Navier-Stokes方程.docx

流体力学史话

上一个世纪，一些科学家看到了理论流体与工程实际相差太远，试图给欧拉的理想流体运动方程加上摩擦力项。纳维（Navier 1827），柯西（Cauchy 1828），泊松（Poisson1829），圣维南（St.Venant 1843）和斯托克斯（Stokes 1845）分别以自己不同的方式对欧拉方程作了修正。Stokes首次采用动力粘性系数μ。现在，这些粘性流体的基本方程称为Navier-Stokes方程。但是由于N-S方程是数学中最为难解的非线性方程中的一类，寻求它的精确解是非常困难的事。直至今天，大约也只有70多个精确解。

Navier Stokes(纳维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。
目录
基本信息
Navier-Stokes方程的存在性与光滑性
两相流动方程
纳维-斯托克斯方程
基本假设
编辑本段基本信息
　　上一个世纪，一些科学家看到了理论流体与工程实际相差太远，试图给欧拉的理想流体运动方程加上摩擦力项。纳维（Navier 1827），柯西（Cauchy 1828），泊松（Poisson1829），圣维南（St.Venant 1843）和斯托克斯（Stokes 1845）分别以自己不同的方式对欧拉方程作了修正。Stokes首次采用动力粘性系数μ。现在，这些粘性流体的基本方程称为Navier-Stokes 方程。但是由于N-S方程是数学中最为难解的非线性方程中的一类，寻求它的精确解是非常困难的事。直至今天，大约也只有70多个精确解。
编辑本段Navier-Stokes方程的存在性与光滑性
　　纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
编辑本段两相流动方程
　　这是流体力学里面的知识。我仅仅以我所学流体方面的情况的来分析一下
　　一般两相流指固液两相流动。或者汽液，
　　研究的方程就是N-S方程（进行简化，本身是个庞大的偏微分方程组）。
　　也有三项流，汽固液。相关的需要参考一些EI（工程检索），最好是SCI的检索。目前国内主要研究两相流，三项流只是停留在理论阶段，实际工程应用偏少！，呵呵继续探索吧！加油。
　　Navier-Stokes equations：（N-S方程）
编辑本段纳维-斯托克斯方程
　　Navier-Stokes equations
　　描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。在直角坐标系中，可表达为如图所示!其矢量形式为＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ为流体密度，p为压强，u（u，v，w）为速度矢量，F（X，Y，Z）为作用于单位质量流体的彻体力，Ñ为哈密顿算子 ，Δ为拉普拉斯算子。后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外 ，粘性力远小于惯性力 ，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（＝－Ñp＋ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
编辑本段基本假设
　　在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限地任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
在计算有关空气压膜阻尼的时候，将各个方向上的纳维斯托克斯方程通过一系列的近似和化简可以得到线性和非线性的雷诺方程

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Spalart-Allmaras揣流模型;
Spalart-Allmaras 模型
k-e 模型
    －标准k-e 模型
    －Renormalization-group (RNG) k-e模型
    －带旋流修正k-e模型
k-ω模型
    －标准k-ω模型
    －压力修正k-ω模型
    －雷诺兹压力模型
The Spalart-Allmaras 模型
对于解决动力漩涡粘性，Spalart-Allmaras 模型是相对简单的方程。它包含了一组新的方程，在这些方程里不必要去计算和剪应力层厚度相关的长度尺度。Spalart-Allmaras 模型是设计用于航空领域的，主要是墙壁束缚流动，而且已经显示出和好的效果。在透平机械中的应用也愈加广泛。
在原始形式中Spalart-Allmaras 模型对于低雷诺数模型是十分有效的，要求边界层中粘性影响的区域被适当的解决。在FLUENT中，Spalart-Allmaras 模型用在网格划分的不是很好时。这将是最好的选择，当精确的计算在湍流中并不是十分需要时。再有，在模型中近壁的变量梯度比在k-e模型和k-ω模型中的要小的多。这也许可以使模型对于数值的误差变得不敏感。想知道数值误差的具体情况请看5.1.2。
需要注意的是Spalart-Allmaras 模型是一种新出现的模型，现在不能断定它适用于所有的复杂的工程流体。例如，不能依靠它去预测均匀衰退，各向同性湍流。还有要注意的是,单方程的模型经常因为对长度的不敏感而受到批评，例如当流动墙壁束缚变为自由剪切流。FLUENT 提供的湍流模型（下）2007-05-03 10:37标准k-e模型
最简单的完整湍流模型是两个方程的模型，要解两个变量，速度和长度尺度。在FLUENT中，标准k-e模型自从被Launder and Spalding提出之后，就变成工程流场计算中主要的工具了。适用范围广、经济，有合理的精度，这就是为什么它在工业流场和热交换模拟中有如此广泛的应用了。它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的。
由于人们已经知道了k-e模型适用的范围，因此人们对它加以改造，出现了RNG k-e模型和带旋流修正k-e模型

k-ε模型中的K和ε物理意义：
k是紊流脉动动能（J）， ε是紊流脉动动能的耗散率（%）
k越大表明湍流脉动长度和时间尺度越大， ε越大意味着湍流脉动长度和时间尺度越小，它们是两个量制约着湍流脉动。

