投针实验曹庄中学葛强.doc

课题与课时：第六章 第二节 投针实验
执教人：曹庄中学 葛强
课型：新授课
授课时间：2012年11月23日 星期五 第1节课
教学目标：
(一)知识与技能
能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
(二)过程与方法
经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力．
(三)情感态度与价值观
1．激发学生实事求是的科学态度．
2．亲历实验，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
教学难点：借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率并让它服务于生活。
教法与学法指导：
本节课在教师的引导下，学生自主进行实验，经历了实验统计的过程，切实体会实验频率稳定于理论概率这一知识点，同时，一个方案设计问题，很好的让这一知识服务于日常生活。
课前准备：
多媒体课件 长约3cm的钢针 画有间距为5cm的纸板 实验用表格 枣庄地图
教学过程：
一 提出质疑 引入新课
师：上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．但是，利用树状图和列表法求随机事件发生的概率时．必须有一个前提条件，你知道这个前提是什么吗?
生：要求各种结果的出现是等可能性的，并且事件出现的结果必须是有限个．
师：很好，下面我们来看一个例子．比如向画有平行线的纸板上丢一枚钢针，有几种结果?它们是等可能的吗?能不能利用树状图和列表法求出其概率的大小呢？
生：有“相交”和“不相交”两个可能结果，但我觉得这两个可能的结果不是等可能的.所以不能利用树状图和列表法求出其概率。
师：能不能说“相交”的概率是，“不相交”的概率也是呢?
生：当然不能．
师：很好．一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，这时怎样求某一事件的概率呢?
生：只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．
师：看来，求这个事件发生的概率只有亲自做很投针实验了．（板书课题《投针实验》）下面让我们拿出准备好的实验器材，一起探究这一事件发生的概率吧！
（设计意图：通过师生之间的问答，使学生明白，不是所有事件发生的概率都可以利用树状图和列表法计算的，当一个事件发生的每种结果不是等可能性时，只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．同时，很自然的引入投针实验这一内容。）
二 操作感知 合作探究
1.提出问题：
如图，纸板上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为5cm，向此平面任投一长度为3cm的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。
相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？
2.建立实验方案：
实验用具：
（1）纸板，（2）铁针若干枚，长度相同，粗细一致，（3）薄海绵纸（4）表格。
实验步骤：
(1)将学生分成两人一组，共24个小组；并确定组内同学分工如下：一位投针，一位记录。
（2）将事先准备的带有平行线的纸板铺在桌面上，并在纸板下垫一层薄的海绵纸，以免钢针抛落后弹出,然后进行投针实验。
（3）要求学生从一定高度随意抛针，保证投针的随意性；
（4）每个小组投针40次，而后将各数据填入表格。
（5）将各组数据进行累加，估计该事件发生的概率。
实验次数
40
80
160
200
240
280
320
360
400
440
480
520
相交频数

