平方根教学设计四.doc

平方根
一、教学目的
1．使学生了解平方根和算术平方根的意义。
2．使学生会用根号表示一个数的平方根和算术平方根。
二、教学重点、难点
重点：平方根和算术平方根。
难点：算术平方根。
三、教学过程
引言：我们来看下面的问题
一个面积为50m2的正方形展览厅，它的边长是多少？
一个容积为0.125立方米的正方体木箱，它的棱长应是多少？
一个数的平方等于100，这个数是多少？
这些问题的共同点是：已知乘方的结果（即幂）的值，求底数的值。为了解决这个问题，就要进行乘方运算的逆运算，也就是要进行开方运算。
这一章里，我们要学习数的开方和料数的初步知识。
新课
1．平方根
一个数的平方是9，那么这个数是什么数？
因为32=9，（-3）2=9，所以这个数是3或-3。
一个数的平方是，那么这个数是什么数？
因为，所以这个数是或-。
一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（二次方根）。就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
上面，3与-3都是9的平方根。与-都是的平方根。
想一想，100的平方根是什么数？（10或-10），呢？（答：的平方根是或-）
从上面看出，正数的平方根有两个，这两上平方根互为相反数。例如9的平方根3与-3互为相反数。
因为02=0，且任何不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0本身。
因为正数、零、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。例如-4没有平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0有一个平方根，就是0本身。
负数没有平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
我们看到3与-3的平方是9，9的平方根是3与-3。就是说，平方与开平方互为逆运算。根据这种关系，我们可以：
（1）通过平方运算来求一个数的平方根；（2）检验一个数是不是另一个数的平方根。
一个正数a的正的平方根用符号来表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根，用符号“”表示。这两个平方根合起来可以记作“”。这里，符号“”读作“二次根号”，读作“二次根号a”，根指数是2时，通过常将这个2省略不写，如记作，读作“根号a”；记作，读作“正负根号a”，。
例1 求下列各数的平方根：
（1）81； （2）； （3）； （4）0.49。
解：（1）（±9）2=81，
∴81的平方根是±9，即=±9。
（2）∵，
∴的平方根是，即。
（3）∵，
∴的平方根是，即。
（4）（±0.7）2=0.49，
∴0.49的平方根是±0.7,即。
注意：正数的平方根有两个，例如，81的平方根是，只是其中的一个正根。
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）-64； （2）0； （3）（-4）2； （4）10-2。
解：（1）因为-64是负数，所以-64没有平方根；
（2）0只有一个平方根，它是零；
（3）因为（-4）2=16>0，所以（-4）2有两个平方根，且；
（4）因为10-2有= 两个平方根，且。
想一想：为什么？
是否成立？
2．算术平方根
正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。记作。例如9的算术平方根是3，即。又如等等。由于正数a的两个平方根互为相反数，当已知它的算术平方根时，可以立即写出它的负平方根-。
0的平方根，也叫0的算术平方根，即。
注意：当a是正数或零（又叫非负数）时，表示a的算术平方根，它也是一个非负数。就是说，当式子有意义时，它一定是个非负数。
例3 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2）； （3）0.81。
解：（1）∵102=100，
∴100的算术平方根是10，即。
（2）∵，
∴的算术平方根是，即。
（3）∵（0.9）2=0.81，
∴0.81的算术平方根是0.9，即。
注意：100的平方根是10和-10，而其算术平方根是10。
例4 求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）。
解：（1）∵1002=10000，∴=100。
（2）∵122=144，∴=-12。
（3）∵，∴。
（4）∵（0.01）2=0。0001，∴=-0.01。
（5）∵252=625，∴。
（6）∵，∴。
注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0（当a<0时，无意义）。
小结：平方根和算术平方根是即有区别又有联系的两个概念。区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根有1个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。零的平方根和算术平方根是一回事。
例5 解方程25x2=36。
解：两边同除以25，得，
∴，即。
例6 求值：
（1）； （2）。
解：（1）
=9+6=15。
（2）
=。
课时安排：本课题约需3课进，分配如下：

第一课时

内容：平方根，例1，例2。
练习：P117中练习1~4。
作业：P121中习题10.1 A组1，2，3。

第二课时

内容：算术平方根，例3，例4。
练习：P120中练习1~5。
作业：P121中习题10.1 A组4。

第三课时

内容：小结，平方根和算术根的区别和联系。
练习：P121中习题10.1 A组5（1），（2），6（1）。
作业：P121中习题10.1 A组5（3），6（3），7B组1，2。
四、需要注意的几个问题
1．平方根和算术平方根属于本章的重点内容。其学习意义在于：是正确进行求平方运算的前提，是学习实数的预备知识，有助于了解更高次的方根的概念。为学习本章后面的二次根式，一元二次方程等知识打下基础。
2．对于数的平方根有两点一开始学生可能不习惯，一是正数有两个平方根，即正数开平方运算有两个结果，这与过去遇到的运算结果唯一的情况不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到（0作除数的情况除外）。
3．要切实弄清以下几种运算关系
（-4）2=（-4）×（-4）=16，
；
-42=-（4×4）=-16，；
±3表示3或-3两个数，。
4．必须强调这三种符号所表示的意义的区别。
当a为正数时，表示a的算术平方根；表示a的负平方根；表示a的平方根（互为相反数的两个数）。