第3章点、直线、平面的投影.doc

第3章 点、直线、平面的投影
教学目标：
（1）掌握点的投影规律及投影图作法。
（2）掌握各种位置直线的投影特性、投影图作法及直线上取点的方法。
（3）掌握各种位置平面的投影特性、投影图作法及平面上取点、直线的方法。
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素，学习和掌握其投影特性和规律，能够为正确理解和表达形体打下坚实的基础。

第1节 点的投影
点的投影仍是点

一、点的投影及其投影规律
(一) 点的三面投影图
空间点只有其空间位置而无大小，而点的一个投影不能确定其空间位置，因此将点A(如图3－1a)置于三投影面体系之中，过A点分别向三个投影面作垂线(即投射线)，交得三个垂足、、即分别为A点的H面投影、V面投影、W面投影。
统一规定：空间点用大写字母A、B、C表示；空间点在H面上的投影用其相应的小写字母、、表示；在V面上的投影用字母、、表示；在W面上的投影用字母、、表示。
移去空间点A，将投影面展开，并去掉投影面的边框线，便得到如图3－1b所示的点的三面投影图。
(二) 点的投影规律
由图3－1a中可以看出，由于A⊥H、A⊥V,而H与V相交于X轴，因此X轴必定垂直于平面A，也就是和同时垂直于OX轴。当H面绕OX轴旋转至与V面成为同一平面时，在投影图上、、三点共线，即⊥OX轴。同理，⊥OZ，=O=。
由以上分析可归纳出，点的投影规律是：
（1）点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即⊥OX、⊥OZ、⊥、⊥。
（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，如点A的正面投影到OX轴的距离等于点A到水平投影面的距离A。
二、点的投影与空间直角坐标的关系
点的空间位置也可由直角坐标来确定。即把三投影面体系看成空间直角坐标系，把投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，即为坐标原点。
如图3－2a所示，空间点A(x、y、z)到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即：
空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即 = O ==A= x
空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： == =A=y
空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即： = ==A=z
A(x、y、z)
↙ ↓ ↘
W面 V面 H面

由此可见，若已知点的直角坐标，就可作出点的三面投影。而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就是确定了点的空间位置。因而，若已知点的任意两个投影，就可作出点的第三面投影。
〔例3－1〕已知点A(30,10,20),求作点A的三面投影图。
　　解　作图步骤如下：
（1）自原点O沿OX轴向左量取x=30,得点 (图4－3a)；
（2）过作OX轴的垂线，在垂线上自向上量取z=20,得点A的正面投影，自向下量取y=10,得点A的水平投影；
（3）过作OZ 轴的垂线，得交点。过在垂线上沿方向量取=10,定出。也可以过O向右下方作45゜辅助线，并过作 垂线与45゜线相交，然后再由此交点作轴的垂线，与过点且垂直于轴的投影线相交，交点即为。
三、两点的相对位置
空间两点的相对位置由两点的坐标差值来确定。两点的x坐标差值确定左、右位置关系；两点的y坐标差值确定前、后位置关系；两点的z坐标差值确定上、下位置关系。在投影图中，两点的相对位置，可根据其投影及反映的坐标即可判断出其相对位置。
如图3－4所示，由于 >，因此A点在左，B点在右；由于< ，因此A点在后 ，B点在前；由于<，因此A点在下，B点在上。也就是说，A点在B点的左、后、下方。
X\Y\Z大：左、前、上
四、 重影点的投影
当空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时，这两点对该投影面的投影重合为一点，这两点称为该投影面的一对重影点。如图4－5 所示，A、B两点对V面的投影重合，因此是V面的一对重影点。
重影点有可见性问题，判别的原则是：两点之中，对重合投影所在的投影面的距离(或坐标值)较大的点是可见的，而另一点是不可见的。标记时，应将不可见的点的投影用括弧括起来，如上图中()
五、点的直观图画法
直观反映点在三投影面体系之中的空间位置的立体图形称为点的直观图。学习点的直观图画法，可以帮助我们进一步理解点的投影，判断点的位置。
〔例3－2〕　如图3－6,根据K点的投影图，作其直观图。
解　作图步骤如下：
（1）用细实线作X、Y、Z轴的直观图。其中，OX轴为水平位置，OZ轴与OX轴垂直，OY轴与水平线成45゜角。作V、H、W面的直观图。其边框线用粗实线并与相应的投影轴平行。
（2）在三个投影轴上自点O按1∶1截取点K的坐标。从而得到、、。
（3）作点K的三面投影的直观图。即过、、分别作相应投影轴的平行线，得到、、。
（4）过、、分别作OZ、OY、OX轴的平行线，则三线必相交于一点，该点即为K。

