任意角的三角函数学案.doc

《 任意角的三角函数（1）》学案
【学习目标】
1．能说出任意角的正弦、余弦、正切的定义，记住正弦、余弦、正切函数的定义域、值域；
2．会由角终边上的一点，求角的各三角函数值；
3．经历由锐角三角函数到任意角三角函数的定义过程，体会数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．
【学习重点】
任意角的正弦、余弦、正切的定义
【学习过程】
1． 如图1，已知锐角，请借助三角板，找出sin，cos，tan的近似值．

sin= ;cos= ; tan= （保留两位小数）

2 .能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？
3 .锐角三角函数sinα作为一个函数，定义域是 值域是
【学习探究】
●观察思考：
我们在直角三角形中学过锐角三角函数的定义，现在，借助任意角可以在直角坐标系内表示这一特点，如图2，你能在直角坐标系中，怎样求出锐角三角函数呢？
y
动手操作：

x
o
（图2）
观察发现：
①任取，，则
； ； ．
②取，此时P点是角的终边与单位圆的交点．（半径等于1的圆称为单位圆）则
； ； ．（链接1）
思考：任意角的三角函数能否用直角坐标系中角的终边与单位圆的交点的坐标表示呢？
如图3若可以，该怎样表示呢？先写出你的猜想，再认真阅读课本P11-P12对照比较自己写出的猜想是否正确．
●归纳概括
任意角三角函数定义：
图3
在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为，那么：
（1） 叫做的正弦，记作，即 ；
（2） 叫做的余弦，记作，即 ；
（3）比值叫做的正切，记作，即 ．
说明：对于确定的值，、、 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，以、、 为函数值的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数．
想一想：1. 通过弧度制我们建立了角的集合与实数集之间的一一对应关系，由此可知，三角函数可以看成是自变量为什么的函数？
2.任意.一个角，都有三个三角函数值吗？什么时候例外呢？因此，由三角函数的定义你能否得出各三角函数的定义域？请完成下表填空.
函 数
定 义 域
值域

例1 求的正弦，余弦和正切值．
（思路启迪：要求一个角的三角函数值首先必须求出它的什么？请画一个图！）
解：

●解题反思：1.解这类题首先要做什么？2.解题的关键是什么？
●变式练习
求下列各角的正弦、余弦、正切值：
（1）； （2）； （3）；

例2已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值．
（思路启迪：P点是终边与单位圆的交点吗？它与角的终边与单位圆的交点有何关系？画张图看看！）
解：

●解题反思
（1）P是角的终边上一点，但它是单位圆上的点吗？怎样转化的？
（2）本题说明只要给出角的终边上任意一点的坐标，就可以求出角的三角函数值来．你能自己给出这种三角函数的定义吗？（链接2）你能否用我们前面给出的三叫函数的定义证明它？
●变式练习
已知角的终边经过点（），求、、的值．
解：

【学习反思】
1．任意角的三角函数的定义是什么？你能记住三角函数的定义域和值域了吗？
2．你会根据角的终边上一点或终边的具体位置求出任意角的三角函数了吗？
3. 用用单位圆定义三角函数有何优点？
【学习评价】
自主测评一
1．=（ ）
C．
2．已知角的终边过点（6,-8），则=（ ）
C． D．
3．_________；
4．已知锐角终边上一点P(1，)，则的弧度数为________．
自主测评二
1．已知角的终边经过点．且，求、、的值；
2．已知为角的终边上一点，且，那么的值等于________；
3．若角的终边过点，且，求的值；
4．已知点在角的终边上，求、、的值．
设计意图：紧扣学习目的和例1例2；引入分类讨论，区分层次

【学习链接】
链接1:：尽管三角知识起源于远古，但是用线段比来定义三角函数，是欧拉在《无穷小分析论》中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行。如古希腊的托勒密定半径为60.到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆中。
链接2：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么我们规定：
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即
（3）比值叫做的正切，记作，即