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第2章 曲面与空间曲线的方程
§2.1 曲面的方程
1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。
解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，
则
亦即

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；
（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；
（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。
解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则

亦即
经同解变形得：
上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，
则
亦即
两边平方且整理后，得： （1）

从而（1）为
即：
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。
（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，
则
类似于（2），上式经同解变形为：
其中 （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。
设动点，所求的轨迹为，则

将上述方程经同解化简为： （*）
（*）即为所要求的轨迹方程。
2、 求下列各球面的方程：
（1）中心，半径为；
（2）中心在原点，且经过点；
（3）一条直径的两端点是
（4）通过原点与
解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：

（2）由已知，球面半径
所以类似上题，得球面方程为

（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：

（4）设所求的球面方程为：
因该球面经过点，所以
（1）
解（1）有

所求的球面方程为
§2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程
1、画出下列方程所表示的曲面的图形。
（1）
解：各题的图形如下：
（1）

§2.3空间曲线的方程
1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。
解：上述二图形的公共点的坐标满足

从而：（Ⅰ）当时，公共点的轨迹为：
及
即为两条平行轴的直线；
（Ⅱ）当时，公共点的轨迹为：
即为轴；
（Ⅲ）当时，公共点的轨迹为：
即过且平行于轴的直线；
（Ⅳ）当或时，两图形无公共点。
2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）曲面与面的交线为：

此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。
同理可求出曲面与面及面的交线分别为：
，
它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；
（2）由面与面，面，面的交线分别为：
,,
亦即：,,
即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。
（3）曲面与面，面，面的交线分别为：
,,
亦即,,
即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。
（4）曲面与面，面，面的交线分别为：
,,
亦即,,
即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。
3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。
（1）;（2）
（3）（4）
解：（1）从方程组
分别消去变量，得：
亦即： （Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
（Ⅰ）是原曲线对平面的射影柱面方程；
（Ⅱ）是原曲线对平面的射影柱面方程；
（Ⅲ）是原曲线对平面的射影柱面方程。
（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线
（Ⅰ）对平面的射影柱面方程；；
（Ⅱ）对平面的射影柱面方程；；
（Ⅲ）对平面的射影柱面方程。。
（3） 原曲线对平面的射影柱面方程：
原曲线对平面的射影柱面方程：
原曲线对平面的射影柱面方程：
（4） 原曲线对平面的射影柱面方程：
原曲线对平面的射影柱面方程：
原曲线对平面的射影柱面方程：