第2节　直线的投影
直线的投影为点或直线
一、直线的三面投影
本书中提到的“直线”均指由两端点所确定的直线段。因此，求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影即可。如图3－7所示，直线AB的三面投影、、均为直线。求作其投影时，首先作出A、B两点的三面投影、、及、、，然后连接、即可得到AB的水平投影，同理可得到、。
二、直线上取点
如果点在直线上，则点的三面投影必在直线的同面投影之上，这种性质称为从属性。如果点的三面投影中有一个投影不在直线的同面投影上，则该点不在直线上。如图3－8所示，C点在直线AB上，则必有在上，在上，在上。同时，C点将AB分为AC和CB两段，由于同一投影面的投影线互相平行，因此很容易证明，AC∶CB=∶=∶=∶，即点分直线成定比，该点的投影也分直线的同面投影成相同的比例。
〔例3－3〕如图3－9，已知直线AB的两面投影，N点在直线AB上且分AB为AN∶NB=2∶5，求N点的两面投影。
解　具体作图步骤如下：
（1）过a任作一条辅助线ac，并自a点起在其上截取7等分，在2等分点处取点。
（2）连接C，并过作C的平行线交a于，即为N点的水平投影。
（3）根据点的投影规律由求出，即为N点的正面投影。
三、各种位置直线的投影特性
按照空间直线对投影面的相对位置，直线可分为特殊位置直线和一般位置直线。特殊位置直线又可分为投影面的平行线和投影面的垂直线。我们将直线与投影面的夹角称为直线的倾角，用α、β、γ分别表示直线与H、V、W投影面的夹角。
（一）投影面的平行线
平行于一个投影面，且倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面的平行线。平行于H面，且倾斜于V、W的直线称为水平线；平行于V面，且倾斜于H、W的直线称为正平线；平行于W面，且倾斜于H、V的直线称为侧平线。
（二）投影面的垂直线　
垂直于一个投影面（必然平行于另外两投影面）的直线，称为投影面的垂直线。
垂直于H面的直线称为铅垂线
垂直于V面的直线称为正垂线
垂直于W面的直线称为侧垂线
（三）一般位置直线
与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置直线。由正投影的基本特性中的类似性可知，一般位置直线的三面投影均不反映实长，而且小于实长。其投影与投影轴的夹角也不反映空间直线与投影面的倾角。
　　四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。
（一）平行两直线
空间平行的两直线，其同面投影也一定互相平行。反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行。如图3－10所示，空间两直线AB∥CD，则∥、∥、∥。
（二）相交两直线
如果空间两直线相交，则其同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间也一定相交。如图3－11所示，空间两直线AB与CD相交于K点，K点即为两直线的共有点。因此既在上，也在上；即为与的交点；同理为与的交点；为与的交点。由于、、为K点的投影，因此、、必定符合点的投影规律。
（三）交叉两直线
如果空间两直线既不平行也不相交，则称为交叉两直线。如图3－12所示，由于AB、CD不平行，其各组同面投影不会都平行(特殊情况下可能有一两组平行)；又因为AB、CD不相交，其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即，不符合点的投影规律。反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
在图3－13a中，AB、CD的水平投影相交，其交点实际上是AB上的Ⅰ点在CD上的Ⅱ点的正上方，引起的重影所致；同理在图3－13b中，AB、CD的正面投影的交点实际上是CD线上的Ⅲ点与AB线上的Ⅳ点的重影所致。