1.RNG k-e模型
RNG k-e模型来源于严格的统计技术。它和标准k-e模型很相似，但是有以下改进：
•RNG模型在e方程中加了一个条件，有效的改善了精度。
•考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。
•RNG理论为湍流Prandtl数提供了一个解析公式，然而标准k-e模型使用的是用户提供的常数。
•然而标准k-e模型是一种高雷诺数的模型，RNG理论提供了一个考虑低雷诺数流动粘性的解析公式。这些公式的效用依靠正确的对待近壁区域
这些特点使得RNG k-e模型比标准k-e模型在更广泛的流动中有更高的可信度和精度。
2.带旋流修正的 k-e模型
带旋流修正的 k-e模型是近期才出现的，比起标准k-e模型来有两个主要的不同点。
•带旋流修正的 k-e模型为湍流粘性增加了一个公式。
•为耗散率增加了新的传输方程，这个方程来源于一个为层流速度波动而作的精确方程
术语“realizable”，意味着模型要确保在雷诺压力中要有数学约束，湍流的连续性。
带旋流修正的 k-e模型直接的好处是对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离和二次流有很好的表现。
带旋流修正的 k-e模型和RNG k-e模型都显现出比标准k-e模型在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。由于带旋流修正的 k-e模型是新出现的模型，所以现在还没有确凿的证据表明它比RNG k-e模型有更好的表现。但是最初的研究表明带旋流修正的 k-e模型在所有k-e模型中流动分离和复杂二次流有很好的作用。
带旋流修正的 k-e模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度。这是因为带旋流修正的 k-e模型在定义湍流粘度时考虑了平均旋度的影响。这种额外的旋转影响已经在单一旋转参考系中得到证实，而且表现要好于标准k-e模型。由于这些修改，把它应用于多重参考系统中需要注意。

标准 k-ω模型
标准k-ω模型是基于Wilcox k-ω模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。Wilcox k-ω模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。标准k-e模型的一个变形是SST k-ω模型，它在FLUENT中也是可用的，将在10.2.9中介绍它。

剪切压力传输（SST） k-ω模型
SST k-ω模型由Menter发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于k-e模型，使得在近壁自由流中k-ω模型有广泛的应用范围和精度。为了达到此目的，k-e模型变成了k-ω公式。SST k-ω模型和标准k-ω模型相似，但有以下改进：
•SST k-ω模型和k-e模型的变形增长于混合功能和双模型加在一起。混合功能是为近壁区域设计的，这个区域对标准k-ω模型有效，还有自由表面，这对k-e模型的变形有效。
•SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。
•湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传波。
•模型常量不同
这些改进使得SST k-ω模型比标准k-ω模型在在广泛的流动领域中有更高的精度和可信度。

雷诺压力模型（RSM）
在FLUENT中RSM是最精细制作的模型。放弃等方性边界速度假设，RSM使得雷诺平均N-S方程封闭，解决了关于方程中的雷诺压力，还有耗散速率。这意味这在二维流动中加入了四个方程，而在三维流动中加入了七个方程。
由于RSM比单方程和双方程模型更加严格的考虑了流线型弯曲、漩涡、旋转和张力快速变化，它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺压力有关的方程。压力张力和耗散速率被认为是使RSM模型预测精度降低的主要因素。
RSM模型并不总是因为比简单模型好而花费更多的计算机资源。但是要考虑雷诺压力的各向异性时，必须用RSM模型。例如飓风流动、燃烧室高速旋转流、管道中二次流。
计算成效：cpu时间和解决方案

从计算的角度看Spalart-Allmaras模型在FLUENT中是最经济的湍流模型，虽然只有一种方程可以解。由于要解额外的方程，标准k-e模型比Spalart-Allmaras模型耗费更多的计算机资源。带旋流修正的k-e模型比标准k-e模型稍微多一点。由于控制方程中额外的功能和非线性，RNGk-e模型比标准k-e模型多消耗10～15%的CPU时间。就像k-e模型，k-ω模型也是两个方程的模型，所以计算时间相同。
比较一下k-e模型和k-ω模型，RSM模型因为考虑了雷诺压力而需要更多的CPU时间。然而高效的程序大大的节约了CPU时间。RSM模型比k-e模型和k-ω模型要多耗费50～60%的CPU时间，还有15～20%的内存。
除了时间，湍流模型的选择也影响FLUENT的计算。比如标准k-e模型是专为轻微的扩散设计的，然而RNG k-e模型是为高张力引起的湍流粘度降低而设计的。这就是RNG模型的缺点。
同样的，RSM模型需要比k-e模型和k-ω模型更多的时间因为它要联合雷诺压力和层流。