实验频率

实验次数
560
600
640
680
720
760
800
840
880
920
960
1000
相交频数

实验频率

注意问题：
在实验中有时针与线是否相交较难判断，采取的方法是忽略这次实验；
师：通过同学们的密切合作，各个小组有了详细的实验数据。同学们可以根据数据估计针与平行线相交的概率。由这一实验，你有什么收获？
生：当一个事件的概率无法利用树状图和列表法计算时，我们可以进行实验，利用实验频率来估计事件发生的概率。
师：请同学们在用实验获得的数据估计针与平行线相交的概率的同时，用计算器计算实验总次数除以直线与平行线相交的次数，你会有什么惊人的发现?
生：得到的商好像是的一个近似值．而且投掷次数越多，得到的π的近似值越精确．
师：很好!其实这件事绝非偶然．请同学们打开书阅读“读一读”——投针实验．
教师活动：利用媒体出示探究问题及实验方案；在学生做实验的过程中，进行巡回指导。
学生活动：学生按上述实验方案进行实验。自主合作交流，汇总数据，探究问题的结果。
（设计意图：通过实验，让学生亲身经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力；同时，更好的让学生体会和理解当无法用树状图和列表法求概率时，我们可以通过大量的实验，利用当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率这一知识点．）
三 典例分析 能力提升
师：当一个事件发生的结果是等可能性时，我们可以利用树状图和列表法求这个事件发生的概率；当一个事件发生的结果不是等可能性时，我们利用实验也可以估计该事件发生的概率。那么，请同学们看看下面这个问题：
出示例题：
例题：如图，是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是
师：在这个问题中，针扎在阴影部分的概率大小与什么有关呢？理论上的概率又是多少呢？请同学们认真思考。
生：针扎在阴影部分的概率大小与阴影部分的面积有关。具体的计算方法为：
∵AC=4，BC=3
∴AB=5
∴正方形的面积为S正方形=25
又∵阴影部分面积S阴影=24
∴针扎在阴影部分的概率为
师：这位同学的回答非常的漂亮，由此题可见，针扎在阴影部分的概率是与阴影部分的面积有关的。相信，下面这道题目一定也难不倒你。
出示例题：
例题2：汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为，则与的半径之比为 ．
师：在本题中，空投物质落在中心区域（圆B）的概率
与什么有关呢？由此你可以得到一个什么样的关系式呢？
生：空投物质落在中心区域（圆B）的概率与的面积有关；
具体为：设的半径为R，的半径为r，
则有 πr2：πR2=1:2
所以 与的半径之比为
师：回答的非常正确，通过这两道题目，同学们对面积中的概率问题已经有了初步的认识。同学们都知道，数学来源于生活，又服务于生活。下面，让我们进入下一环节，源于生活 服务生活。
（设计意图：在学生领悟到当实验次数足够大时，频率稳定与理论概率附近的基础上，让学生更多的了解面积中的概率问题，既接近于中考，同时为学生处理下一环节问题提供了思路。）
四 源于生活 服务生活
师：数学知识源于生活，数学知识又服务于生活。同学们，我们生活在这美丽的城市---枣庄，哪位同学知道枣庄的区域面积有多大？
生：不知道。
师：你有什么方法知道枣庄的区域面积有多大吗？
生：老师，我可以去图书室查阅资料。
生：老师，我可以上网查查枣庄的区域面积有多大。
师：同学们的方法都不错，也都很直接。可是你能利用我们今天所学知识解决这一问题吗？
出示问题：
如图，这是一幅枣庄地图，你能否设计一种方案，估计枣庄地区的区域面积有多大？
师：请同学们认真思考，把自己设计的方案写下来，并在小组内交流。
师：下面我们有请三组的代表展示他们的设计方案。
生：我们的设计方案是这样的：
第一步：在一幅地图上，用一个长方形将枣庄地图圈起来，如图所示，并测量长方形的长与宽，即可得到长方形的面积为S1。
第二步：在圈好的地图上做投针实验，观察针落在枣庄地图上得次数；假设一共做了m次实验，共有n 次落在枣庄地图区域内，则可以得到抛掷一枚钢针落在枣庄地图区域的概率为n/m。
第三步：根据实验数据计算出枣庄地图的面积。
第四步：最后根据比例尺，计算出枣庄地图的时间面积。
师：第三组的方案设计的非常完美，根据这个设计方案，我们就可以估计出枣庄地区的区域面积，由此，我们可以深刻的体会到数学的魅力。
（设计意图：本环节设计了一个方案设计问题，通过该问题的解决，对上两个环节所学知识综合运用；同时，问题的设置贴近于生活，能够从很大程度上激发学生的学习兴趣，让学生切实感受到数学来源于生活，同时也服务于生活。）

五 总结归纳 能力提升
师：通过同学们一节课积极探索和勇于实践，相信同学们都有了很多的收获，下面让我们畅所欲言，交流一下彼此的收获！
生：通过本节课学习，我知道了不是所有的概率问题都可以利用树状图和列表法来解决的。
生：通过本节课学习，我知道了可以利用实验来估计一个事件发生的概率。
生：我深刻感受到数学来源于生活，又服务于生活。
生：我知道了在学习过程中合作的重要性。
…………..
六 分层评价 收获成功
师：既然同学们有了这么多得收获，下面让我们一起体验收获的幸福吧！
生：独自完成评价题目，并在小组内交流错误答案。
“投针实验”分层评价测试题
姓名 等级
＊ 1.晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为______。
＊＊ 2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
＊＊＊3．一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为___________．
＊＊＊4.如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．
七 课后作业 巩固提升
（1）完善利用实验的方法估计枣庄区域面积的设计方案。
（2）以小组为单位，利用所设计的方案，估计枣庄区域面积。
板书设计
6.2投针实验
投影区

例题1

例题2

方案设计展示区
实验数据展示区
实验数据展示区
教学反思：
本节课首先采用师生对话的形式，通过抛掷一枚钢针，是否会与一组平行线相交或不相交的问题，让学生了解并不是所有的概率问题都可以利用树状图和列表法去解决，从而引导学生利用大量实验，通过实验频率去估计事件发生的理论概率。由于课前准备比较充分，学生分工明确，所以课上实验进行的很顺利，学生也通过对实验数据的收集和整理，得到了这一事件发生的概率。紧接着，两个例题的设置，让课堂知识与中考无缝对接，并且为第四环节的问题设计奠定了基础。同时，本节课注重了与生活实际的相互联系，一个枣庄区域的面积问题，让学生顿时兴趣盎然，充分调动所学知识，进行方案设计，而且通过全班学生的共同努力，让这一方案更具操作性，最后，把这一问题留作课下作业，让学生切实完成这一任务。这一问题的设置，不仅把第二、三环节的知识融入其中，更让学生体会到数学在日常生活中的广泛应用。
本节课需要注意的问题是：（1）实验的课前准备一定要充分，学生分工一定好明确，以防在课上做实验时浪费时间。（2）设置的例题一定让学生透彻理解，这是为第四环节的方案设计埋下了伏笔。