstract Spline interpolation is to use a technique called spline special piecewise polynomial interpolation form. This paper mainly discusses several kinds of different boundary value conditions two times spline interpolation and three times spline interpolation method and Analysis in some special boundary value conditions two times spline interpolation and three times spline interpolation variational properties, and are respectively on two kinds of interpolation for more accurate estimation of remainder term.
Keywords Quadratic Spline Interpolation Cubic Spline Interpolation
variational properties reminder

17