Spalart—Allmaras湍流模型简介
该模型是NUMECA软件Version 6.1中新添加的一方程模型.
Spalart—Allmaras湍流模型直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直到得到最终的控制方程。它相对于两方程模型计算量小和稳定性好，计算网格到壁面的加密程度可以与零方城模型有同等的量级。另外，模型是“当地”型的，所有在有多个物面的复杂流场的计算中不需要特殊处理。
Spalart—Allmaras一方程湍流模型的提出，最初是基于外流计算的考虑。由于外流与内流湍流流场在某种程度上有相当大的不同，所以它在内流计算中使用效果还需要进一步的验证。另外，最初的Spalart—Allmaras湍流模型是基于不可压缩流动，模型方城是非守恒的。
以上文字摘自文献
《Spalart—Allmaras湍流模型在内流流场数值模拟中的应用》
宁方飞，徐力平
工程热物理学报，Vol 22.3 2001

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2# 大 中 小 发表于 2003-5-29 13:42  只看该作者
Spalart—Allmaras湍流模型简介
关于S-A的局限性不是在于内流、外流的区分。以下引用部分内容：
In zero-equation models, also called algebraic models, the eddy-viscosity is defined
from an algebraic relationship instead of a differential one. The earliest example of
such models comes from Prandtl [160], who introduced the concept of mixing length.
This hypothesis [206] forms the basis of all the algebraic turbulence models. From this
basis, Van Driest [188] devised a viscous damping correction which is now included
in almost all algebraic models. Other major improvements to these models were given
by Cebeci and Smith [30], then by Baldwin and Lomax [9]. Algebraic models
generally perform well for thin, attached shear layers at moderate Mach numbers.
However, they are incomplete since additional information other than initial and
boundary conditions must be known, namely the mixing length. Generally, incomplete models define this length scale in a prescribed manner from the mean flow, e.g. the
displacement thickness, , for an attached boundary layer. However, if this boundary
layer separates, or if a shear flow is met, other length scales are required, otherwise
inconsistencies are met. This is why algebraic models generally give poor predictions
in such cases. A second drawback is that, since these models cannot take into account
turbulence transport and diffusion, flow history effects cannot be simulated.
δ* In order to address the latter issue, Prandtl [161] postulated a model in which the eddyviscosity
depends on the kinetic energy of the turbulent fluctuations, . He proposed
a modeled partial-differential equation approximating the exact equation for . This
led to the concept of the one-equation turbulence model. Although these models
brought an improvement compared to algebraic ones, by making the turbulent eddyviscosity
depend upon flow history, the need to define a mixing length still remained
and the models were thus still incomplete. This may explain why one-equation models
where the turbulent kinetic energy transport equation was solved were not very
popular, since the advantage gained over algebraic models was modest. Recently, there
has been a renewed interest in a new generation of one-equation models based on a
postulated equation for the eddy viscosity. These models are complete, that is, they do
not require the specification of any length scale. Two of the most commonly used
models are due to Baldwin and Barth [8], and to Spalart and Allmaras [173]. While the
Baldwin-Barth model is quite inaccurate for attached boundary layers, in particular
with adverse pressure gradients [206], and therefore of little interest when having
general turbulent flow applications in mind, the Spalart-Allmaras model is of great
interest. Indeed, this model offers skin friction predictions for attached boundary
layers that are as close to experiments as algebraic models, and is superior to the latter
when separated flows are met. Furthermore, the differential equation offers no serious
numerical difficulties and its integration in an unstructured code is straightforward
compared to mixing-length models. The only drawback lies in its apparent failure to
accurately predict the asymptotic spreading rates for plane, circular and radial jets.
However, this model is quite attractive for engineering applications since it offers a
good compromise between accuracy and computational costs.........
The Spalart-Allmaras model [173] is a recent complete one-equation eddy-viscosity
model, which has been formulated based on empiricism and dimensional analysis to
give the right behavior in two-dimensional mixing layers, wakes, and flat plate
boundary layers, which were considered by the authors as the building blocks for
aerodynamic flows.
The model is local, that is, the equation at one point does not depend on the solution
at other points. It is therefore easily usable with any kind of grids, and in particular
unstructured grids. Another advantage is its relatively low additional computational
cost compared to the resolution of the RANS system itself. This model performs well
for a wide variety of flows, and can even outperform some two-equation models in
separating or reattaching flow prediction. Its failure to accurately reproduce jet
spreading rates should serve as a warning that the model has some shortcomings, but
remains a valuable engineering tool.
Spalart and Allmaras have also developed an additional term, which is used to trip the
solution from laminar to turbulent at a certain location, hence enabling the user to
specify transition points. This feature is appealing as subsequent downstream
predictions can critically depend on the appropriate choice for the onset of turbulence.  .......