第3节 平面的投影
平面的投影为直线或平面
一、平面的表示法
（一）用几何元素表示平面
在投影图上可以用下列任何一组几何元素的投影表示平面，如图3-14所示。
（1）不在同一直线上的三个点；
（2）一直线和直线外一点；
（3）相交两直线；
（4）平行两直线；
（5）任意平面图形。
（二） 用迹线表示平面
在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。如图3-15所示，平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线，用表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用表示；平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用表示。平面P与投影轴的交点，亦即相邻两迹线的交点，称为迹线集合点，分别用、、表示。
如图3-15b所示，在投影图上，通常只标记迹线本身，而不标出与投影轴重合的另两投影。特殊位置平面中有积聚性的迹线两端用短粗实线表示，中间用细实线相连，并标出迹线符号，图3-15c所示即为用迹线表示的水平面。
二、各种位置平面的投影特性
根据空间平面相对于投影面的位置，平面可分为一般位置平面、特殊位置平面两大类。特殊位置平面又分为投影面平行面和投影面垂直面。我们将平面与投影面的夹角称为平面的倾角，用α、β、γ分别表示平面与H、V、W投影面的倾角。
（一）投影面垂直面
在三投影面体系中，垂直于一个投影面并且必须倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面垂直面。
垂直于H面并且倾斜于V、W面的平面，称为铅垂面；
垂直于V面并且倾斜于H、W面的平面，称为正垂面；
垂直于W面并且倾斜于H、V面的平面，称为侧垂面。
由表3-3可知，投影面垂直面的投影特性为：在所垂直的投影面上的投影积聚为一倾斜于相应投影轴的直线，该直线与投影轴的夹角分别反映了平面与另两个投影面的倾角的真实大小；其余两个投影均为小于实形的类似形。
（二）投影面平行面
在三投影面体系中，平行于一个投影面（则必然垂直于另外两个投影面）的平面，称为投影面平行面。
平行于H面（则必然垂直于V、W面）的平面，称为水平面；
平行于V面（则必然垂直于H、W面）的平面，称为正平面；
平行于W面（则必然垂直于H、V面）的平面，称为侧平面。
由表3-4可知，投影面平行面的投影特性为：在所平行的投影面上的投影反映实形；其余两个投影积聚为平行于相应投影轴的直线。
（三）一般位置平面
在三投影面体系中，与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置平面。如图3-16所示，△ABC即为一般位置平面。
一般位置平面的投影特性为：三个投影均为小于实形的类似形，均不反映倾角。
三、平面上点和直线的投影
（一）平面上的点
点在平面上的几何条件为：若点在平面内的任一已知直线上，则点必在该平面上。
如图3-17所示，平面P由相交两直线AB和BC所确定， 若M、N两点分别在AB、BC两直线上，则M、N两点必定在平面P上。
（二）平面上的直线
直线在平面上的几何条件为：若一直线经过平面上的两个已知点，或经过一个已知点且平行于该平面上的另一已知直线，则此直线必定在该平面上。
如图3-18a所示，平面P由相交两直线AB和BC所确定，点M、N分别为该平面上的两已知点，则直线MN必定在平面P上。
如图3-18b所示，平面P由相交两直线AB和BC所确定，点D在AB上，过点D作DE∥BC，则直线DE必定在平面P上。
[例3-4] 如图3-19a所示，已知平面△ABC上点E的正面投影，求点E的水平投影。
解：分析：由于点E在平面△ABC上，故可过点E作一条平面上的直线，然后按点、线从属性求作点E的水平投影。作图步骤如下(图3-19b)：
（1）过作直线，分别与、交于、两点。
（2）作出直线ⅠⅡ的水平投影、。
（3）利用点、线从属关系求出E的水平投影。
[例3-5] 如图3-20a所示，已知五边形ABCDE的水平投影和AB、BC边的正面投影，试完成五边形的正面投影。
解：分析：由于图中相交两直线AB、BC的两面投影都已知，因此五边形ABCDE的位置即已确定，根据点、线、面的从属性即可补画出五边形的正面投影。
作图（图3-20b）：
（1）连接、相交于点，过作投影连线在得。
（2）连接、并延长，过作投影连线交于得。
（3）同理可作出，依次顺序将五边形各点的正面投影连接起来。

14