椭圆中的焦点三角形案例分析.doc

《椭圆中的焦点三角形》的案例分析
江苏省镇江市第一中学 王建华
一：教学过程：
（一）：复习引入：
1：椭圆的定义
2：几何性质：

图形

范围

对称性

顶点

焦点

离心率

焦半径

准线方程

F1
F2
M
F1
M
F2
3：椭圆中的基本图形

【设计说明】通过图表，图形类比复习知识点，注重其中的异同。
（二）：基础训练及例题
问题(一)利用焦点三角形求轨迹方程
例1：在△ABC中，已知B,C坐标分别为(-3,0)和(3,0)，且△ABC周长为16，则顶点A的轨迹方程。
变题1：在△ABC中，已知B,C坐标分别为(-3,0)和(3,0)，AB,AC边上中线长为15，则此三角形重心G的轨迹方程。
变题2：（93年全国高考卷）若△ABC面积为1，tan∠ABC=, tan∠ACB=建立适当坐标系，求以B,C为焦点并且过点A的椭圆方程
B
A
C

【设计说明】结合高考，逐层深入。其实变题1，2还是要回归例题1中焦点三角形的边的关系进行求解。
问题(二)焦点三角形的性质
A
例2．已知F1、F2为椭圆的2个焦点，若A、B是椭圆过焦点F1的弦，则

F2
F1
B

(1)求△AF1F2，△ABF2的周长。(2)求最大值？(3)求∠F1AF2的最值？
（4） 若∠F1AF2为钝角时，求点A横坐标的范围（2000年全国高考卷）
（5）△AF1F2面积的最大值。（6）设∠F1AF2为，求的面积
【设计说明】把不等式、三角、面积等等知识进行融会贯通，让学生形成一个整体的认知结构，实现新旧知识的贯通。
（三） 巩固练习
（一）必做题
（1）（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
（2）动圆与定圆x2+y2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A（0，2），求动圆圆心P的轨迹方程。
（3）已知M为椭圆上一点，F1、F2为2个焦点，且∠MF1F2=600, ∠MF2F1=300，则椭圆的离心率为 。
（4）已知F1，F2为椭圆的2个焦点，M（1，1）为椭圆内一定点，A为椭圆上任意一点，求的最大值。
（二）选做题
（1）M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆2个焦点，I为△MF1F2的内心，延长MI交F1F2于N，则的值等于
(2) 点P为椭圆上任意一点，F1、F2为其左、右焦点，过焦点向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q的轨迹为
（3）已知椭圆和直线l:x-y+9=0，在l上任取一点P，经过P且以已知椭圆焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。
（三）课外拓展
自己探求寻找椭圆中的三角形还有哪些性质？
【设计说明】分层教学，让每个学生都能得到巩固提高。
二：教材设计的背景
椭圆是新教材选修1-1第二章、选修2-1第二章的内容，新教材中圆锥曲线的要求大大降低，其中只有椭圆的考纲要求仍然为B，由此可见椭圆的重要性。椭圆在物理学、运动学中有着广泛的运动。从知识体系上看椭圆有着承前启后的作用：它必修2是直线和圆的的延续，实质上圆是一种特殊的椭圆；又为进一步抛物线、双曲线等内容打下基础。 从思想方法上看，它是培养提高学生思维能力的好题材。学习椭圆要经常画图、分析,要综合运用前面函数的知识解决椭圆中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
椭圆中的焦点三角形是椭圆中的重要内容，历年的高考题常常在此做文章，本节课在一些高考题的基础上加以拓展和深化。同时融入三角和不等式的知识，加强知识的综合运用。所以根据上述教学内容，结合课程标准和学生的实际，确定教学目标、教学重点和难点。学习目的：1：通过椭圆中焦点三角形的复习，进一步掌握椭圆的两种定义。2：通过变式训练拓展学生的思维。3：联系高考，讲练结合，夯实基础。
学习的重点与难点： 椭圆的第一，第二定义的运用。
三：教学的反思与分析
（一）、转换问题情境，将问题进行类化。
问题情境是问题的呈现方式。一个问题的呈现方式与构建的认知结构越接近，就越有利于知识的迁移和运用。本节课问题（一）在解决完例题1之后，又利用变题1，2，实现情境的转换。依据问题与认知结构间的共同因素，将问题进行“类化”。“类化”是指将问题纳入相应的同类知识结构中，并从这个结构中寻找解决问题的方法和策略的过程。在转换问题的情境后，根据转换后的问题与认知结构间的共同因素和联系，将问题与知识结构、新知与旧知、未知与已知相“链接”，利用所构建的知识结构去“类化”这个新问题。问题（一），问题的情境进行转化后，便将变题的（1），（2）“类化” 到学生已构建关于焦点三角形的轨迹的认知结构中，在这个结构中找到解决的途径和方法。这样有利于学生形成知识的广泛迁移能力可以避免对知识的死记硬背，实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性。
（二）：构建具有清晰、概括、包容性的认知结构。
现代认知心理学家都非常重视认知结构的重要性，他们都持同化论的观点，主张认知结构是实现新旧知识间相互作用的有机场所，通过广域性认知结构（知识网络）的构建，在新旧知识间和所学知识与新问题间建立起实质性的联系，使新知（新问题、新情境）同化、纳入到原有的认知结构中，并在这个结构中确立其合适的位置。这样，这个新问题、新情境变成了“旧”问题、“旧”知识，减少了学生对该问题的陌生感，在不自觉中实现了知识的迁移和运用。同时，这个认知结构中所储存的知识不再是零碎的、孤立的，而是经过转换的一般性、概括性的观念结构；不再是陈述性的知识而是程序性的知识；不再是封闭性的知识个体而是开放性和包容性的知识结构。
本节课中的问题（二）焦点三角形的性质，通过例题2的六个不同的问题，把三角函数、面积、基本不等式等等看似不同的知识联系在焦点三角形中，把新旧知识建立成一个整体的认知结构，实现知识的转化与迁移，拓展学生的思维。
（三）：梯度练习，巩固强化知识
例题 利用例1利用椭圆的简单定义，求轨迹方程，例题2综合运用各种不等式、三角的知识解决椭圆中焦点三角形的问题。符合学生的认知规律，实现有浅入深，更加便于学生的吸收和掌握。
作业 分3个层次：必做题；选做题；课外拓展。其中许多题是高考题或者改编题，结合高考加强重点知识的巩固。同时通过梯度练习，满足不同学生的能力要求，实现分层次教学。让每一个学生在本节可的教学中自己发现问题、分析问题、解决问题的能力，掌握不同层次的知识。